Kako pronaći područje oblika?

Poznavanje i sposobnost izračunavanja površina različitih oblika neophodno je ne samo za rješavanje jednostavnih geometrijskih problema. Bez ovog znanja ne možete proći prilikom sastavljanja ili provjere predračuna za popravak prostorija, izračunavanja količine potrebnog potrošnog materijala. Pa shvatimo kako pronaći područja različitih oblika.

Dio ravnine zatvoren unutar zatvorene konture naziva se područje ove ravni. Površina se izražava brojem kvadratnih jedinica zatvorenih u njoj.

Da biste izračunali površinu osnovnih geometrijskih oblika, morate koristiti ispravnu formulu.

Površina trokuta

Legenda:

1. Ako su poznati h, a, tada se površina željenog trokuta određuje kao umnožak dužina stranice i visine trokuta spuštene na ovu stranicu, podijeljeno na pola: S \u003d (a h) / 2
2. Ako su a, b, c poznate, tada se potrebna površina izračunava Heronovom formulom: kvadratni korijen uzet iz umnoška polovine opsega trokuta i tri razlike polovine opsega i svake stranice trokuta: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. Ako su a, b, γ poznate, tada se površina trokuta određuje kao polovina umnoška 2 stranica pomnožena vrijednošću sinusa ugla između ovih stranica: S \u003d (ab sin γ) / 2
4. Ako su a, b, c, R poznate, tada se potrebna površina određuje kao podjela umnoška dužina svih stranica trokuta sa četiri polumjera opisane kružnice: S \u003d (a b c) / 4R
5. Ako su poznati p, r, tada se tražena površina trokuta određuje množenjem polovine opsega radijusom upisane kružnice: S \u003d p r

Kvadratna površina

Legenda:

1. Ako je stranica poznata, tada se površina ove figure određuje kao kvadrat dužine njegove stranice: S \u003d a 2
2. Ako je d poznato, tada je površina kvadrata definirana kao polovica kvadrata dužine njegove dijagonale: S \u003d d 2/2

Područje pravokutnika

Legenda:

• S - utvrđena površina,
• a, b - dužine stranica pravokutnika.

1. Ako su a, b poznate, tada se površina ovog pravokutnika određuje umnoškom duljina njegove dvije stranice: S \u003d a b
2. Ako su dužine stranica nepoznate, tada se površina pravokutnika mora podijeliti u trokute. U ovom se slučaju površina pravokutnika definira kao zbroj površina njegovih sastavnih trokuta.

Područje paralelograma

Legenda:

• S je potrebna površina,
• a, b - dužine stranica,
• h je dužina visine ovog paralelograma,
• d1, d2 - duljine dvije dijagonale,
• α je kut između stranica,
• γ je kut između dijagonala.

1. Ako su a, h poznate, tada se potrebna površina određuje množenjem dužina stranice i visine spuštene na ovu stranu: S \u003d a h
2. Ako su a, b, α poznate, tada se površina paralelograma određuje množenjem dužina stranica paralelograma i vrijednosti sinusa ugla između ovih stranica: S \u003d a b sin α
3. Ako su poznati d 1, d 2, γ, tada se površina paralelograma određuje kao polovina umnoška dužina dijagonala i vrijednosti sinusa ugla između ovih dijagonala: S \u003d (d 1 d 2 sinγ) / 2

Područje romba

Legenda:

• S je potrebna površina,
• a - dužina stranice,
• h - dužina visine,
• α - manji kut između dvije strane,
• d1, d2 - dužine dvije dijagonale.

