Matematika,
ako dobro pogledaš,
ne odražava samo istinu,
ali i neuporedivu lepotu.
Bertrand Russell.

Sigurno ste čuli za fraktale. Sigurno ste vidjeli ove slike koje oduzimaju dah iz Bryce3d-a koje su stvarnije od same stvarnosti. Planine, oblaci, kora drveća - sve to prevazilazi uobičajenu euklidsku geometriju. Ne možemo opisati kamen ili granice otoka linijama, krugovima i trokutima. I tu fraktali priskaču u pomoć. Šta su ovi poznati stranci? Kada su se pojavili?

Istorija izgleda.

Prve ideje fraktalne geometrije pojavile su se u 19. veku. Cantor je, koristeći jednostavnu rekurzivnu (repetitivnu) proceduru, pretvorio liniju u skup nepovezanih tačaka (tzv. Cantorova prašina). Uzeo je liniju i uklonio središnju trećinu, a zatim ponovio isto sa preostalim segmentima. Peano je povukao posebnu vrstu linije (slika br. 1). Da bi ga nacrtao, Peano je koristio sljedeći algoritam.

U prvom koraku uzeo je pravu liniju i zamijenio je sa 9 segmenata 3 puta kraćih od dužine originalne linije (1. i 2. dio na slici 1.). Zatim je učinio isto sa svakim segmentom rezultirajuće linije. I tako u nedogled. Njegova jedinstvenost je u tome što ispunjava čitavu ravan. Dokazano je da se za svaku tačku na ravni može naći tačka koja pripada Peanovoj pravoj. Peano's Curve i Cantor's Dust prevazišli su obične geometrijske objekte. Nisu imali jasnu dimenziju. Kantorova prašina je izgrađena na osnovu jednodimenzionalne prave linije, ali se sastojala od tačaka (dimenzija 0). A Peano kriva je izgrađena na osnovu jednodimenzionalne linije, a rezultat je bio ravan. U mnogim drugim oblastima nauke pojavili su se problemi čije je rešavanje dovelo do čudnih rezultata, poput gore opisanih (Brownovsko kretanje, cene akcija).

Otac fraktala

Sve do 20. vijeka gomilalo se podataka o takvim čudnim objektima, bez ikakvog pokušaja da se oni sistematiziraju. To je bilo sve dok ih nije preuzeo Benoit Mandelbrot, otac moderne fraktalne geometrije i riječi fraktal. Dok je radio za IBM kao matematički analitičar, proučavao je buku u elektronskim kolima koja se ne može opisati pomoću statistike. Postepeno uspoređujući činjenice, došao je do otkrića novog smjera u matematici - fraktalne geometrije.

Šta je fraktal. Sam Mandelbrot je izveo riječ fraktal od latinske riječi fractus, što znači razbijen (podijeljen na dijelove). A jedna od definicija fraktala je geometrijska figura koja se sastoji od dijelova i koja se može podijeliti na dijelove, od kojih će svaki predstavljati umanjenu kopiju cjeline (barem približno).

Da biste bliže zamislili fraktal, razmotrite primjer iz knjige B. Mandelbrota "Fraktalna geometrija prirode", koja je postala klasična - "Koliko je duga obala Britanije?". Odgovor na ovo pitanje nije tako jednostavan kao što se čini. Sve ovisi o dužini alata koji ćemo koristiti. Nakon što smo izmjerili obalu kilometrskim ravnalom, dobili smo neku dužinu. Međutim, preskočit ćemo mnoge male uvale i poluotoke koji su mnogo manji od našeg vladara. Smanjenjem veličine ravnala na, recimo, 1 metar, uzet ćemo u obzir ove detalje krajolika, pa će se, shodno tome, povećati i dužina obale. Idemo naprijed i mjerimo dužinu obale pomoću milimetarskog ravnala, ovdje ćemo uzeti u obzir detalje koji su veći od milimetra, dužina će biti još veća. Kao rezultat toga, odgovor na tako naizgled jednostavno pitanje može svakoga zbuniti - dužina britanske obale je beskonačna.

Malo o dimenzijama.

U svakodnevnom životu stalno se susrećemo sa dimenzijama. Procjenjujemo dužinu puta (250 m), saznajemo površinu stana (78 m2) i tražimo zapreminu pivske flaše (0,33 dm3) na naljepnici. Ovaj koncept je prilično intuitivno jasan i, čini se, ne zahtijeva pojašnjenje. Prava ima dimenziju 1. To znači da, nakon odabira referentne tačke, možemo definirati bilo koju tačku na ovoj pravoj koristeći 1 broj - pozitivan ili negativan. I to se odnosi na sve prave - krug, kvadrat, parabolu itd.

Dimenzija 2 znači da možemo jednoznačno definirati bilo koju tačku sa dva broja. Nemojte misliti da dvodimenzionalno znači ravno. Površina sfere je također dvodimenzionalna (može se definirati pomoću dvije vrijednosti - uglova kao što su širina i dužina).

Sa matematičke tačke gledišta, dimenzija se određuje na sljedeći način: za jednodimenzionalne objekte - udvostručenje njihove linearne veličine dovodi do povećanja veličine (u ovom slučaju dužine) dva puta (2 ^ 1).

Za 2D objekte, udvostručenje linearnih dimenzija će četverostruko povećati veličinu (na primjer, površina pravokutnika) (2 ^ 2).

Za 3-D objekte, povećanje linearnih dimenzija za dva puta dovodi do povećanja volumena osam puta (2 ^ 3) i tako dalje.

Dakle, dimenzija D se može izračunati na osnovu zavisnosti povećanja "veličine" objekta S od povećanja linearnih dimenzija L. D = log (S) / log (L). Za liniju D = log (2) / log (2) = 1. Za ravan D = log (4) / log (2) = 2. Za volumen D = log (8) / log (2) = 3. Može biti malo zbunjujuće, ali generalno nije teško i razumljivo.

Zašto sve ovo pričam? I da bi shvatili kako odvojiti fraktale od, recimo, kobasice. Pokušajmo izračunati dimenziju za Peano krivu. Dakle, imamo originalnu liniju, koja se sastoji od tri segmenta dužine X, zamijenjena sa 9 segmenata tri puta kraćih. Dakle, s povećanjem minimalnog segmenta za 3 puta, dužina cijele linije se povećava za 9 puta i D = log (9) / log (3) = 2 - dvodimenzionalni objekt !!!

Dakle, kada je dimenzija figure dobijene iz nekog od najjednostavnijih objekata (segmenata) veća od dimenzije ovih objekata, imamo posla sa fraktalom.

Fraktali su podijeljeni u grupe. Najveće grupe su:

Geometrijski fraktali.

Sa njima je započela istorija fraktala. Ova vrsta fraktala se dobija jednostavnim geometrijskim konstrukcijama. Obično se pri konstruisanju ovih fraktala radi sledeće: uzima se "seme" - aksiom - skup segmenata, na osnovu kojih će se konstruisati fraktal. Zatim se na ovo "sjeme" primjenjuje skup pravila, koji ga pretvara u neku vrstu geometrijske figure. Zatim se isti skup pravila primjenjuje na svaki dio ove figure. Svakim korakom figura će postajati sve složenija, a ako izvršimo (bar u mislima) beskonačan broj transformacija, dobićemo geometrijski fraktal.

Peano kriva o kojoj smo gore govorili je geometrijski fraktal. Na slici ispod prikazani su drugi primjeri geometrijskih fraktala (s lijeva na desno Koch pahuljica, List, Sierpinski trokut).

Koch Snowflake

List

Sierpinski trokut

Od ovih geometrijskih fraktala, prvi, Kochova pahulja, vrlo je zanimljiva i prilično poznata. Izgrađen je na bazi jednakostraničnog trougla. Svaki red u kojem ___ je zamijenjen sa 4 reda svaki 1/3 dužine originalnog _ / \ _. Dakle, sa svakom iteracijom, dužina krive se povećava za trećinu. A ako uradimo beskonačan broj iteracija, dobićemo fraktal - Kohovu pahulju beskonačne dužine. Ispostavilo se da naša beskonačna kriva pokriva ograničeno područje. Pokušajte učiniti isto koristeći metode i oblike iz euklidske geometrije.

Dimenzija Kochove pahulje (kada pahulja naraste 3 puta, njena dužina se povećava 4 puta) D = log (4) / log (3) = 1,2619 ...

Takozvani L-sistemi su veoma pogodni za konstruisanje geometrijskih fraktala. Suština ovih sistema je da postoji specifičan skup sistemskih simbola, od kojih svaki označava određenu radnju i skup pravila za konverziju znakova. Na primjer, opisivanje Kochove pahulje pomoću L-Systems u programu Fractint

; Adrian Mariano iz Fraktalne geometrije prirode od Mandelbrota Koch1 ( ; postavite ugao rotacije 360/6 = 60 stepeni Ugao 6 ; Inicijalni crtež za izgradnju Aksiom F - F - F ; Pravilo konverzije znakova F = F + F - F + F)

U ovom opisu, geometrijska značenja simbola su sljedeća:

F znači crtanje + okretanje u smjeru kazaljke na satu - okretanje u smjeru suprotnom od kazaljke na satu

Drugo svojstvo fraktala je samosličnost. Uzmimo, na primjer, trokut Sierpinskog. Da biste ga konstruirali iz središta jednakostraničnog trokuta, "izrežite" trokut. Isti postupak ponavljamo za tri formirana trougla (osim za centralni) i tako u nedogled. Ako sada uzmemo bilo koji od formiranih trouglova i povećamo ga, dobićemo tačnu kopiju cjeline. U ovom slučaju imamo posla sa potpunom samosličnošću.

Odmah ću rezervirati da je većina fraktalnih crteža u ovom članku dobivena pomoću programa Fractint. Ako vas zanimaju fraktali, onda je ovo program mora imati Za tebe. Uz njegovu pomoć možete izgraditi stotine različitih fraktala, dobiti sveobuhvatne informacije o njima, pa čak i slušati kako fraktali zvuče;).

Reći da je program dobar znači ništa ne reći. Odličan je osim jedne stvari - najnovija verzija 20.0 dostupna je samo za DOS :(. Ovaj program (najnovija verzija 20.0) možete pronaći na http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html.

Ostavite komentar

Komentari (1)

Pa, za užinu, zanimljiv primjer Microsoft ExcelĆelije A2 i B2 imaju iste vrijednosti između 0 i 1. Kod vrijednosti od 0,5 nema efekta.

Pozdrav svima koji su uspjeli napraviti prog na slici Fratala. Ko može da mi kaže koju metodu ciklusa je bolje da koristim da napravim čistinu fraktala paprati sa 3d max supstratom sa dt iteracijom od 100.000 na kamenu sa 2800 mH

Postoji izvorni kod sa programom za crtanje Zmajeve krive, također fraktala.

Članak je odličan. A bivša jelka je vjerovatno greška koprocesora (na posljednjim bitovima nižeg reda)

Kako je fraktal otkriven

Matematički oblici poznati kao fraktali pripadaju geniju eminentnog naučnika Benoita Mandelbrota. Veći dio svog života predavao je matematiku na Univerzitetu Yale u SAD-u. Mandelbrot je 1977. - 1982. objavio naučne radove posvećene proučavanju "fraktalne geometrije" ili "geometrije prirode", u kojima je razbio naizgled nasumične matematičke forme na sastavne elemente koji su se, nakon detaljnijeg ispitivanja, ponavljali, što je dokazalo postojanje određeni obrazac za kopiranje... Mandelbrotovo otkriće imalo je značajne posljedice u razvoju fizike, astronomije i biologije.

Fraktali u prirodi

U prirodi, mnogi objekti imaju fraktalna svojstva, na primjer: krošnje drveća, karfiol, oblaci, cirkulatorni i alveolarni sistemi ljudi i životinja, kristali, pahulje, čiji su elementi raspoređeni u jednu složenu strukturu, obale (fraktalni koncept omogućio je naučnicima za mjerenje obale Britanskih ostrva i drugih, ranije nemjerljivih objekata).

Razmotrite strukturu karfiola. Ako odrežete jedan od cvjetova, očito je da vam u rukama ostaje ista karfiol, samo manje veličine. Možete nastaviti rezati iznova i iznova, čak i pod mikroskopom - međutim, sve što dobijemo su male kopije karfiola. U ovom najjednostavnijem slučaju, čak i mali dio fraktala sadrži informacije o cijeloj konačnoj strukturi.

Fraktali u digitalnoj tehnologiji

Fraktalna geometrija je dala neprocenjiv doprinos razvoju novih tehnologija u oblasti digitalne muzike, kao i omogućila kompresiju digitalnih slika. Postojeći algoritmi za kompresiju fraktalne slike zasnivaju se na principu pohranjivanja komprimirane slike umjesto same digitalne slike. Za sliku koja se stisne, glavna slika ostaje fiksna tačka. Microsoft je koristio jednu od varijanti ovog algoritma prilikom objavljivanja svoje enciklopedije, ali iz ovog ili onog razloga ova ideja nije bila široko rasprostranjena.

Matematička osnova fraktalne grafike je fraktalna geometrija, gdje je princip nasljeđivanja od originalnih "roditeljskih objekata" stavljen u osnovu metoda za konstruisanje "slika-nasljednika". Sami koncepti fraktalne geometrije i fraktalne grafike pojavili su se tek prije 30-ak godina, ali su ih kompjuterski dizajneri i matematičari već učvrstili.

Osnovni koncepti fraktalne kompjuterske grafike su:

• Fraktalni trokut - fraktalni lik - fraktalni objekt (hijerarhija u opadajućem redoslijedu)
• Fraktalna linija
• Fraktalni sastav
• "Nadređeni objekat" i "Objekat naslednik"

Baš kao u vektorskoj i 3D grafici, kreiranje fraktalnih slika se matematički izračunava. Glavna razlika u odnosu na prva dva tipa grafike je u tome što se fraktalna slika gradi prema jednadžbi ili sistemu jednačina - ništa osim formule u memoriji računara ne treba biti pohranjeno da bi se izvršili svi proračuni - i takva kompaktnost matematičkog aparata omogućilo je korištenje ove ideje u kompjuterskoj grafici. Jednostavnom promjenom koeficijenata jednadžbe, lako možete dobiti potpuno drugačiju fraktalnu sliku - pomoću nekoliko matematičkih koeficijenata postavljaju se površine i linije vrlo složenih oblika, što vam omogućava da implementirate takve tehnike kompozicije kao što su horizontalna i vertikalna, simetrija i asimetrija , dijagonalni smjerovi i još mnogo toga.

Kako napraviti fraktal?

Kreator fraktala istovremeno igra ulogu umjetnika, fotografa, vajara i naučnika-pronalazača. Koje su faze rada na stvaranju slike "od nule"?

• postavite oblik slike matematičkom formulom
• istražiti konvergenciju procesa i varirati njegove parametre
• odaberite vrstu slike
• odaberite paletu boja

Među fraktalnim grafičkim uređivačima i drugima grafički programi mogu se razlikovati:

• "Art Dabbler"
• "Slikar" (bez kompjutera nijedan umjetnik nikada neće doći do mogućnosti koje su postavili programeri samo uz pomoć olovke i olovke)
• "Adobe Photoshop" (ali ovdje slika nije stvorena "od nule", već se, u pravilu, samo obrađuje)

Razmotrimo uređaj proizvoljne fraktalne geometrijske figure. U njegovom središtu je najjednostavniji element - jednakostranični trokut, koji je dobio isto ime: "fraktal". Na srednjem segmentu stranica konstruirajte jednakostranične trouglove sa stranom jednakom jednoj trećini stranice originalnog fraktalnog trougla. Čak i manji trouglovi-nasljednici druge generacije grade se na istom principu - i tako u nedogled. Rezultirajući objekt naziva se "fraktalna figura", iz čijih sekvenci dobijamo "fraktalni sastav".

Izvor: http://www.iknowit.ru/

Fraktali i drevne mandale

Ovo je mandala za privlačenje novca. Tvrdi se da crvena boja djeluje kao magnet za novac. Okićeni uzorci vas ni na šta ne podsjećaju? Činile su mi se vrlo poznate i počeo sam istraživati ​​mandale kao fraktal.

U principu, mandala je geometrijski simbol složene strukture, koji se tumači kao model svemira, „mapa kosmosa“. Ovo je prvi znak fraktalnosti!

Vezene su na tkanini, slikane na pijesku, rađene puderima u boji i od metala, kamena, drveta. Svijetli i očaravajući izgled čini ga prekrasnim ukrasom za podove, zidove i stropove hramova u Indiji. Na staroindijskom jeziku "mandala" znači mistični krug međusobne povezanosti duhovne i materijalne energije Univerzuma ili, drugim riječima, cvijet života.

Želio sam da napišem recenziju o fraktalnim mandalama vrlo malom, sa minimumom pasusa, pokazujući da veza jasno postoji. Međutim, pokušavajući da pronađem svijest i povežem informacije o fraktalima i mandalama u jednu cjelinu, imao sam osjećaj kvantnog skoka u meni nepoznat prostor.

Ogromnost ove teme demonstriram citatom: „Ovakve fraktalne kompozicije ili mandale mogu se koristiti i u obliku slika, dizajnerskih elemenata za stambene i radne prostorije, nosivih amajlija, u obliku video kaseta, kompjuterskih programa... „Generalno, tema za proučavanje fraktala je jednostavno ogromna.

Jedno mogu reći sa sigurnošću, svijet je mnogo raznovrsniji i bogatiji od loših ideja naših umova o njemu.

Fraktalne morske životinje

Moja nagađanja o fraktalnim morskim životinjama nisu bila neutemeljena. Evo prvih predstavnika. Hobotnica je morska bentoska životinja iz reda glavonožaca.

Gledajući ovu fotografiju, postala mi je očigledna fraktalna struktura njegovog tijela i sisa na svih osam pipaka ove životinje. Gumene čašice na pipcima odrasle hobotnice dosežu i do 2.000.

Zanimljiva je činjenica da hobotnica ima tri srca: jedno (glavno) tjera plavu krv po cijelom tijelu, a druga dva - škrga - potiskuju krv kroz škrge. Neki od ovih dubokomorskih fraktala su otrovni.

Prilagođavajući se i prerušavajući se svom okruženju, hobotnica ima vrlo korisnu sposobnost promjene boje.

Hobotnice se smatraju najpametnijim od svih beskičmenjaka. Oni upoznaju ljude, naviknu se na one koji ih hrane. Bilo bi zanimljivo pogledati hobotnice koje se lako dresiraju, imaju dobro pamćenje i čak razlikuju geometrijske oblike. Ali starost ovih fraktalnih životinja je kratkotrajna - najviše 4 godine.

Čovjek koristi mastilo ovog živog fraktala i drugih glavonožaca. Umjetnici ih traže zbog njihove izdržljivosti i lijepog smeđeg tona. U mediteranskoj kuhinji hobotnica je izvor vitamina B3, B12, kalijuma, fosfora i selena. Ali mislim da morate biti u stanju skuhati ove morske fraktale da biste uživali u njima.

Usput, treba napomenuti da su hobotnice grabežljivci. Svojim fraktalnim pipcima drže svoj plijen u obliku mekušaca, rakova i riba. Šteta ako tako lijepi mekušac postane hrana ovih morskih fraktala. Po mom mišljenju, također tipičan predstavnik fraktala morskog kraljevstva.