1. Ako su a, h poznate, tada se površina romba određuje množenjem dužine stranice s dužinom visine koja je spuštena na ovu stranicu: S \u003d a h
2. Ako su poznate a, α, tada se površina romba određuje množenjem kvadrata stranice sa sinusom ugla između stranica: S \u003d a 2 sin α
3. Ako su d 1 i d 2 poznati, tada se potrebna površina određuje kao polovica umnoška dužina dijagonala romba: S \u003d (d 1 d 2) / 2

Područje trapeza

Legenda:

1. Ako su a, b, c, d poznate, tada se potrebna površina određuje formulom: S \u003d (a + b) / 2 * √.
2. Sa poznatim a, b, h potrebna površina određuje se kao umnožak polovine zbira osnova i visine trapeza: S \u003d (a + b) / 2 h

Područje konveksnog četverokuta

Legenda:

1. Ako su d 1, d 2, α poznate, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao polovina umnoška dijagonala četverokuta pomnoženog sa sinusom ugla između ovih dijagonala: S \u003d (d 1 d 2 sin α) / 2
2. Za poznati p, r, površina konveksnog četverokuta definira se kao umnožak poluperimetra četverougla poluprečnika kruga upisanog u ovaj četverokut: S \u003d p r
3. Ako su a, b, c, d, θ poznate, tada se površina konveksnog četverougla određuje kao kvadratni korijen iz proizvoda razlike polovičnog perimetra i dužine svake stranice umanjene za umnožak dužine svih stranica i kvadrat kosinusa polovine zbira dva suprotna kuta: S 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

Područje kruga

Legenda:

Ako je r poznato, tada se tražena površina određuje kao umnožak broja π kvadratom polumjera: S \u003d π r 2

Ako je d poznato, tada se površina kruga definira kao umnožak π na kvadrat prečnika, podijeljen sa četiri: S \u003d (π d 2) / 4

Složeno područje figure

Složeni se može rastaviti na jednostavne geometrijske oblike. Područje složene figure definirano je kao zbroj ili razlika sastavnih područja. Uzmimo na primjer prsten.

Oznaka:

• S je područje prstena,
• R, r - polumjeri vanjskog i unutarnjeg kruga,
• D, d - promjeri vanjskog i unutarnjeg kruga.

Da bi se pronašlo područje prstena, potrebno je oduzeti područje od područja većeg kruga manji krug. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πr 2 \u003d π (R 2 -r 2).

Dakle, ako su R i r poznati, tada se površina prstena određuje kao razlika između kvadrata polumjera vanjskog i unutarnjeg kruga, pomnoženih s brojem pi: S \u003d π (R 2 -r 2 ).

Ako su D i d poznati, tada se površina prstena određuje kao četvrtina razlike između kvadrata promjera vanjskog i unutarnjeg kruga, pomnoženo s brojem pi: S \u003d (1/4) ( D 2 -d 2) π.

Područje ispunjene figure

Pretpostavimo da se unutar jednog kvadrata (A) nalazi drugi (B) (manji), a mi moramo pronaći ispunjenu šupljinu između oblika "A" i "B". Recimo samo "okvir" malog kvadrata. Za ovo:

1. Nalazimo površinu slike "A" (izračunatu formulom za pronalaženje površine kvadrata).
2. Slično tome, pronašli smo područje na slici "B".
3. Oduzmite područje "B" od područja "A". I tako dobivamo površinu ispunjene figure.

Sada znate kako pronaći područja različitih oblika.

Da biste riješili probleme u geometriji, trebate znati formule - poput površine trokuta ili površine paralelograma - kao i jednostavne trikove o kojima ćemo razgovarati.

Prvo, naučimo formule za područja slika. Mi smo ih posebno prikupili u prikladan sto. Ispišite, naučite i primijenite!

Naravno, nisu sve formule geometrije u našoj tablici. Na primjer, za rješavanje problema iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profilnog ispita iz matematike, koriste se i druge formule za površinu trokuta. Svakako ćemo vam reći o njima.

Ali što ako trebate pronaći ne područje trapeza ili trokuta, već područje neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokažimo im primjere iz FIPI banke poslova.

1. Kako pronaći područje nestandardnog oblika? Na primjer, proizvoljni četverokut? Jednostavan je trik podijeliti ovu brojku na one za koje svi znamo i pronaći njezino područje - kao zbroj površina tih brojki.

Podijelite ovaj četverokut vodoravnom linijom u dva trokuta sa zajedničkom bazom jednakom. Visine ovih trokuta su i. Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dvaju trokuta :.