Ovo je srodnik puževa, golopodni golužac Glaucus, zvani Glaucus, zvani Glaucus atlanticus, zvani Glaucilla marginata. Ovaj fraktal je neobičan i po tome što živi i kreće se ispod površine vode, držeći ga površinska napetost. Jer mekušac je hermafrodit, a nakon parenja oba "partnera" polažu jaja. Ovaj fraktal se nalazi u svim okeanima u tropskoj zoni.

Fraktali morskog kraljevstva

Svako od nas je barem jednom u životu držao u rukama i sa iskrenim djetinjastim zanimanjem pregledao morsku školjku.

Obično su školjke lijep suvenir koji podsjeća na izlet na more. Kada pogledate ovu spiralnu formaciju mekušaca beskičmenjaka, nema sumnje u njenu fraktalnu prirodu.

Mi ljudi pomalo podsjećamo na ove mekušce mekog tijela, koji žive u udobnim betonskim fraktalnim kućama, stavljaju i pomiču svoja tijela u brzim automobilima.

Još jedan tipičan predstavnik fraktalnog podvodnog svijeta je koral.
U prirodi je poznato više od 3500 vrsta koralja, u čijoj se paleti razlikuje do 350 nijansi boja.

Koral je skeletni materijal kolonije koraljnih polipa, takođe iz porodice beskičmenjaka. Njihove ogromne akumulacije formiraju čitave koralne grebene, čiji je fraktalni način formiranja očigledan.

Koral se sa sigurnošću može nazvati fraktalom iz morskog kraljevstva.

Ljudi ga koriste i kao suvenir ili sirovinu za nakit i ukrase. Ali vrlo je teško ponoviti ljepotu i savršenstvo fraktalne prirode.

Iz nekog razloga, ne sumnjam da će se mnoge fraktalne životinje naći i u podvodnom svijetu.

Još jednom, izvodeći ritual u kuhinji sa nožem i daskom za sečenje, a onda, bacivši nož u hladnu vodu, ponovo sam u suzama razmišljala kako da se nosim sa fraktalom suza koji mi se skoro svakodnevno pojavljuje u očima.

Princip fraktalnosti je isti kao i kod poznate matrjoške - gniježđenja. Zato se fraktalnost ne primjećuje odmah. Osim toga, svjetlost je ujednačena boja i njena prirodna sposobnost izazivanja nelagodnost ne doprinose bliskom posmatranju univerzuma i identifikaciji fraktalnih matematičkih zakona.

No, luk zelene salate boje lila, zbog svoje boje i odsustva fitoncida suza, doveo je do razmišljanja o prirodnoj fraktalnosti ovog povrća. Naravno, radi se o jednostavnom fraktalu, običnim krugovima različitih promjera, čak bi se moglo reći i najprimitivnijem fraktalu. Ali ne bi škodilo zapamtiti da se lopta smatra idealnom geometrijskom figurom u našem svemiru.

Na internetu je objavljeno mnogo članaka o korisnim svojstvima luka, ali nekako niko nije pokušao proučiti ovaj prirodni primjerak sa stanovišta fraktalnosti. Mogu samo navesti činjenicu o korisnosti korištenja fraktala u obliku luka u mojoj kuhinji.

P.S. I već sam kupio rezač povrća za mljevenje fraktala. Sada morate razmisliti o tome koliko je fraktalno tako zdravo povrće kao što je obični bijeli kupus. Isti princip gniježđenja.

Fraktali u narodnoj umjetnosti

Pažnju mi ​​je privukla istorija svetski poznate igračke "Matrjoška". Ako bolje pogledamo, možemo sa sigurnošću reći da je ova igračka-suvenir tipičan fraktal.

Princip fraktalnosti je očigledan kada su sve figure drvene igračke poredane, a ne ugniježđene jedna u drugu.

Moje male studije o istoriji pojave ovog fraktala igračke na svetskom tržištu pokazale su da ova lepotica ima japanske korene. Matrjoška je oduvek važila za iskonski ruski suvenir. No, ispostavilo se da je ona prototip japanske figurice starog mudraca Fukuruma, jednom donesene u Moskvu iz Japana.

Ali upravo je ruski zanat od igračaka donio svjetsku slavu ovoj japanskoj figurici. Odakle ideja fraktalnog gniježđenja igračke, za mene lično, ostala je misterija. Najvjerovatnije je autor ove igračke koristio princip gniježđenja figura jedna u drugu. A najlakši način za pričvršćivanje su slične figure različitih veličina, a ovo je već fraktal.

Jednako zanimljiv predmet istraživanja je i slikanje fraktalne igračke. Ovo je ukrasna slika - khokhloma. Tradicionalni elementi Khokhlome su biljni uzorci cvijeća, bobica i grana.

Opet, svi znaci fraktalnosti. Uostalom, isti element se može ponoviti nekoliko puta u različitim verzijama i proporcijama. Rezultat je narodna fraktalna slika.

A ako nikoga nećete iznenaditi novonastalim slikanjem kompjuterskih miševa, maski za laptop i telefona, onda je fraktalno podešavanje automobila u narodnom stilu nešto novo u auto dizajnu. Ostaje samo da se iznenadimo manifestaciji svijeta fraktala u našem životu na tako neobičan način u tako uobičajenim stvarima za nas.

Fraktali u kuhinji

Svaki put kada sam uzeo karfiol u male cvatove za blanširanje u kipućoj vodi, ni jednom nisam obratio pažnju na očigledne znakove fraktalnosti dok nisam imao ovaj primjerak u rukama.

Tipičan biljni fraktal bio je na mom kuhinjskom stolu.

Uz svu svoju ljubav prema karfiolu, uvijek sam nailazio na primjerke ujednačene površine bez vidljivih znakova fraktalnosti, a čak ni veliki broj cvasti ugniježđenih jedna u drugu nije mi dao povoda da vidim fraktal u ovom korisnom povrću.

No, površina ovog konkretnog primjerka s izraženom fraktalnom geometrijom nije ostavila ni najmanju sumnju u fraktalno porijeklo ove vrste kupusa.

Još jedan odlazak u hipermarket samo je potvrdio fraktalni status kupusa. Među ogromnim brojem egzotičnog povrća bila je cijela kutija fraktala. Bio je to Romanescu, ili romanski brokoli, karfiol.

Ispostavilo se da se dizajneri i 3D umjetnici dive njegovim egzotičnim, fraktalnim oblicima.

Pupoljci kupusa rastu u logaritamskoj spirali. Prvi spomeni romaneskuovog kupusa potiču iz Italije u 16. veku.

A kupus od brokule nije nimalo čest gost u mojoj ishrani, iako po sadržaju hranljivih sastojaka i elemenata u tragovima ponekad nadmašuje karfiol. Ali njegova površina i oblik su toliko ujednačeni da mi nije palo na pamet da u njemu vidim biljni fraktal.

Fraktali u kvilingu

Gledajući ažurne zanate u tehnici quillinga, nisam ostavio osjećaj da me na nešto podsjećaju. Ponavljanje istih elemenata u različitim veličinama - naravno, ovo je princip fraktalnosti.

Nakon gledanja sljedeće majstorske klase o quillingu, nije bilo sumnje u fraktalnost quillinga. Doista, za izradu raznih elemenata za quilling zanate koristi se poseban ravnalo s krugovima različitih promjera. Uz svu ljepotu i jedinstvenost proizvoda, ovo je nevjerojatno jednostavna tehnika.

Gotovo svi osnovni elementi za quilling zanate izrađeni su od papira. Da biste besplatno nabavili papir za quilling, izvršite reviziju svojih polica za knjige kod kuće. Sigurno ćete tamo pronaći nekoliko sjajnih sjajnih časopisa.

Alati za kviliranje su jednostavni i jeftini. Sve što vam je potrebno za amaterski quilling možete pronaći među kućnim kancelarijskim priborom.

A istorija quillinga počinje u 18. veku u Evropi. Tokom renesanse, monasi iz francuskih i italijanskih manastira koristili su quilling za ukrašavanje korica knjiga i nisu ni slutili da je tehnika valjanja papira koju su izmislili fraktalna. Djevojke iz visokog društva čak su pohađale kurs quillinga u specijalnim školama. Ovako se ova tehnika počela širiti po zemljama i kontinentima.

Ova majstorska klasa video quillinga za pravljenje luksuznog perja može se čak nazvati i "uradi sam fraktali". Uz pomoć papirnih fraktala dobivaju se predivne ekskluzivne čestitke za Valentinovo i mnoge druge zanimljive stvari. Uostalom, fantazija je, kao i priroda, neiscrpna.

Ni za koga nije tajna da su Japanci u životu veoma ograničeni u prostoru, pa se zato moraju potruditi da ga efikasno iskoriste. Takeshi Miyakawa pokazuje kako se to može učiniti i efikasno i estetski. Njegova fraktalna garderoba potvrđuje da upotreba fraktala u dizajnu nije samo danak modi, već i harmonično dizajnersko rješenje u ograničenom prostoru.

Ovaj primjer upotrebe fraktala u stvarnom životu, primijenjen na dizajn namještaja, pokazao mi je da fraktali nisu stvarni samo na papiru u matematičkim formulama i kompjuterskim programima.

I čini se da priroda svuda koristi princip fraktalnosti. Samo treba da je bolje pogledate i ona će se manifestovati u svom svom veličanstvenom obilju i beskonačnosti bića.

Dakle, fraktal je matematički skup koji se sastoji od objekata sličnih ovom skupu. Drugim riječima, ako pogledamo mali fragment fraktalne figure pod uvećanjem, on će izgledati kao dio ove figure većeg razmjera, ili čak figura u cjelini. Za fraktal, osim toga, povećanje razmjera ne znači pojednostavljenje strukture. Stoga ćemo na svim nivoima vidjeti jednako složenu sliku.

Fraktalna svojstva

Na osnovu gornje definicije, fraktal se obično predstavlja kao geometrijska figura koja zadovoljava jedno ili više od sljedećih svojstava:

Ima složenu strukturu pri svakom povećanju;

Približno sebi slični (dijelovi su slični cjelini);

Ima frakcijsku dimenziju koja je više topološka;

Može se konstruisati rekurzivnom metodom.

Fraktali u vanjskom svijetu

Unatoč činjenici da se koncept "fraktala" čini izuzetno apstraktnim, u životu možete naići na mnoge primjere iz stvarnog života, pa čak i praktične primjere ovog fenomena. Štaviše, iz okolnog svijeta svakako se mora uzeti u obzir, jer će oni dati bolje razumijevanje fraktala i njegovih karakteristika.

Na primjer, antene za različite uređaje, čiji su dizajni izvedeni fraktalnom metodom, pokazuju svoju efikasnost 20% veću od antena tradicionalnog dizajna. Osim toga, fraktalna antena može raditi sa odličnim performansama istovremeno na širokom spektru frekvencija. Zbog toga moderni mobilni telefoni u svom dizajnu praktički nemaju vanjske antene klasičnog uređaja - potonje su zamijenjene unutrašnjim fraktalnim, koje se montiraju direktno na štampanu ploču telefona.

Fraktali su dobili veliku pažnju sa razvojem informacione tehnologije... Trenutno su razvijeni algoritmi za kompresiju različitih slika pomoću fraktala, postoje metode za konstruisanje računarskih grafičkih objekata (drveće, planinske i morske površine) na fraktalni način, kao i fraktalni sistem za dodeljivanje IP adresa u nekim mrežama.

U ekonomiji postoji način da se koriste fraktali kada se analiziraju kotacije dionica i valuta. Možda je čitatelj koji trguje na Forex tržištu vidio fraktalnu analizu u akciji na trgovačkom terminalu, ili je čak primijenio u praksi.

Također, pored objekata koje je čovjek umjetno stvorio sa fraktalnim svojstvima, u prirodnoj prirodi postoji i mnogo takvih objekata. Dobri primjeri fraktala su koralji, morske školjke, neko cvijeće i biljke (brokula, karfiol), krvožilni sistem i bronhi ljudi i životinja, uzorci formirani na staklu, prirodni kristali. Ovi i mnogi drugi objekti imaju izražen fraktalni oblik.

Kada ne razumem sve što sam pročitao, nisam posebno uznemiren. Ako mi ta tema kasnije ne naiđe, onda nije posebno bitna (barem za mene). Ako se ova tema ponovo pojavi, po treći put, imaću nove šanse da je bolje razumem. Fraktali su među takvim temama. Prvo sam o njima saznao iz knjige Nassima Taleba, a zatim detaljnije iz knjige Benoita Mandelbrota. Danas, na zahtjev "fraktala", možete dobiti 20 bilješki na stranici.

Dio I. PUTOVANJE DO IZVORA

IMENOVATI ZNAČI SAZNATI. Početkom 20. vijeka, Henri Poincaré je primijetio: „Iznenađeni ste snagom koju jedna riječ može imati. Evo predmeta o kojem se ništa nije moglo reći dok nije kršten. Bilo je dovoljno dati mu ime da se čudo dogodi ”(vidi također). I tako se dogodilo kada je 1975. godine francuski matematičar poljskog porijekla Benoit Mandelbrot sastavio Riječ. Od latinskih reči frangere(pauza) i fractus(diskontinuirano, diskretno, frakciono) fraktalno formiran. Mandelbrot je vješto promovirao i reklamirao fraktal kao brend s naglaskom na emocionalnu privlačnost i racionalnu korisnost. Objavljuje nekoliko monografija, uključujući, Fraktalna geometrija prirode (1982).

FRAKTALI U PRIRODI I UMJETNOSTI. Mandelbrot je ocrtao konture fraktalne geometrije koja nije euklidska. Razlika se nije odnosila na aksiom paralelizma, kao u geometrijama Lobačevskog ili Rimanna. Razlika je bila u napuštanju Euklidovog podrazumevanog zahteva za glatkoćom. Neki objekti su svojstveni hrapavosti, poroznosti ili fragmentaciji, a mnogi od njih imaju navedena svojstva "u istoj mjeri na bilo kojoj skali". Takvih oblika u prirodi ne nedostaje: suncokret i brokula, školjke, paprati, pahulje, planinske pukotine, obale, fjordovi, stalagmiti i stalaktiti, munje.

Ljudi koji su pažljivi i pažljivi već dugo primjećuju da neki oblici pokazuju obrazac koji se ponavlja kada se gleda "blizu ili daleko". Približavajući se takvim objektima, primjećujemo da se mijenjaju samo manji detalji, ali oblik u cjelini ostaje gotovo nepromijenjen. Na osnovu toga, fraktal je najlakše definirati kao geometrijski oblik koji sadrži ponavljajuće elemente u bilo kojoj mjeri.

MITOVI I MISTIFIKACIJE. Novi sloj oblika koji je otkrio Mandelbrot postao je rudnik zlata za dizajnere, arhitekte i inženjere. Nebrojen broj fraktala je izgrađen po istim principima višestrukog ponavljanja. Odavde je fraktal najlakše definirati kao geometrijski oblik koji sadrži elemente koji se ponavljaju u bilo kojoj mjeri. Ova geometrijska forma je lokalno nepromjenjiva (invarijantna), samoslična u mjerilu i integralna u svojim ograničenjima, prava singularnost, čija se složenost otkriva kako se približava, a na daljinu je sama trivijalnost.

ĐAVOLJE LESTVE. Izuzetno jaki električni signali se koriste za prijenos podataka između računala. Ovaj signal je diskretan. Smetnje ili šum se slučajno javljaju u električnim mrežama iz više razloga i dovode do gubitka podataka kada se informacije prenose između računara. Da bi se eliminisao uticaj šuma na prenos podataka ranih šezdesetih godina prošlog veka, poverena je grupa inženjera IBM-a u kojoj je učestvovao Mandelbrot.

Gruba analiza je pokazala postojanje perioda u kojima nije zabilježena niti jedna greška. Ističući periode od jednog sata, inženjeri su primetili da su između njih periodi prenosa signala bez grešaka takođe isprekidani, ovde postoje kraće pauze u trajanju od dvadesetak minuta. Dakle, prijenos podataka bez grešaka karakteriziraju paketi podataka različite dužine i pauze u šumu, tokom kojih se signal prenosi bez grešaka. Paketi višeg ranga su takoreći ugrađeni paketi nižeg ranga. Takav opis pretpostavlja postojanje takve stvari kao što je relativna pozicija najniže rangiranih paketa u paketu višeg ranga. Iskustvo je pokazalo da je distribucija vjerovatnoće ovih relativnih lokacija paketa nezavisna od njihovog ranga. Ova invarijantnost ukazuje na samosličnost procesa izobličenja podataka pod uticajem električnog šuma. Sam postupak prekidanja pauza bez grešaka u signalu tokom prenosa podataka nije mogao pasti na pamet elektroinženjerima iz razloga što je za njih bio nov.

Ali Mandelbrot, koji je studirao čistu matematiku, bio je dobro svjestan Cantorovog skupa, opisanog još 1883. godine i koji predstavlja prašinu iz tačaka dobijenih prema rigoroznom algoritmu. Suština algoritma za konstruisanje "Kantorove prašine" je sledeća. Uzmite pravi segment. Iz nje uklonite srednju trećinu segmenta, zadržavajući dva krajnja. Sada ćemo ponoviti istu operaciju sa krajnjim segmentima i tako dalje. Mandelbrot je otkrio da je upravo to geometrija paketa i pauza u prijenosu signala između računala. Greška se gomila. Njegova akumulacija se može modelirati na sljedeći način. U prvom koraku svim tačkama iz intervala ćemo dodijeliti vrijednost 1/2, u drugom koraku iz intervala 1/4, vrijednost 3/4 tačkama iz intervala itd. Korak po korak zbrajanje ovih vrijednosti omogućava nam da izgradimo takozvane "đavolje ljestve" (slika 1). Mjera "Kantorove prašine" je iracionalan broj jednak 0,618 ..., poznat kao "zlatni omjer" ili "Božanska proporcija".

Dio II. FRAKTALI SUŠTINU

OSMEH BEZ MAČKE: FRAKTALNA DIMENZIJA. Dimenzija je jedan od osnovnih pojmova koji nadilazi matematiku. Euklid je u prvoj knjizi "Počeci" definisao osnovne pojmove geometrije tačka, prava, ravan. Na osnovu ovih definicija, koncept trodimenzionalnog euklidskog prostora ostao je nepromijenjen skoro dvije i po hiljade godina. Brojna koketiranja sa prostorima od četiri, pet ili više dimenzija u suštini ništa ne dodaju, ali se suočavaju sa onim što ljudska mašta ne može zamisliti. Sa otkrićem fraktalne geometrije, dogodila se radikalna revolucija u konceptu dimenzije. Pojavila se velika raznolikost dimenzija, a među njima ima ne samo cijelih, već i razlomaka, pa čak i iracionalnih. I ove dimenzije su dostupne za vizuelnu i senzornu prezentaciju. Zaista, sir s rupama možemo lako zamisliti kao model okoline čija je dimenzija veća od dvije, ali ne dostiže tri zbog rupa za sir, što smanjuje dimenziju sirne mase.

Da bismo razumjeli frakcijske ili fraktalne dimenzije, okrećemo se Ričardsonovom paradoksu, koji je tvrdio da je britanska britanska obala beskonačne dužine! Louis Fry Richardson se zapitao o učinku razmjera na izmjerenu dužinu britanske obale. Prilikom prelaska sa skale konturnih karata na skalu "obalnih oblutaka", došao je do čudnog i neočekivanog zaključka: dužina obalne crte se neograničeno povećava, a to povećanje nema granice. Glatke, zakrivljene linije se ne ponašaju ovako. Ričardsonovi empirijski podaci, dobijeni na kartama sve većih razmera, ukazuju na povećanje dužine obalne linije po stepenu sa smanjenjem koraka merenja:

U ovoj jednostavnoj Richardsonovoj formuli L postoji izmjerena dužina obale, ε Je veličina koraka mjerenja, a β ≈ 3/2 je stepen povećanja dužine obale sa smanjenjem koraka mjerenja koji je on pronašao. Za razliku od obima, dužina obale Velike Britanije raste iznad granice od 55. To je beskrajno! Moramo se pomiriti sa činjenicom da su krive izlomljene, neglatke, da nemaju graničnu dužinu.