Odgovor:

2. U nekim slučajevima, područje figure može se predstaviti kao razlika između nekih područja.

Nije lako izračunati čemu su osnova i visina jednake u ovom trokutu! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici između površina kvadrata sa bočnom stranom i tri pravokutna trokuta. Vidite li ih na slici? Dobijamo:.

Odgovor:

3. Ponekad je u zadatku potrebno pronaći područje ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijelu kruga. Pronađite površinu sektora kruga polumjera, čija je dužina luka .

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga je jednaka od. Preostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je duljina cijelog opsega (od), a duljina luka ovog sektora je , dakle, dužina luka je jedanput manja od dužine cijelog kruga. Ugao pod kojim se ovaj luk oslanja takođe je jedanput manji od punog kruga (to jest, stepeni). To znači da će površina sektora biti jedan puta manja od površine cijelog kruga.

Postoji beskonačan broj ravnih figura najrazličitijih oblika, i ispravnih i nepravilnih. Zajedničko svojstvo svih oblika je da bilo koji od njih ima površinu. Područja oblika su dimenzije dijela ravnine koji zauzimaju ti oblici, izražene u određenim jedinicama. Ova vrijednost se uvijek izražava kao pozitivan broj. Mjerna jedinica je površina kvadrata čija je stranica jednaka jedinici dužine (na primjer, jedan metar ili jedan centimetar). Približna vrijednost površine bilo kojeg oblika može se izračunati množenjem broja jediničnih kvadrata na koje je podijeljena s površinom jednog kvadrata.

Ostale definicije ovog koncepta su kako slijedi:

1. Područja jednostavnih figura su skalarne pozitivne veličine koje zadovoljavaju uvjete:

Jednake brojke imaju jednake površine;

Ako je lik podijeljen na dijelove (jednostavne figure), tada je njegova površina zbroj površina tih figura;

Kvadrat sa stranicom jedinice mjere služi kao jedinica površine.

2. Područja figura složenog oblika (poligoni) su pozitivne veličine sa sljedećim svojstvima:

Jednaki poligoni imaju istu površinu;

Ako se poligon sastoji od nekoliko drugih poligona, njegova površina jednaka je zbroju površina potonjeg. Ovo pravilo vrijedi za poligone koji se ne preklapaju.

Kao aksiom prihvaćeno je da su područja figura (poligoni) pozitivne vrijednosti.

Definicija područja kruga daje se odvojeno kao vrijednost kojoj teži površina dane kružnice upisane u krug - uprkos činjenici da broj njegovih stranica teži beskonačnosti.

Područja nepravilnih oblika (proizvoljnih oblika) nisu definirana, već su određene metode njihovog izračunavanja.

Izračun površina već je u antičko doba bio važan praktični zadatak pri određivanju veličine zemljišnih parcela. Pravila za izračunavanje površina tokom nekoliko stotina godina formulisali su grčki naučnici i postavili ih u Euklidovim elementima kao teoreme. Zanimljivo je da su pravila za određivanje površina jednostavnih figura na njima ista kao i danas. Područja sa zakrivljenom konturom izračunata su pomoću prolaza do granice.

Izračun površina jednostavnog pravokutnika, kvadrata), poznatog svima iz škole, prilično je jednostavan. Nije potrebno čak ni pamtiti formule za područja slika koja sadrže slovne oznake. Dovoljno je upamtiti nekoliko jednostavnih pravila:

2. Površina pravokutnika izračunava se množenjem njegove dužine i širine. U ovom slučaju potrebno je da su dužina i širina izražene u istim mjernim jedinicama.

3. Površina složene figure izračunava se tako što se podijeli na nekoliko jednostavnih i dodaju rezultirajuće površine.

4. Dijagonala pravougaonika dijeli ga na dva trokuta, čija su područja jednaka i jednaka polovini njegove površine.

5. Površina trokuta izračunava se kao polovina umnoška njegove visine i osnovice.

6. Površina kruga jednaka je umnošku kvadrata poluprečnika i dobro poznatog broja "π".

7. Površina paralelograma izračunava se kao umnožak susjednih stranica i sinusa ugla koji leži između njih.

8. Površina romba je ½ rezultata množenja dijagonala sinusom unutarnjeg ugla.

9. Područje trapeza nalazi se množenjem njegove visine s dužinom srednje linije, koja je jednaka aritmetičkoj sredini osnova. Druga opcija za određivanje površine trapeza je množenje njegovih dijagonala i sinusa ugla koji leži između njih.