Međutim, Richardsonove studije sugerirale su da one imaju neku karakterističnu mjeru stepena do kojeg se dužina povećava sa smanjenjem skale. Ispostavilo se da upravo ta vrijednost mistično identificira isprekidanu liniju kao otisak ličnosti osobe. Mandelbrot je tumačio obalu kao fraktalni objekt - objekt čija se dimenzija poklapa sa eksponentom β.

Na primjer, dimenzije obalnih graničnih krivulja za zapadnu obalu Norveške su 1,52; za UK - 1,25; za Njemačku - 1,15; za Australiju - 1,13; za relativno glatku obalu Južne Afrike - 1,02 i, konačno, za savršeno glatki krug - 1,0.

Gledajući fragment fraktala, ne možete reći koja je njegova dimenzija. A razlog nije u geometrijskoj složenosti fragmenta, fragment može biti vrlo jednostavan, već u činjenici da fraktalna dimenzija odražava ne samo oblik fragmenta, već i format transformacije fragmenta u procesu konstruiranja. fraktal. Fraktalna dimenzija je takoreći uklonjena iz forme. I zbog toga, vrijednost fraktalne dimenzije ostaje nepromjenjiva; ista je za bilo koji fragment fraktala na bilo kojoj skali istraživanja. Ne može se „prstima uhvatiti“, ali se može izračunati.

FRACTAL REPEAT. Ponavljanje se može modelirati korištenjem nelinearnih jednačina. Linearne jednačine karakterizira jedna-na-jedan korespondencija varijabli: svaka vrijednost NS odgovara jednoj i samo jednoj vrijednosti at i obrnuto. Na primjer, jednadžba x + y = 1 je linearna. Ponašanje linearnih funkcija je potpuno determinističko, jedinstveno određeno početnim uslovima. Ponašanje nelinearnih funkcija nije tako jednoznačno, jer dva različita početna uslova mogu dovesti do istog rezultata. Na osnovu toga, ponavljanje ponavljanja operacije pojavljuje se u dva različita formata. Može imati karakter linearne reference, kada na svakom koraku proračuna dolazi do povratka na početni uslov. Ovo je neka vrsta "iteracije uzorka". Serijska proizvodnja na transporteru je „iteracija uzorka“. Iteracija u linearnom referentnom formatu ne zavisi od međustanja evolucije sistema. Ovdje svaka nova iteracija počinje sa štednjaka. Sasvim je druga stvar kada iteracija ima format rekurzije, tj. rezultat prethodnog koraka iteracije postaje početni uslov za sljedeći.

Rekurzija se može ilustrovati Fibonačijevim nizom, predstavljenim u obliku Girardovog niza:

u n +2 = u n +1 + u n

Rezultat su Fibonačijevi brojevi:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

U ovom primjeru je sasvim očito da se funkcija primjenjuje na sebe bez pozivanja na početnu vrijednost. Klizi duž Fibonačijevog niza, takoreći, i svaki rezultat prethodne iteracije postaje početna vrijednost za sljedeću. To je ponavljanje koje se ostvaruje prilikom konstruisanja fraktalnih oblika.

Pokažimo kako je fraktalno ponavljanje implementirano u algoritme za konstruisanje "Sierpinskog salvete" (pomoću metode rezanja i CIF metode).

Metoda rezanja. Uzmite jednakostranični trokut sa stranom r... U prvom koraku, u sredini smo izrezali jednakostranični trokut sa dužinom stranice okrenute naopako r 1 = r 0/2. Kao rezultat ovog koraka, dobijamo tri jednakostranična trokuta sa dužinama stranica r 1 = r 0/2, koji se nalazi na vrhovima originalnog trougla (slika 2).

U drugom koraku, u svakom od tri formirana trokuta, izrezali smo obrnute upisane trokute sa dužinom stranice r 2 = r 1 /2 = r 0/4. Rezultat - 9 trouglova sa dužinom stranice r 2 = r 0/4. Kao rezultat toga, oblik Sierpinskog salvete postupno postaje sve određeniji. Fiksacija se javlja na svakom koraku. Sve dosadašnje obaveze su takoreći "brisane".

SIF metoda, ili Barnsleyjeva metoda iteriranih funkcijskih sistema. Dato je: jednakostranični trougao sa koordinatama uglova A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3 / 2). Z 0 - proizvoljna tačka unutar ovog trougla (slika 3). Uzimamo kockicu na čijim rubovima se nalaze dva slova A, B i C.

Korak 1. Zarolajte kost. Verovatnoća da svako slovo ispadne je 2/6 = 1/3.

• Ako je slovo A ispalo, konstruišemo segment z 0 –A u čiju sredinu stavljamo tačku z 1
• Ako slovo B ispadne, konstruisati segment z 0 –B, u čiju sredinu stavljamo tačku z 1
• Ako slovo C ispadne, konstruišemo segment z 0 –C, u čiju sredinu stavljamo tačku z 1

Korak 2. Ponovo zarolajte kost.

• Ako je slovo A ispalo, konstruišemo segment z 1 –A u čiju sredinu stavljamo tačku z 2
• Ako slovo B ispadne, konstruisati segment z 1 –B, u čiju sredinu stavljamo tačku z 2
• Ako slovo C ispadne, konstruišemo segment z 1 -C, u čiju sredinu stavljamo tačku z 2

Ponavljajući operaciju mnogo puta, dobijamo tačke z 3, z 4,…, z n. Posebnost svakog od njih je da je tačka tačno na pola puta od prethodne do proizvoljno odabranog vrha. Sada, ako odbacimo početne tačke, na primjer, od z 0 do z 100, onda ostale, s dovoljno velikim brojem njih, formiraju strukturu "Sierpinskog salvete". Što je više tačaka, što je više iteracija, to je fraktal Sierpinskog jasniji posmatraču. I to uprkos činjenici da se proces nastavlja, čini se, na nasumičan način (zahvaljujući kockicama). “Sierpinski salveta” je svojevrsni atraktor procesa, odnosno figura ka kojoj teže sve putanje koje se u ovom procesu konstruiraju s dovoljno velikim brojem iteracija. U ovom slučaju, fiksacija slike je kumulativni, akumulativni proces. Svaka pojedinačna tačka se možda nikada neće poklopiti sa tačkom fraktala Sierpinskog, ali svaka sledeća tačka ovog „slučajno“ organizovanog procesa privlači se sve bliže tačkama „salvete Sierpinskog“.

FEEDBACK LOOP. Osnivač kibernetike, Norbert Wiener, koristio je kormilara čamca kao primjer kako bi opisao povratnu spregu. Kormilar mora ostati na kursu i stalno procjenjivati ​​koliko je čamac na kursu. Ako kormilar vidi da čamac odstupa, okreće kormilo nazad na zadati kurs. Nakon nekog vremena on iznova procjenjuje i iznova korigira smjer vožnje uz pomoć kormila. Dakle, navigacija se vrši uz pomoć iteracija, ponavljanja i uzastopnog približavanja kretanja čamca zadanom kursu.

Tipična povratna sprega je prikazana na Sl. 4 Svodi se na promjenu varijabilnih parametara (smjer čamca) i kontroliranog parametra C (smjer čamca).

Razmotrimo mapiranje Bernulijevog pomaka. Neka se kao početno stanje odabere neki broj koji pripada intervalu od 0 do 1. Zapišimo ovaj broj u binarnom brojevnom sistemu:

x 0 = 0,01011010001010011001010 ...

Sada je jedan korak evolucije u vremenu da se niz nula i jedinica pomakne ulijevo za jednu poziciju, a znamenka na lijevoj strani decimalnog zareza se odbacuje:

x 1 = 0,1011010001010011001010 ...

x 2 = 0,011010001010011001010 ...

x 3 = 0,11010001010011001010 ...

Imajte na umu da ako su originalni brojevi x 0 racionalno, zatim tokom iteracije vrijednosti NSn ide u periodičnu orbitu. Na primjer, za sjeme od 11/24, dobit ćemo niz vrijednosti tokom iteracije:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Ako su originalne vrijednosti x 0 iracionalno, ekran nikada neće preći u periodični režim. Raspon početnih vrijednosti x 0 ∈ sadrži beskonačno mnogo racionalnih tačaka i beskonačno mnogo iracionalnih tačaka. Dakle, gustina periodičnih orbita jednaka je gustini orbita koje nikada ne ulaze u periodični režim. U bilo kom susjedstvu racionalne vrijednosti x 0 postoji iracionalna vrijednost originalnog parametra x'0 U ovakvom stanju stvari neizbežno se javlja suptilna osetljivost na početne uslove. Ovo je karakterističan znak da je sistem u stanju dinamičkog haosa.

ELEMENTARNE POVRATNE ŠARKE. Obrnuto je neophodno stanje i posledica svakog bočnog pogleda koji se iznenadi. Ikona petlje za preokret može biti Mobius traka, u kojoj se njena donja strana sa svakim krugom pretvara u gornju, unutrašnja postaje vanjska i obrnuto. Akumulacija razlika u obrnutom procesu prvo uklanja sliku iz originalne, a zatim joj se vraća. U logici, obrnutu petlju ilustruje Epimenidov paradoks: "Svi Krićani su lažovi." Ali sam Epimenid je bio Krićanin.

STRANGE LOOP. Dinamička suština fenomena čudne petlje svodi se na to da se slika, transformišući se i postajući sve drugačija od originala, u procesu brojnih deformacija vraća na prvobitnu sliku, ali je nikada ne ponavlja. Opisujući ovaj fenomen, Hofstadter uvodi u knjigu pojam "čudna petlja". On zaključuje da su i Escher, Bach i Gödel otkrili ili, tačnije, koristili čudne petlje u svojim radovima i kreativnosti u vizualnoj umjetnosti, muzici i matematici. U Metamorfozama, Escher je otkrio čudnu koherentnost različitih ravni stvarnosti. Oblici jedne od umjetničkih perspektiva plastično se pretvaraju u oblike druge umjetničke perspektive (sl. 5).

Rice. 5. Maurits Escher. Crtanje ruku. 1948

Ova neobičnost se na bizaran način manifestovala u muzici. Jedan od kanona Bachove "Muzičke ponude" ( Canon per Tonos- Tonski kanon) osmišljen je tako da njegov prividni finale neočekivano glatko prelazi na početak, ali sa pomakom u tonu. Ove uzastopne modulacije odvode slušaoca sve više i više od početnog ključa. Međutim, nekim čudom, nakon šest modulacija, skoro smo se vratili. Svi glasovi sada zvuče tačno jednu oktavu više nego na početku. Jedina čudnost je što se, dok se penjemo na nivoe određene hijerarhije, odjednom nađemo na skoro istom mestu odakle smo i krenuli - povratak bez ponavljanja.

Kurt Gödel otkrio je čudne petlje u jednoj od najstarijih i najsavladanijih područja matematike - teoriji brojeva. Gödelova teorema je prvi put ugledala svjetlo dana kao teorema VI u njegovom članku iz 1931. godine "O formalno nerješivim presudama" u Principu Mathematica. Teorema kaže sljedeće: sve konzistentne aksiomatske formulacije teorije brojeva sadrže neodlučive tvrdnje. Sudovi iz teorije brojeva ne govore ništa o sudovima iz teorije brojeva; oni nisu ništa drugo do sudovi teorije brojeva. Ovdje postoji petlja, ali nema čudnosti. U dokazu je skrivena čudna petlja.

STRANGE ATTRACTOR. Atraktor (od engleskog. privući privući) tačka ili zatvorena linija koja privlači sve moguće putanje ponašanja sistema. Atraktor je stabilan, odnosno, dugoročno gledano, jedini mogući model ponašanja atraktora, sve ostalo je privremeno. Atraktor je prostorno-vremenski objekat koji obuhvata čitav proces, a nije ni njegov uzrok ni posledica. Formiraju ga samo sistemi sa ograničenim brojem stepeni slobode. Atraktori mogu biti tačka, krug, torus i fraktal. U potonjem slučaju, atraktor se naziva „čudan“ (slika 6).

Tačkasti atraktor opisuje svako stabilno stanje sistema. U faznom prostoru, to je tačka oko koje se formiraju lokalne putanje "čvora", "fokusa" ili "sedla". Ovako se ponaša klatno: pri bilo kojoj početnoj brzini i bilo kojoj početnoj poziciji, nakon dovoljno vremena, pod dejstvom trenja, klatno se zaustavlja i dolazi u stanje stabilne ravnoteže. Kružni (ciklični) atraktor je kretanje naprijed-nazad, poput idealnog klatna (bez trenja), u krugu.

Čudni privlačni ( čudni atraktori) samo spolja izgledaju čudno, ali se termin „čudan atraktor” proširio odmah nakon što je 1971. godine izašao članak Davida Ruela i Holanđanina Florisa Takensa „Priroda turbulencije” (vidi takođe). Ruelle i Takens su se pitali da li neki atraktor ima odgovarajući skup karakteristika: stabilnost, ograničen broj stupnjeva slobode i neperiodičnost. Geometrijski, pitanje je izgledalo kao čista zagonetka. Kakav oblik treba da ima beskonačno duga putanja prikazana u skučenom prostoru da se nikada ne ponovi ili preseca? Da bi se reprodukovao svaki ritam, orbita mora biti beskonačno duga linija na ograničenom području, drugim riječima, biti samoprogutana (slika 7).

Do 1971. već je postojala jedna skica takvog atraktora u naučnoj literaturi. Edward Lorenz ga je učinio dodatkom svom članku o determinističkom haosu iz 1963. godine. Ovaj atraktor je bio stabilan, neperiodičan, imao je mali broj stepeni slobode i nikada se nije ukrstio. Ako bi se tako nešto dogodilo, a on se vratio na tačku koju je već prošao, kretanje bi se ponovilo u budućnosti, formirajući toroidni atraktor, ali to se nije dogodilo.

Neobičnost atraktora leži, kako je Ruelle verovao, u tri neekvivalentne, ali u praksi postojeće zajedno karakteristike:

• fraktalnost (gniježđenje, sličnost, konzistentnost);
• determinizam (ovisnost o početnim uslovima);
• singularnosti (konačan broj definirajućih parametara).

Dio III. IMPREZIVNA LAKOĆA FRAKTALNIH FORMI

IMAGINARNI BROJEVI, FAZNI PORTRETI I VJEROJATNOST. Fraktalna geometrija počiva na teoriji imaginarnih brojeva, dinamičkim faznim portretima i teoriji vjerovatnoće. Teorija imaginarnih brojeva pretpostavlja da postoji kvadratni korijen od minus jedan. Gerolamo Cardano je u svom djelu "Velika umjetnost" ("Ars Magna", 1545.) predstavio općenito rješenje kubične jednačine z 3 + pz + q = 0. Cardano koristi imaginarne brojeve kao tehnički formalizam za izražavanje korijena jednačina. On primjećuje neobičnost, koju ilustruje jednostavnom jednačinom x 3 = 15x + 4. Ova jednačina ima jedno očigledno rješenje: x = 4. Međutim, generalizirajuća formula daje čudan rezultat. Sadrži korijen negativnog broja:

Raphael Bombelli je u svojoj knjizi o algebri ("L'Algebra", 1560) istakao da je = 2 ± i, što mu je odmah omogućilo da dobije pravi korijen x = 4. U sličnim slučajevima, kada su kompleksni brojevi konjugirani, dobijamo pravi korijen , a kompleksni brojevi služe kao tehnička pomoć u procesu dobivanja rješenja kubne jednadžbe.

Newton je vjerovao da rješenja koja sadrže korijen od minus jedan treba smatrati „nefizički značajnim“ i odbaciti. U XVII-XVIII veku formiralo se shvatanje da nešto imaginarno, duhovno, imaginarno nije ništa manje stvarno od svega stvarnog zajedno. Možemo čak dati i tačan datum 10. novembra 1619. godine, kada je Descartes formulisao manifest novog mišljenja "cogito ergo sum". Od ovog trenutka misao je apsolutna i nesumnjiva stvarnost: „ako mislim, onda znači da postojim“! Tačnije, misao se sada doživljava kao stvarnost. Descartesova ideja ortogonalnog koordinatnog sistema, zahvaljujući imaginarnim brojevima, dobija svoju potpunost. Sada je moguće ispuniti ove imaginarne brojeve značenjima.

U 19. vijeku radovi Eulera, Argana, Cauchyja, Hamiltona razvili su aritmetički aparat za rad sa kompleksnim brojevima. Bilo koji kompleksni broj može se predstaviti kao zbir X + iY, gdje su X i Y realni brojevi na koje smo navikli, i i imaginarna jedinica (u stvari to je √ – 1). Svaki kompleksni broj odgovara tački sa koordinatama (X, Y) na takozvanoj kompleksnoj ravni.

Drugi važan koncept - fazni portret dinamičkog sistema formiran je u XX veku. Nakon što je Ajnštajn pokazao da se sve kreće istom brzinom u odnosu na svetlost, stekla je ideja o mogućnosti izražavanja dinamičkog ponašanja sistema u formatu zamrznutih geometrijskih linija, takozvanog faznog portreta dinamičkog sistema. jasno fizičko značenje.

Ilustrujmo to na primjeru klatna. Jean Foucault je svoje prve eksperimente s klatnom izveo 1851. godine u podrumu, zatim u Pariskoj opservatoriji, zatim pod kupolom Panteona. Konačno, 1855. godine, Foucaultovo klatno je obješeno ispod kupole pariške crkve Saint-Martin-de-Chan. Dužina užeta Foucaultovog klatna je 67 m, a težina utega je 28 kg. Sa velike udaljenosti, klatno izgleda kao tačka. Tačka je uvek nepomična. Približavajući se, razlikujemo sistem sa tri tipične putanje: harmonijski oscilator (sinϕ ≈ ϕ), klatno (oscilacije naprijed-nazad), propeler (rotacija).

Kada lokalni posmatrač vidi jednu od tri moguće konfiguracije kretanja lopte, analitičar udaljen iz procesa može pretpostaviti da lopta izvodi jedno od tri tipična kretanja. Ovo se može prikazati na jednom planu. Neophodno je da se dogovorimo da ćemo „lopticu na niti“ pomeriti u apstraktni fazni prostor, koji ima onoliko koordinata koliko je stepena slobode sistema koji se razmatra. U ovom slučaju govorimo o dva stepena slobode brzine v i ugao nagiba konca sa kuglom prema vertikali ϕ. U koordinatama ϕ i v, putanja harmonijskog oscilatora je sistem koncentričnih krugova, kako se ugao ϕ povećava, ovi krugovi postaju ovalni, a pri ϕ = ± π zatvaranje ovala je izgubljeno. To znači da je klatno prešlo u režim propelera: v = konst(sl. 8).