Radi jasnoće, djeca u osnovnoj školi često dobijaju zadatke: pronaći paletu nacrtanu na papiru pomoću palete ili lista prozirnog papira, isječenog u ćelije. Takav list papira nanosi se na izmjerenu figuru, broji se broj punih ćelija (jedinica površine) koje se uklapaju u njegovu konturu, zatim broj nepotpunih ćelija, koji se dijeli na pola.

Znanje o mjerenju Zemlje datira iz antičkih vremena i postepeno je evoluiralo u nauku o geometriji. Ova riječ je prevedena s grčkog jezika - "izmjera".

Mjera dužine i širine ravnog područja Zemlje je površina. U matematici se obično označava latiničnim slovom S (od engleskog "kvadrat" - "područje", "kvadrat") ili grčkim slovom σ (sigma). S označava površinu lika na ravnini ili površinu tijela, a σ je površinu presjeka žice u fizici. To su glavni simboli, iako mogu postojati i drugi, na primjer, u polju čvrstoće materijala, A je površina presjeka profila.

U kontaktu sa

Formule za računanje

Poznavajući područja jednostavnih oblika, možete pronaći parametre složenijih... Drevni matematičari razvili su formule pomoću kojih se lako mogu izračunati. Takve figure su trokut, četverokut, mnogougao, krug.

Da bi se pronašlo područje složene ravne figure, ona se raščlanjuje na mnogo jednostavnih figura poput trokuta, trapeza ili pravougaonika. Zatim se matematičkim metodama izvodi formula za područje ove figure. Ova metoda se koristi ne samo u geometriji, već i u matematičkoj analizi za izračunavanje površina figura ograničenih krivuljama.

Trokut

Počnimo s najjednostavnijim oblikom - trokutom. Oni su pravougaone, jednakokrake i jednakostranične. Uzmi bilo koji trokut ABC sa stranicama AB \u003d a, BC \u003d b i AC \u003d c (∆ ABC). Da bismo pronašli njegovo područje, prisjetimo se teorema sinusa i kosinusa poznatih iz školskog kursa matematike. Oslobađajući sve proračune, došli smo do slijedećih formula:

• S \u003d √ je dobro poznata Heronova formula, gdje je p \u003d (a + b + c) / 2 polovični opseg trokuta;
• S \u003d a h / 2, gdje je h visina spuštena na stranu a;
• S \u003d a b (sin γ) / 2, gdje je γ kut između stranica a i b;
• S \u003d a b / 2, ako je ∆ ABC - pravokutnik (ovdje su a i b krakovi);
• S \u003d b² (sin (2 β)) / 2, ako je ∆ ABC jednakokračan (ovdje je b jedan od „bokova“, β je kut između „bokova“ trokuta);
• S \u003d a² √¾ ako je ∆ ABC jednakostraničan (ovdje je a stranica trokuta).

Četverokut

Neka postoji četverokut ABCD sa AB \u003d a, BC \u003d b, CD \u003d c, AD \u003d d. Da biste pronašli površinu S proizvoljnog 4-ugla, trebate je podijeliti dijagonalom u dva trokuta, čija područja S1 i S2 uglavnom nisu jednaka.

Zatim ih pomoću formula izračunajte i dodajte, odnosno S \u003d S1 + S2. Međutim, ako 4-kut pripada određenoj klasi, tada se njegovo područje može naći pomoću prethodno poznatih formula:

• S \u003d (a + c) h / 2 \u003d eh, ako je 4-kut trapez (ovdje su a i c osnove, e je srednja linija trapeza, h je visina spuštena na jednu od osnova trapez;
• S \u003d a h \u003d a b sin φ \u003d d1 d2 (sin φ) / 2, ako je ABCD paralelogram (ovdje je φ kut između stranica a i b, h je visina spuštena na stranu a, d1 i d2 su dijagonale);
• S \u003d a b \u003d d² / 2, ako je ABCD pravougaonik (d je dijagonala);
• S \u003d a² sin φ \u003d P² (sin φ) / 16 \u003d d1 d2 / 2, ako je ABCD romb (a je stranica romba, φ je jedan od njegovih uglova, P je obod);
• S \u003d a² \u003d P² / 16 \u003d d² / 2 ako je ABCD kvadrat.

Poligon

Da bi pronašli područje n-gona, matematičari ga raščlanjuju na najjednostavnije jednake trokute, pronalaze površinu svakog od njih, a zatim ih dodaju. Ali ako poligon pripada klasi pravilnih, tada upotrijebite formulu:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, gdje je n broj vrhova (ili stranica) mnogougla, a je stranica n-kuta, P je njegov opseg, h je apotema, tj. , segment povučen od središta mnogougla prema jednoj od njegovih stranica pod kutom od 90 °.

Krug

Krug je savršeni poligon s beskonačnim brojem stranica.... Moramo izračunati granicu izraza desno u formuli za površinu poligona s brojem stranica n koje teže beskonačnosti. U tom slučaju, opseg poligona pretvorit će se u opseg kruga polumjera R, koji će biti granica naše kružnice, i postat će jednak P \u003d 2 π R. Zamijenite ovaj izraz u gornju formulu. Dobit ćemo:

S \u003d (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Pronađimo granicu ovog izraza pri n → ∞. Da biste to učinili, uzmite u obzir da je lim (cos (180 ° / n)) pri n → ∞ jednako cos 0 ° \u003d 1 (lim je granični znak), a lim \u003d lim pri n → ∞ jednak 1 / π (izmjerili smo mjeru stupnja na radijan koristeći odnos π rad \u003d 180 ° i primijenili prvu značajnu granicu lim (sin x) / x \u003d 1 pri x → ∞). Zamjenom dobivenih vrijednosti u posljednji izraz za S dolazimo do dobro poznate formule:

S \u003d π² R² 1 (1 / π) \u003d π R².

Jedinice

Koriste se sistemske i nesistemske jedinice... Jedinice sistema odnose se na SI (međunarodni sistem). To je kvadratni metar (kvadratni metar, m²) i iz njega se izvode jedinice: mm², cm², km².

Na primjer, u kvadratnim milimetrima (mm²) mjere površinu presjeka žica u elektrotehnici, u kvadratnim centimetrima (cm²) - poprečni presjeci grede u strukturnoj mehanici, u kvadratnim metrima (m²) - stanovi ili kuće, u kvadratnim kilometrima (km²) - područja u geografiji ...

Međutim, ponekad se koriste i nesistemske mjerne jedinice, poput: tkanja, ar (a), hektara (ha) i hektara (ac). Evo sljedećih odnosa:

• 1 tkanje \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 hektar \u003d 100 a \u003d 100 ari \u003d 10000 m² \u003d 0,01 km² \u003d 2,471 ac;
• 1 ac \u003d 4046,856 m2 \u003d 40,47 a \u003d 40,47 ari \u003d 0,405 hektara.

Definitivan integral. Kako izračunati površinu oblika

Prelazimo na razmatranje primjena integralnog računa. U ovoj ćemo lekciji analizirati tipičan i najčešći zadatak. - kako izračunati površinu ravne figure pomoću određenog integrala... Konačno, oni koji traže značenje u višoj matematici - neka ga pronađu. Nikad ne znaš. Morat ćemo približiti prigradsko područje u životu s osnovnim funkcijama i pronaći njegovo područje pomoću određenog integrala.

Da biste uspješno savladali materijal, morate:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjem nivou. Stoga bi lutke prvo trebale pročitati lekciju Ne.

2) Znati primijeniti Newton-Leibnizovu formulu i izračunati određeni integral. Možete stvoriti toplo prijateljstvo sa određenim integralima na stranici Definitivan integral. Primjeri rješenja.