Rice. 8. Klatno: a) putanja u faznom prostoru idealnog klatna; b) putanja u faznom prostoru klatna koje se ljulja sa prigušenjem; c) fazni portret

Možda nema dužine, trajanja ili kretanja u faznom prostoru. Ovdje je svaka radnja unaprijed data, ali nisu sve valjane. Od geometrije ostaje samo topologija, umjesto mjera, parametri, umjesto dimenzija, dimenzije. Ovdje svaki dinamički sistem ima svoj jedinstveni otisak, fazni portret. A među njima ima prilično čudnih faznih portreta: budući da su složeni, određeni su jednim parametrom; budući da su srazmjerne, one su nesrazmjerne; budući da su kontinuirani, oni su diskretni. Ovakvi čudni fazni portreti karakteristični su za sisteme sa fraktalnom konfiguracijom atraktora. Diskretnost centara privlačenja (atraktora) stvara efekat kvanta akcije, efekat razmaka ili skoka, dok trajektorije održavaju kontinuitet i stvaraju jedinstvenu povezanu formu čudnog atraktora.

KLASIFIKACIJA FRAKTALA. Fraktal ima tri hipostaze: formalnu, operativnu i simboličku, koje su ortogonalne jedna prema drugoj. A to znači da se isti fraktalni oblik može dobiti korištenjem različitih algoritama, a isti broj fraktalne dimenzije može se pojaviti za potpuno različite fraktale u obliku. Uzimajući u obzir ove napomene, klasifikujemo fraktale prema simboličkim, formalnim i operativnim karakteristikama:

• simbolički, dimenzija karakteristična za fraktal može biti cijela ili frakcijska;
• na formalnoj osnovi, fraktali mogu biti koherentni, poput lista ili oblaka, i nekoherentni, poput prašine;
• na operativnoj osnovi, fraktali se mogu podijeliti na regularne i stohastičke.

Regularni fraktali se grade prema strogo definisanom algoritmu. U ovom slučaju, proces izgradnje je reverzibilan. Možete ponoviti sve operacije obrnutim redoslijedom, brišući svaku sliku stvorenu u procesu determinističkog algoritma, tačku po tačku. Deterministički algoritam može biti linearan ili nelinearan.

Stohastički fraktali, slični u stohastičkom smislu, nastaju kada se u algoritmu njihove konstrukcije, u toku iteracija, bilo koji parametar nasumično mijenja. Izraz "stohastičnost" dolazi od grčke riječi stochasis- pogodi, pogodi. Stohastički proces je proces čija se priroda promjene ne može precizno predvidjeti. Fraktali nastaju po volji prirode (površine loma stijena, oblaci, turbulentni tokovi, pjena, gelovi, konture čestica čađi, promjene cijena dionica i nivoa rijeke, itd.), lišeni su geometrijske sličnosti, ali se uporno razmnožavaju u svaki fragment statistička svojstva cjeline u prosjeku. Računar vam omogućava da generišete nizove pseudoslučajnih brojeva i odmah simulirate stohastičke algoritme i oblike.

LINEARNI FRAKTALI. Linearni fraktali su tako nazvani jer su svi izgrađeni prema određenom linearnom algoritmu. Ovi fraktali su sami sebi slični, ne izobličuju se pri bilo kojoj promjeni skale i ne mogu se razlikovati ni u jednoj tački. Za izgradnju takvih fraktala dovoljno je postaviti bazu i fragment. Ovi elementi će se ponavljati mnogo puta sa smanjenjem razmjera do beskonačnosti.

Kantorov prah. U 19. vijeku, njemački matematičar Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845-1918) predložio je matematičkoj zajednici čudan skup brojeva u rasponu od 0 do 1. Skup je sadržavao beskonačan broj elemenata u naznačenom intervalu i, štaviše, imao je nultu dimenziju. Nasumično ispaljena strela teško da bi pogodila i jedan element ovog mnoštva.

Prvo morate odabrati segment jedinične dužine (prvi korak: n = 0), zatim ga podijeliti na tri dijela i ukloniti srednju trećinu (n = 1). Zatim ćemo učiniti isto sa svakim od formiranih segmenata. Kao rezultat beskonačnog broja ponavljanja operacije, dobijamo traženi skup “Kantorov prah”. Sada, ne postoji opozicija između diskontinuiranog i beskonačno deljivog, "Kantorov prah" je oboje (vidi sliku 1). "Cantor's Dust" je fraktal. Njegova fraktalna dimenzija je 0,6304 ...

Jedan od dvodimenzionalnih analoga jednodimenzionalnog Cantorovog skupa opisao je poljski matematičar Vaclav Sierpinski. Zove se "Cantor tepih" ili češće "Sierpinski tepih". On je strogo sebi sličan. Njegovu fraktalnu dimenziju možemo izračunati kao ln8 / lnZ = 1,89 ... (slika 9).

LINIJE KOJE PUNJAJU AVION. Zamislite čitavu porodicu regularnih fraktala, koji su krive koje mogu ispuniti ravan. Čak je i Leibniz tvrdio: „Ako pretpostavimo da neko slučajno stavi puno tačaka na papir,<… >Kažem da možete identificirati konstantno i potpuno, poštujući određeno pravilo geometrijska linija koji će proći kroz sve tačke." Ova Leibnizova izjava je u suprotnosti sa euklidskim shvatanjem dimenzije kao najmanjeg broja parametara pomoću kojih je jednoznačno određen položaj tačke u prostoru. U nedostatku rigoroznog dokaza, ove Lajbnicove ideje ostale su na periferiji matematičke misli.

Peano kriva. Ali 1890. godine, matematičar iz Italije, Giuseppe Peano, konstruisao je liniju koja u potpunosti pokriva ravnu površinu, prolazeći kroz sve njene tačke. Konstrukcija "Peano krive" prikazana je na Sl. deset.

Dok je topološka dimenzija Peano krive jednaka jedan, njena fraktalna dimenzija je d = ln (1/9) / ln (1/3) = 2. U okviru fraktalne geometrije, paradoks je razriješen na najprirodnije način. Linija, poput paukove mreže, može pokriti avion. U ovom slučaju uspostavlja se korespondencija jedan-na-jedan: svaka tačka linije odgovara tački na ravni. Ali ova korespondencija nije jedna-prema jedan, jer svaka tačka na ravni odgovara jednoj ili više tačaka na pravoj.

Hilbertova kriva. Godinu dana kasnije, 1891., pojavio se članak njemačkog matematičara Davida Hilberta (1862–1943), u kojem je predstavio krivu koja pokriva ravan bez sjecišta ili dodira. Konstrukcija "Hilbertove krive" prikazana je na Sl. jedanaest.

Hilbertova kriva je bila prvi primjer FASS krivulja (prostorno popunjavanje, samoizbjegavanje, jednostavno i samoslično od samoizbjegavajućih linija koje ispunjavaju prostor, jednostavne i sebi slične linije). Fraktalna dimenzija Gilbertove linije, kao i Peano krivulje, je dva.

Traka Minkowskog. Hermann Minkowski, Hilbertov blizak prijatelj iz studentskih dana, konstruisao je krivu koja ne pokriva cijelu ravan, već formira nešto poput vrpce. Prilikom konstruisanja "Minkowski trake" u svakom koraku, svaki segment se zamjenjuje isprekidanom linijom koja se sastoji od 8 segmenata. U sljedećoj fazi, sa svakim novim segmentom, operacija se ponavlja u mjerilu 1: 4. Fraktalna dimenzija trake Minkowskog je d = ln (l / 8) / ln (1/4) = 1,5.

NELINEARNI FRAKTALI. Najjednostavnije nelinearno preslikavanje kompleksne ravni na samu sebe je Julijino preslikavanje zgz 2 + C razmatrano u prvom dijelu. To je proračun preko zatvorenog ciklusa, u kojem se rezultat prethodnog ciklusa množi sam sa sobom sa konstantom koja se dodaje na to je kvadratna povratna sprega (sl. 13).

U toku iteracija pri fiksnoj vrijednosti konstante C, u zavisnosti od proizvoljne početne tačke Z 0, tačka Z n na n-> ∞ može biti ili konačan ili beskonačan. Sve zavisi od položaja Z 0 u odnosu na ishodište z = 0. Ako je izračunata vrednost konačna, onda je uključena u Julia skup; ako ide u beskonačnost, onda je odsječen od Julijinog skupa.

Oblik koji se dobije primjenom Julia mape na tačke određene površine jedinstveno je određen parametrom C. Za mali C, to su jednostavne povezane petlje, za veliki C to su skupovi nepovezanih, ali strogo uređenih tačaka. Uglavnom, svi Julia oblici mogu se podijeliti u dvije velike porodice - povezane i nepovezane mape. Prvi podsjećaju na Kochovu pahuljicu, a drugi na Kantorovu prašinu.

Julijina raznolikost oblika obeshrabrila je matematičare kada su prvi put mogli da posmatraju ove oblike na kompjuterskim monitorima. Pokušaji rangiranja ove mnogostrukosti bili su vrlo uslovni i svodili su se na činjenicu da je Mandelbrotov skup uzet kao osnova za klasifikaciju Julijinih preslikavanja, čije su granice, kako se pokazalo, asimptotski slične Julijinim preslikavanjima.

Sa C = 0, ponavljanje Julia mape daje niz brojeva z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16 ... Kao rezultat, moguće su tri opcije:

• za | z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• za | z 0 | > 1 u toku iteracija, brojevi z n rastu u apsolutnoj vrijednosti, težeći beskonačnosti. U ovom slučaju, atraktor je tačka u beskonačnosti, a takve vrijednosti isključujemo iz Julia skupa;
• za | z 0 | = 1 sve tačke niza i dalje ostaju na ovoj jediničnoj kružnici. U ovom slučaju, atraktor je krug.

Dakle, kod C = 0, granica između privlačenja i odbijanja početnih tačaka je kružnica. U ovom slučaju, preslikavanje ima dvije fiksne točke: z = 0 i z = 1. Prva od njih je privlačna, jer je derivacija kvadratne funkcije na nuli 0, a druga je odbojna, jer je derivacija kvadratne funkcije funkcija na vrijednosti parametra je jednaka dva.

Razmotrimo situaciju kada je konstanta C realan broj, tj. čini se da se krećemo duž ose Mandelbrotovog skupa (slika 14). Kod S = –0,75, granica Julijinog skupa se samoseče i pojavljuje se drugi atraktor. Fraktal u ovom trenutku nosi naziv fraktala San Marco, koji mu je dao Mandelbrot u čast čuvene venecijanske katedrale. Gledajući crtež, nije teško shvatiti zašto je Mandelbrot došao na ideju da nazove fraktal upravo po ovoj strukturi: sličnost je nevjerovatna.

Rice. 14. Promjena oblika Julia skupa kada se realna vrijednost C smanji sa 0 na -1

Daljnjim smanjenjem S na –1,25, dobijamo novi tipični oblik sa četiri fiksne tačke, koje ostaju do vrednosti S< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Rice. 15. Pojava novih oblika skupa Julije sa smanjenjem stvarne vrijednosti C< –1

Dakle, čak i zadržavajući se na osi Mandelbrotovog fraktala (konstanta C je realan broj), "zarobili" smo u polju pažnje i na neki način rangirali prilično veliku raznolikost Julijinih oblika od kruga do prašine. Sada razmotrimo područja predznaka Mandelbrotovog fraktala i odgovarajuće oblike Julijinih fraktala. Prije svega, opišimo Mandelbrot fraktal u terminima "kardioid", "bubreg" i "luk" (slika 16).

Glavni kardioid i susjedni krug čine glavni oblik Mandelbrotovog fraktala. Uz njih se nalazi beskonačan broj njegovih kopija, koji se obično nazivaju bubrezi. Svaki od ovih pupoljaka je zatvoren u beskonačan broj manjih pupoljaka, sličnih jedni drugima. Dva najveća pupa iznad i ispod glavne kardioide nazivaju se luk.

Francuz Adrien Daudi i Amerikanac Bill Hubbard koji su proučavali tipični fraktal ovog skupa (S = –0,12 + 0,74i) nazvali su ga „fraktal zeca“ (slika 17).

Prilikom prelaska granice Mandelbrotovog fraktala, Julijini fraktali uvijek gube povezanost i pretvaraju se u prašinu, koja se obično naziva "Fatou prašina" u čast Pierrea Fatoua, koji je dokazao da za određene vrijednosti C, beskonačno udaljena tačka privlači cijelu složenu ravan, osim vrlo tankog skupa poput prašine (sl. 18).

STOHASTIČKI FRAKTALI. Postoji značajna razlika između striktno samoslične von Kochove krivulje i, na primjer, obale Norveške. Potonji, iako nije striktno sebi sličan, pokazuje sličnost u statističkom smislu. U ovom slučaju, obje krive su toliko izlomljene da ne možete povući tangentu ni na jednu njihovu tačku, ili, drugim riječima, ne možete je razlikovati. Takve krive su neka vrsta "čudovišta" među normalnim euklidskim linijama. Prvi koji je konstruisao kontinuiranu funkciju koja nema tangentu ni u jednoj tački bio je Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Njegov rad je predstavljen Kraljevskoj pruskoj akademiji 18. jula 1872. i objavljen 1875. godine. Funkcije koje opisuje Weierstrass izgledaju kao šum (slika 19).

Pogledajte grafikone berze, sažetak fluktuacija temperature ili vazdušnog pritiska, i naći ćete neku vrstu regularne nepravilnosti. Štaviše, sa povećanjem razmjera, karakter nepravilnosti ostaje. A to nas upućuje na fraktalnu geometriju.

Brownovo kretanje je jedan od najpoznatijih primjera stohastičkog procesa. 1926. Jean Perrin je dobio Nobelovu nagradu za svoje istraživanje prirode Brownovog kretanja. On je bio taj koji je skrenuo pažnju na samosličnost i nediferencijativnost Brownove putanje.

Nedavno sam saznao za tako zanimljive objekte matematičkog svijeta kao što su fraktali. Ali oni ne postoje samo u matematici. Oni nas svuda okružuju. Fraktali su prirodni. Govorit ću o tome što su fraktali, o vrstama fraktala, primjerima ovih objekata i njihovoj primjeni u ovom članku. Za početak ću vam ukratko reći šta je fraktal.

Fraktal (lat. fractus - zdrobljen, slomljen, slomljen) je složena geometrijska figura sa svojstvom samosličnosti, odnosno sastavljena od nekoliko dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini. U širem smislu, fraktali se shvataju kao skupovi tačaka u euklidskom prostoru koji imaju frakcionu metričku dimenziju (u smislu Minkowskog ili Hausdorffa), ili metričku dimenziju koja nije topološka. Kao primjer, umetnut ću sliku četiri različita fraktala.

Ispričaću vam malo o istoriji fraktala. Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, postali su dio svakodnevnog života matematičara i programera od sredine 80-ih. Riječ "fraktal" skovao je Benoit Mandelbrot 1975. godine da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture na kojima je radio. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige Fraktalna geometrija prirode 1977. godine. U svojim radovima koristili su naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istom polju (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorf). Ali samo u naše vrijeme bilo je moguće spojiti njihov rad u jedinstven sistem.

Postoji mnogo primjera fraktala, jer, kao što sam rekao, oni nas svuda okružuju. Po mom mišljenju, čak je i cijeli naš svemir jedan ogroman fraktal. Uostalom, sve u njemu, od strukture atoma do strukture samog Univerzuma, tačno se ponavlja. Ali postoje, naravno, konkretniji primjeri fraktala iz različitih područja. Fraktali su, na primjer, prisutni u složenoj dinamici. Oni su tamo se prirodno pojavljuju u proučavanju nelinearnih dinamički sistemi... Najviše proučavan slučaj je kada je dinamički sistem specificiran iteracijama polinoma ili holomorfnog funkcija kompleksa varijabli na površini. Neki od najpoznatijih fraktala ove vrste su Julia skup, Mandelbrotov skup i Newtonovi bazeni. Ispod, redom, slike prikazuju svaki od gornjih fraktala.

Drugi primjer fraktala su fraktalne krive. Najbolje je objasniti kako se gradi fraktal na primjeru fraktalnih krivulja. Jedna od ovih krivulja je takozvana Kochova pahulja. Postoji jednostavanpostupak za dobijanje fraktalnih krivulja na ravni. Hajde da definišemo proizvoljnu poliliniju sa konačnim brojem veza, koja se zove generator. Zatim svaki segment u njemu zamjenjujemo generatorom (tačnije, isprekidanom linijom sličnom generatoru). U rezultirajućoj isprekidanoj liniji zamijenite svaki segment ponovo generatorom. Nastavljajući u beskonačnost, u granici dobijamo fraktalnu krivu. Kochova pahulja (ili kriva) je prikazana ispod.

Postoji i veliki izbor fraktalnih krivulja. Najpoznatije od njih su već pomenuta Kohova pahuljica, kao i Levi kriva, Minkovski kriva, Zmajeva izlomljena kriva, Klavirska kriva i Pitagorino drvo. Sliku ovih fraktala i njihove istorije, mislim, po želji možete lako pronaći na Wikipediji.

Treći primjer ili tip fraktala su stohastički fraktali. Ovi fraktali uključuju putanju Brownovog kretanja na ravni i u prostoru, Schramm-Löwnerova evolucija, razne vrste randomiziranih fraktala, odnosno fraktala dobivenih rekurzivnom procedurom, u koju se u svakom koraku unosi slučajni parametar.

Postoje i čisto matematički fraktali. To su, na primjer, Cantorov set, Mengerov sunđer, trokut Sierpinskog i drugi.

Ali, možda su najzanimljiviji fraktali prirodni. Prirodni fraktali su objekti u prirodi koji imaju fraktalna svojstva. I ovdje je lista već duga. Neću sve nabrajati, jer, vjerovatno, ne mogu sve navesti, ali ću vam reći neke. Na primjer, u prirodi takvi fraktali uključuju naš cirkulatorni sistem i pluća. A takođe i krošnje i lišće drveća. Takođe uključuje morske zvijezde, morske ježeve, korale, morske školjke, neke biljke poput kupusa ili brokule. Nekoliko takvih prirodnih fraktala iz divljih životinja jasno je prikazano u nastavku.

Ako uzmemo u obzir neživu prirodu, onda ima mnogo zanimljivijih primjera nego u živoj prirodi. Munje, pahulje, oblaci, svima dobro poznati, šare na prozorima u mraznim danima, kristali, planinski lanci - sve su to primjeri prirodnih fraktala iz nežive prirode.

Razmotrili smo primjere i vrste fraktala. Što se tiče upotrebe fraktala, oni se koriste u različitim oblastima znanja. U fizici, fraktali se prirodno javljaju prilikom modeliranja nelinearnih procesa, kao što su turbulentni tok fluida, složeni difuziono-adsorpcijski procesi, plamen, oblaci, itd. Fraktali se koriste u modeliranju poroznih materijala, na primjer, u petrohemiji. U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema unutrašnje organe(sistem krvnih sudova). Nakon stvaranja Kochove krivulje, predloženo je da se ona koristi prilikom izračunavanja dužine obalne linije. Fraktali se također aktivno koriste u radiotehnici, informatici i kompjuterska tehnologija, telekomunikacije, pa čak i privredu. I, naravno, fraktalna vizija se aktivno koristi u suvremenoj umjetnosti i arhitekturi. Evo jednog primjera fraktalnih slika:

I tako, ovim mislim da završim svoju priču o tako neobičnom matematičkom fenomenu kao što je fraktal. Danas smo naučili šta je fraktal, kako se pojavio, o vrstama i primjerima fraktala. Također sam govorio o njihovoj primjeni i vizualno demonstrirao neke od fraktala. Nadam se da ste uživali u ovom kratkom izletu u svijet nevjerovatnih i očaravajućih fraktalnih objekata.