Zapravo, da bi se pronašlo područje neke figure, ne treba toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunavanje površine pomoću određenog integrala" uvijek uključuje izgradnju crteža, stoga će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo hitnije pitanje. S tim u vezi, korisno je osvježiti memoriju grafova osnovnih elementarnih funkcija i, barem, biti u stanju konstruirati ravnu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (mnogima je potrebno) uz pomoć metodološkog materijala i članka o geometrijskim transformacijama grafikona.

Zapravo, svima je problem pronalaženja područja pomoću određenog integrala poznat još od škole i nećemo ići daleko ispred školskog programa. Ovaj članak možda uopće ne postoji, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada student sa entuzijazmom savlada entuzijazam savladavajući kurs više matematike.

Materijali na ovoj radionici su predstavljeni jednostavno, detaljno i uz minimum teorije.

Počnimo sa zakrivljenim trapezoidom.

Zakrivljeni trapez naziva se ravninska figura ograničena osom, ravnim linijama i grafom kontinuirane funkcije na segmentu, koja ne mijenja znak na ovom intervalu. Neka se nalazi ova brojka ne manje apscisna os:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu... Bilo koji određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivan integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je definitivni integral broj. A sada je vrijeme da iznesemo još jednu korisnu činjenicu. S gledišta geometrije, definitivni integral je PODRUČJE.

Tj. određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini neke figure... Na primjer, razmotrite određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava zadatka. Prva i najvažnija tačka rješenja je konstrukcija crteža... Štaviše, crtež mora biti izgrađen ISPRAVNO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: prvo bolje je izgraditi sve linije (ako postoje) i samo kasnije - parabole, hiperbole, grafikoni ostalih funkcija. Isplativije je graditi grafikone funkcija u tački, tehnika gradnje po tačkama može se naći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija... Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal u vezi s našom lekcijom - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje može izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednačina definira osu):

Neću izleći zakrivljeni trapez, ovdje je očito o kojem području govorimo. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije preko osi, pa:

Odgovor:

Tko ima poteškoća s izračunavanjem određenog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , uputite se na predavanje Definitivan integral. Primjeri rješenja.

Nakon završetka zadatka uvijek je korisno pogledati nacrt i procijeniti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "na oko" računamo broj ćelija na crtežu - pa, otkucat će se oko 9, izgleda kao da je istina. Sasvim je jasno da ako smo dobili, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je, očito, negdje napravljena greška - 20 ćelija očito se ne uklapa u dotičnu figuru, najviše deset. Ako je odgovor negativan, tada je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 2

Izračunajte površinu oblika omeđenu linijama i os

Ovo je primjer za "uradi sam" rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju vodiča.

Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod ose?

Primjer 3

Izračunajte površinu oblika omeđenog linijama i koordinatnim osama.

Odluka: Izvršimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod ose (ili barem ne više zadana os), tada se njegova površina može naći po formuli:
U ovom slučaju:

Pažnja! Dvije vrste zadataka ne treba miješati:

1) Ako se od vas zatraži da riješite samo određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.

2) Ako se od vas zatraži da pronađete područje figure pomoću određenog integrala, tada je područje uvijek pozitivno! Zbog toga se u upravo razmatranoj formuli pojavljuje minus.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj polovini, pa stoga od najjednostavnijih školskih problema prelazimo na značajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite područje ravne figure omeđene crtama ,.

Odluka: Prvo trebate dovršiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruiramo crtež u problemima na nekom području, najviše nas zanimaju tačke presjeka linija. Pronađite točke presjeka parabole i linije. To se može učiniti na dva načina. Prvi način je analitički. Rješavamo jednadžbu:

Dakle, donja granica integracije, gornja granica integracije.
Bolje je ne koristiti ovu metodu, ako je moguće..

Mnogo je isplativije i brže konstruirati linije po tački, dok granice integracije postaju jasne kao da su "same od sebe". Tehnika detaljnog crtanja za razne grafikone detaljno je razmotrena u pomoći. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija ... Ipak, analitička metoda pronalaženja granica i dalje se ponekad mora primijeniti ako je, na primjer, graf dovoljno velik ili ako precizna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti razlomljene ili iracionalne). I mi ćemo takođe razmotriti takav primjer.

Vraćajući se našem problemu: racionalnije je prvo konstruirati ravnu liniju, a tek onda parabolu. Izvršimo crtež:

Ponavljam da se u slučaju konstrukcije po tačkama, granice integracije najčešće otkrivaju „automatski“.

A sada radna formula: Ako je na segmentu neka kontinuirana funkcija veće ili jednako neke kontinuirane funkcije, tada se područje slike, ograničeno grafikonima tih funkcija i ravnih linija, može naći po formuli:

Ovdje više ne trebate razmišljati o tome gdje se lik nalazi - iznad ili ispod osi i, grubo govoreći, važno je koji je raspored ODNOS(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji je razmatran očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne crte, pa je stoga potrebno oduzeti od

Dovršavanje rješenja moglo bi izgledati ovako:

Potrebna figura omeđena je parabolom na vrhu i ravnom linijom na dnu.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

U stvari, školska formula za područje zakrivljenog trapeza u donjoj poluravini (vidi jednostavni primjer br. 3) poseban je slučaj formule ... Budući da je osa dana jednadžbom, nalazi se i grafikon funkcije ne više osa, onda

A sada nekoliko primjera za nezavisno rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite područje slike omeđeno crtama ,.

Tijekom rješavanja problema za izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je pravilno izveden, proračuni tačni, ali nepažnjom ... pronađeno je područje pogrešne figure, ovako je tvoj skromni sluga zeznuo nekoliko puta. Evo slučaja iz stvarnog života:

Primjer 7

Izračunajte površinu slike omeđenu linijama ,,,.

Odluka: Prvo izvršimo crtež:

... Eh, izašao je loš crtež, ali čini se da je sve čitljivo.

Lik čije područje moramo pronaći zasjenjen je plavom bojom (pažljivo pogledajte stanje - čime je brojka ograničena!). Ali u praksi se zbog nepažnje često pojavi "greška" da trebate pronaći područje figure koje je zasjenjeno zelenom bojom!

Ovaj je primjer koristan i u tome što izračunava površinu lika pomoću dva određena integrala. Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se linijski grafikon;

2) Grafikon hiperbole nalazi se na segmentu iznad ose.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, stoga:

Odgovor:

Prijeđimo na jedan značajniji zadatak.

Primjer 8

Izračunajte površinu oblika omeđenog linijama
Predstavimo jednačine u "školskom" obliku i izvedimo crtanje po tačkama:

Iz crteža se vidi da je naša gornja granica "dobra" :.
Ali koja je donja granica ?! Jasno je da ovo nije cijeli broj, već koji? Možda ? Ali gdje je garancija da je crtež napravljen sa savršenom preciznošću, to može biti i to. Ili root. Šta ako smo pogrešno ucrtali grafikon?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički pročistiti granice integracije.

Pronađite točke presjeka prave i parabole.
Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu:


,

Zaista,.

Dalje rješenje je trivijalno, glavno je da se ne zbunjujete u zamjenama i znakovima, ovdje izračuni nisu najlakši.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Pa, u zaključku lekcije razmotrit ćemo još dva teška zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene crtama,

Odluka: Prikažimo ovu figuru na crtežu.

Prokletstvo, zaboravio sam da potpišem raspored, ali da ponovim sliku, žao, ne hotts. Nije crtež, ukratko, danas je dan \u003d)

Za izgradnju tačaka po tačaka morate znati izgled sinusoide (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke vrijednosti sinusa, u kojima se mogu naći trigonometrijska tablica... U brojnim slučajevima (kao u ovom) dozvoljeno je izraditi shematski crtež na kojem bi grafikoni i ograničenja integracije u principu trebali biti ispravno prikazani.

Nema problema s ograničenjima integracije, oni slijede izravno iz uvjeta: - "x" se mijenja od nule do "pi". Donosimo daljnju odluku:

Na segmentu se grafikon funkcije nalazi iznad osi, dakle: