Как да намерим областта на фигурата?

За да се знае и да може да се изчисли площта на различните фигури, това е необходимо не само за решаване на прости геометрични задачи. Не правете без тези познания и при изготвяне или проверка на оценките за ремонт на помещения, изчисляване на броя на необходимите консумативи. Затова нека разберем как да намерим области с различни фигури.

Част от равнината, сключена в затворената верига, се нарича област на този самолет. Площад се изразява от броя на затворниците в квадратните единици в него.

За да се изчисли площта на основните геометрични фигури, е необходимо да се използва правилната формула.

Площ на триъгълник

Наименовации:

1. Ако е известно, площта на желания триъгълник се дефинира като продукт на страничните дължини и височината на триъгълника, спуснат до тази страна, разделена на половина: s \u003d (a · h) / 2
2. Ако A, B, С е известно, тогава желаната площ се изчислява с помощта на Geron формулата: квадратният корен, взет от работата на периметъра на триъгълника и три разлики от половината периметъра и всяка страна на триъгълника: s \u003d √ (р · (р - а) · (p - b) · (p - c)).
3. Ако a, b, γ е известно, тогава триъгълникът се дефинира като половината от продукта от 2 страни, умножена по стойност на ъгъла между тези страни: s \u003d (a · b · sin γ) / 2
4. Ако А, В, С, R е известен, тогава желаната площ се дефинира като разделянето на продукта на дължините от всички страни на триъгълника с четири радиус на окръжния кръг: s \u003d (a · b · c) / 4R
5. Ако p, R е известен, тогава желаната триъгълна площ се определя чрез умножаване на половината от периметъра на радиуса, вписан в него: s \u003d p · r

Квадратна площ

Наименовации:

1. Ако страната е известна, площта на тази фигура се определя като квадрат на дължината му: s \u003d a 2
2. Ако D е известен, квадратът на квадрата се дефинира като половин квадрат на дължината му диагонал: s \u003d d 2/2

Квадратен правоъгълник

Наименовации:

• S - дефинирана зона,
• a, B - дължината на правоъгълника.

1. Ако a, b е известно, тогава площта на този правоъгълник се определя от продукта от дължината на страните му: s \u003d a · b
2. Ако дължините на страните са неизвестни, тогава площта на правоъгълника трябва да бъде разделена на триъгълници. В този случай областта на правоъгълника се определя като сумата на областите на компонентите на нейните триъгълници.

Квадратна побограма

Наименовации:

• S - Желана зона,
• a, B - дължината на страните, \\ t
• h - дължината на височината на този паралелог,
• d1, D2 - дължината на два диагонала,
• α - ъгъл, разположен между страните
• γ е ъгъл между диагонали.

1. Ако a, Н е известно, тогава желаната площ е определена да умножава дължините на страната и височината, спуснати до тази страна: s \u003d a · h
2. Ако a, b, α е известно, тогава площта на паралелеограма се определя чрез умножаване на дължините на паралелеограмата и стойностите на ъгъла между тези страни: s \u003d a · b · sin α
3. Ако D1, D2, устният, площта на паралелеограма се дефинира като половин продукт на дължината на диагоналите и стойността на ъгъла на ъгъла между тези диагонали: s \u003d (d1 · d2 · sinγ) / 2.

Площад Ромба

Наименовации:

• S - Желана зона,
• а - дължина,
• h - дължината на височината,
• α е по-малък ъгъл между двете страни,
• d1, D2 - дължината на два диагонала.

1. Ако А, Н е известно, тогава ромбната площ се определя чрез умножение на страничната дължина по дължината на височината, която е пропусната от тази страна: s \u003d a · h
2. Ако a, α е известно, тогава Rolbus площ е решена да умножи страната на страната на страната на страната на ъгъла между страните: s \u003d a 2 · sin α
3. Ако D1 и D2 са известни, тогава желаната площ се дефинира като половин продукт на дължината на диагоналите на ромб: s \u003d (d1 · d 2) / 2

Квадратна трапезия

Наименовации:

1. Ако a, b, c, d е известно, тогава желаната площ се определя по формулата: s \u003d (a + b) / 2 * √.
2. С известна A, B, H, желаната площ се определя като продукт на половината от основата и височината на трапецоида: s \u003d (a + b) / 2 · h

Площта на изпъкналия четириъгълник

Наименовации:

1. Ако D1, D2, α е известен, площта на изпъкналия четириъгълник се определя като половината от продукта на диагоналите на четириъгълника, умножени по размера на синуса на ъгъла между тези диагонали: s \u003d (d 1 · · · D2 · SIN α) / 2
2. С известната P, R, площта на избрания четириъгълник се определя като продукт на полупроизводителя на четириъгълника на радиуса на кръга, вписан в този четириъгълник: s \u003d p · r
3. Ако a, b, c, d, θ е известно, тогава площта на четириъгълника се определя като корен на площада от продуктите от избора на полумерна и дължината на всяка страна минус дължината на дължините от всички страни и косинския квадрат половината от сумата от двата противоположни ъгли: s 2 \u003d (р - а) (p - b) (р - С) (p - d) - ABCD · COS 2 ((α \\ t + β) / 2)

Площ на кръг

Наименовации:

Ако R е известно, тогава желаната област се дефинира като продукт на номера π на радиуса на квадрата: s \u003d πR2

Ако D е известен, тогава зоната на кръга се дефинира като продукт на броя на квадрат от диаметъра, разделен на четири: s \u003d (π · d 2) / 4

Квадратен комплекс фигура

Сложни могат да бъдат разделени на прости геометрични форми. Площта на сложната фигура се определя като количеството или разликата на компонентите на района. Обмислете, например, пръстена.

Обозначаване:

• S - площад на пръстена,
• R, R - радиуси на външния кръг и вътрешен, съответно,
• D, D - диаметри на външния кръг и съответно вътрешното.

За да се намери звънене, е необходимо да се вземе площ от областта на по-големия кръг по-малък кръг. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -πR 2 \u003d π (R2-R2).

Така, ако R и R са известни, тогава зоната на звънене се определя като разлика в квадратите на радиусите на външните и вътрешните кръгове, умножено по брой pi: s \u003d π (R2-R2).

Ако D и D са известни, тогава звънене се определя като четвърт от разликата в квадратите на диаметрите на външните и вътрешните кръгове, умножени по брой pi: s \u003d (1/4) (d 2 - D 2) π.

Квадратна фигура

Да предположим, че вътре в един квадрат (а) е друг (б) (по-малък) и трябва да намерим боядисаната кухина между фигурите "А" и "Б". Нека просто кажем, "рамката" на малък квадрат. За това:

1. Ние намираме областта на фигурата "А" (изчислена по формулата на мястото на квадрата).
2. По същия начин откриваме областта на фигурата "Б".
3. Ние изваждаме от зоната "А" квадрат "Б". И така получаваме областта на боядисаната фигура.

Сега знаете как да намерите области с различни фигури.

За да разрешите задачите на геометрията, трябва да знаете формулите - като областта на триъгълника или областта на паралелеограма - както и прости техники, които ще кажем.

За да започнем, ние научаваме формулата на квадратите на фигурите. Специално ги събирахме на удобна маса. Печат, научете и кандидатствайте!

Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата маса. Например, други триъгълни квадратни формули се използват и за решаване на проблеми според геометрията и стереометрията във втората част на профилния изпит в математиката. Определено ще разкажем за тях.

И какво да правя, ако трябва да намериш място на трапецовиден или триъгълник, но някаква сложна форма? Има универсални начини! Нека им покажем примерите от банката на банката.

1. Как да намерите област на нестандартни фигури? Например, произволен квадралер? Просто приемане - прекъсваме тази фигура на онези, които всички знаем, и намираме своята област - като сумата на областите на тези цифри.

Разделяме този четиринатор с хоризонтална линия с два триъгълника с обща основа, равна на. Височините на тези триъгълници са равни и. Тогава площта на квадриста е равна на сумата на зоните на два триъгълника :. \\ t

Отговор:.

2. В някои случаи фигурата на фигурата може да бъде представена като разлика между всяко пространство.

Не е толкова лесно да се изчисли каква е базата и височината в този триъгълник! Но можем да кажем, че нейната площ е равна на разликата в квадратните квадратчета със странични и три правоъгълни триъгълника. Виж ги на снимката? Получаваме :.

Отговор:.

3. Понякога в задачата е необходимо да се намери областта, а не цялата фигура, но нейните части. Обикновено е тук за секторната зона - част от кръга. Включете площта на сектора на радиуса, дължината на дъгата .

В тази снимка виждаме част от кръга. Районът на целия кръг е равен оттогава. Остава да се знае коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на целия кръг е равна на (както), и дължината на дъгата на този сектор е равна на Следователно дължината на дъгата е по-малка от дължината на цялата обиколка. Ъгълът, на който разчита на тази дъга, също е по-малък от пълния кръг (т.е. степени). Така че секторът ще бъде по-малък от площта на целия кръг.

Има безкраен брой плоски фигури от най-различната форма, както дясно, така и неправилно. Цялостното свойство на всички форми - някой от тях има област. Квадрат на фигури са размерите на частта на равнината, заета от тези цифри, изразени в определени единици. Тази сума винаги се изразява в положително число. Единицата е квадратът на квадрата, чиято страна е равна на единицата на дължината (например един метър или един сантиметър). Приблизителната стойност на площта на всяка фигура може да бъде изчислена чрез умножаване на броя на единичните квадрати, към които е счупен в областта на един квадрат.

Други определения на тази концепция изглеждат така:

1. Квадрат на прости фигури - скаларни положителни стойности, отговарящи на условията:

На равни фигури - равни стойности на пространството;

Ако фигурата е разделена на части (прости фигури), тогава нейната площ е сумата от областите на данните на фигурите;

Квадрат със страна на измервателната единица служи като единица на зоната.

2. Квадрат на фигурата на сложна форма (многоъгълници) - положителни стойности със свойства:

В равни полигони - същите стойности на района;

В случай, че полигонът представлява няколко други полигона, нейната площ е равна на сумата на последните области. Това правило е валидно за полигони, които не получават.

Като аксиом е одобрен, че областта на цифрите (полигони) е положителни стойности.

Определянето на зоната на кръга е дадено отделно като стойностите, за които площта, вложена в обиколката на този кръг, се стремят - въпреки факта, че броят на нейните партии се стремежи към безкрайност.

Областта на неправилната форма (произволни цифри) няма определения, само методите за тяхното изчисление се определят.

Изчисляването на квадрата в древността е важна практическа задача при определяне на размера на парцелите. Правилата за изчисляване на зоните за няколко стотици години са формулирани от гръцки учени и са изложени в "началото на" евклидея като теореми. Интересното е, че правилата за определяне на областите на обикновените цифри в тях са същите като понастоящем. Районът с криволинейна верига се изчислява с помощта на лимитния преход.

Изчисляване на областите на прост правоъгълник, квадрат), запознат с всички с училищна пейка, е доста проста. Не е необходимо дори да се запомнят, съдържащи азбучни наименования на формулата на видовете фигури. Достатъчно е да запомните няколко прости правила:

2. Районът на правоъгълника се изчислява чрез умножаване на дължината му на ширина. Необходимо е дължината и ширината да бъдат изразени в същите измервателни единици.

3. Площта на сложна фигура се изчислява чрез разделяне на няколко прости и сгъване на получените площи.

4. Диагоналът на правоъгълника го разделя на два триъгълника, чиито зони са равни и равни на половината от района му.

5. Площта на триъгълника се изчислява като половината от продукта на височината и основата му.

6. Площта на кръга е равна на продукта на радиуса на площад на добре познатия номер "π".

7. Районът на паралелограмата се изчислява като продукт на свързани страни и синуса на ъгъла, разположен между тях.

8. Ромски район - ½ Резултат Мултипликация на диагоналите на вътрешния ъгъл Синус.

9. Площта на трапеца откриваме размножаването на височината си по дължината на средната линия, която е равна на средната аритметична база. Друга възможност за определяне на областта на трапеца е да се умножи диагонала и синуса под ъгъла между тях.

Деца в началното училище често се дават задания: Намерете площта, начертана на фигури с палитра или лист прозрачна хартия, разделени от клетки. Такъв лист хартия е насложен върху измерената фигура, броят на пълните клетки се разглежда (единици на района), които са се абонирали за неговия контур, след това броят на непълната, който е разделен на половината.

Знанието за това как да се измери земята, се появи в древността и постепенно взе геометрията в науката. От гръцкия език тази дума се превежда и превежда - "Амерлемери".

Дължината на дължината на плоския участък на земята по дължината и ширината е районът. По математика обикновено се обозначава с латинската буква S (от английския квадрат - "квадрат", "квадрат") или гръцката буква σ (сигма). S Показва областта на фигурата върху равнината или повърхностната площ на тялото, а σ е напречното сечение на проводника във физиката. Това са главните герои, въпреки че може да има други, например, в областта на съпротивлението на материалите и е площта на напречното сечение на профила.

Във връзка с

Формули за изчисление

Познаване на области на обикновените фигури, можете да намерите параметрите на по-сложния. Антистните математици бяха получени формули, за които лесно можете да ги изчислите. Такива фигури са триъгълник, четириъгълник, многоъгълник, кръг.

За да намерите областта на сложна плоска фигура, тя е разделена на много прости фигури, като триъгълници, трапецоиди или правоъгълници. След това с математически методи произтичат формулата за областта на тази цифра. Подобен метод се използва не само в геометрията, но и в математическия анализ за изчисляване на областите на фигури, ограничени от кривите.

Триъгълник

Нека започнем с най-простата фигура - триъгълник. Те са правоъгълни, уравнени и равностранени. Вземете всеки ABC триъгълник с AB \u003d A, BC \u003d B и AC \u003d C (Δ ABC). Да намерим своята област, запомнете прочутата синус и косинус теореми от училищния курс на математиката. Оставяйки да оставите всички изчисления, да стигнете до следните формули:

• S \u003d √ - известен на цялата формула на Geron, където р \u003d (A + B + с) / 2 е половин период от триъгълник;
• S \u003d a h / 2, където h е височината, спусната до страна А;
• S \u003d a b (sin γ) / 2, където γ е ъгъл между страните А и Б;
• S \u003d a b / 2, ако Δ abc е правоъгълен (тук a и b - катети);
• S \u003d B² (SIN (2 β)) / 2, ако Δ abc е предшествана (тук b е един от "бедрото", β е ъгълът между "бедрата" на триъгълника);
• S \u003d A² √¾ ако Δ ABC е равностранен (тук a - страна на триъгълника).

Quirhugon.

Нека има четири-кафяв ABCD, който има ab \u003d a, bc \u003d b, cd \u003d c, ad \u003d d. За да намерите района S на произволен 4-квадрат, е необходимо да се разделят с диагонал от два триъгълника, чиито зони S1 и S2 обикновено не са равни.

След това, според формулите, изчислете ги и сгънати, т.е. s \u003d s1 + s2. Въпреки това, ако 4-квадратът принадлежи към определен клас, тогава нейната площ може да бъде намерена предварително известни формули:

• S \u003d (A + с) Н / 2 \u003d eh, ако 4-квадратът е трапец (тук А и С - основа, Е е средната линия на трапеца, Н е височината, спусната до една от основите на трапецът;
• S \u003d AH \u003d AB SIN φ \u003d D1 D2 (SIN φ) / 2, ако ABCD паралелограмите (тук φ е ъгълът между страните А и В, Н - височината, спусната до страната А, D1 и D2 - диагонално) Шпакловка
• S \u003d a b \u003d d² / 2, ако ABCD е правоъгълник (D - диагонал);
• S \u003d A² SIN φ \u003d P² (SIN φ) / 16 \u003d D1 D2 / 2, ако ABCD е ромб (една страна на ромб, φ е един от нейните ъгли, р е периметър);
• S \u003d a² \u003d p² / 16 \u003d d² / 2, ако ABCD е квадрат.

Многоъгълник

За да намерите областта на N-Square, математиката го прекъсва на най-простите равни фигури - финалите, намерете областта на всеки от тях и след това сгънете. Но ако полигонът принадлежи към класа на правилното, тогава се използва формулата:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d p² /, където п е броят на върховете (или страни) на полигона, А е страната на N-квадрата, Р е неговият периметър, H - Apophem, т.е. сегментът проведени от центъра на полигона до една от страните си под ъгъл от 90 °.

Кръг

Кръг е перфектен полигон с безкраен брой страни. Трябва да изчислим лимита за експресия отдясно във формулата на областта на многоъгълника с броя на част N, стремеж към безкрайност. В този случай периметърът на полигона ще се превърне в дължината на кръга на радиуса R, който ще бъде границата на нашия кръг и ще стане равна на p \u003d 2 π R. Ние ще заменим този израз във формулата посочен по-горе. Ще получим:

S \u003d (π² r ² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

Намерете границата на този израз в n → ∞. За да направите това, помислете, че LIM (COS (180 ° / n)) при n → ∞ е cos 0 ° \u003d 1 (lim - лимитният знак) и lim \u003d lim в n → ∞ е 1 / π (прехвърлим a степен на измерване на радиана, използвайки съотношението π, се радвам \u003d 180 °, и първото забележително ограничение (sin x) / x \u003d 1 при x → ∞ приложено). Заместването на последния израз за S получените стойности идват в известната формула:

S \u003d π² R2. 1 (1 / π) \u003d π r².

Единици

Използват се системи и несистемни единици. Системните единици се отнасят за C (System International). Това е квадратен метър (кв. Метър, m²) и единици, получени от него: mm², cm², km².

Например в квадратни милиметри (mm²) измерват напречното сечение на проводниците в електротехниката, в квадратни сантиметри (cm²) - част от гредите в строителната механика, в квадратни метра (m²) - апартаменти или в. \\ T Начало, квадратни километри (km²) - територия по география.

Въпреки това, някои измервателни единици понякога се използват, като: тъкане, AR (a), хектар (ha) и акър (AC). Ние даваме следните съотношения:

• 1 тъкане \u003d 1 A \u003d 100 m² \u003d 0,01 хектара;
• 1 HA \u003d 100 A \u003d 100 ACRES \u003d 10,000 m² \u003d 0.01 km² \u003d 2.471 високоговорители;
• 1 AC \u003d 4046.856 m² \u003d 40.47 A \u003d 40.47 дка \u003d 0.405 хектара.

Определен интеграл. Как да изчислим областта на фигурата

Отидете за разглеждане на интегрални приложения за приложения. В този урок ще анализираме типичната и най-често срещана задача. - как да се изчисли формата на равнината с определен интеграл. И накрая, виждайки смисъл във висша математика - ще го намери. Малко. Ще трябва да въведем страната в живота с елементарни функции и да намерим своята област, използвайки специфичен интеграл.

За успешното развитие на материала е необходимо:

1) да разберат неопределения интеграл най-малко средно ниво. По този начин, чайниците трябва да са запознати с урока Не.

2) да може да приложи формулата на Нютон и да изчисли конкретен интеграл. За да установите топли приятелства с определени интеграли на страницата Определен интеграл. Примери за решения.

Всъщност, за да се намери областта на цифрата, няма такива познания за несигурния и дефиниран интеграл. Задачата "изчисляване на зоната с помощта на конкретна интеграл" винаги предполага изграждането на чертежаЕто защо, много по-подходящ въпрос ще бъдат вашите знания и умения за изграждане на рисунки. В това отношение е полезно да се обновява в паметта на графиките на основните елементарни функции и поне да може да се изгради права, парабола и хипербола. Това може да се направи (много - необходимо), като се използва методологически материал и предмети върху трансформациите на геометрични диаграми.

Всъщност, със задачата да намерят района с помощта на конкретен интеграл, всеки е познат от училище и ние ще ядем малко напред от училищната програма. Тази статия дори не може да бъде, но факт е, че задачата се намира в 99 случая от 100, когато ученикът страда от омразната кула с ентусиазъм, който заминава курса на по-висша математика.

Материалите на този семинар са представени просто, подробно и с минимум теория.

Да започнем с криволинеен трапец.

Криволинеен трапец Плоска фигура се нарича ограничена ос, права и непрекъснат график на сегмент от функция, която не променя знака на този интервал. Нека тази фигура да бъде разположена не по-малко Ос на абсциса:

Тогава площта на криволинейния трапеца е числено равна на специфична интегрална. Всеки конкретен интеграл (който съществува) има много добър геометричен смисъл. В урока Определен интеграл. Примери за решения Казах, че определен интеграл е номер. И сега е време да заявите друг полезен факт. От гледна точка на геометрията, определен интеграл е област.

I.e, специфичен интеграл (ако съществува) геометрично съответства на областта на някаква фигура. Например, помислете за конкретен интеграл. Функцията Integrand поставя крива на равнината, разположена над ос (която желае може да нарисува чертежа) и специфичният интеграл е числено равен на площта на съответния криволинеен трапец.

Пример 1.

Това е типична формулировка на задачите. Първият и най-важен момент от решението - изграждане на рисунка. И чертежът трябва да бъде построен Дясно.

Когато изграждате чертежа, препоръчвам следния ред: първо по-добре е да се изгради всички права (ако са) и само по късно - Parabolas, Hyperbolas, графици на други функции. Функционалните графики са по-изгодни за изграждане potoChoe.С техниката на строителството може да се намери в референтния материал. Графики и свойства на елементарните функции. Там можете да намерите и много полезен материал по отношение на нашия урок, материалът - как бързо да се изгради парабола.

В тази задача може да изглежда така.
Извършете чертежа (забележете, че уравнението определя оста):

Няма да ударя криволинеен трапец, тук е очевидно каква област има реч. Решението продължава така:

В графика на сегмента се намира функция над оста, така:

Отговор:

Който има трудности при изчисляването на определен интеграл и използването на формула Newton-Leibnia , вижте лекцията Определен интеграл. Примери за решения.

След завършване на задачата, винаги е полезно да погледнете чертежа и да се оцени, реалното се оказа. В този случай, "на очите" преброяваме броя на клетките в чертежа - добре, приблизително 9 ще бъдат летящи, изглежда, че това изглежда. Много е ясно, че ако имаме, да речем: 20 квадратни единици, очевидно е, че е направена грешка някъде - на фигурата на 20 клетки, тя очевидно не е монтирана, от якостта на дузина. Ако отговорът се оказа отрицателен, задачата също се решава неправилно.

Пример 2.

Изчислете областта на формата, ограничените линии и ос

Това е пример за независимо решение. Пълно решение и отговор в края на урока.

Какво да направите, ако се намира криволинейният трапец под оста?

Пример 3.

Изчислете областта на формата, ограничените линии и координатните оси.

Решение: Извършване на чертеж:

Ако се намира криволинейният трапец под оста (или поне не по-високо Тази ос), тогава нейната област може да бъде намерена по формулата:
В такъв случай:

Внимание! Не бъркайте два вида задачи:

1) Ако сте поканени да решите прост интеграл без геометричен смисъл, тогава може да е отрицателен.

2) Ако сте поканени да намерите фигурата на фигурата, използвайки специфичен интеграл, тогава областта винаги е положителна! Ето защо само в разглежданата формула се появява минус.

На практика фигурата най-често се намира в горната и долната половина на самолета и следователно от най-простите училищни графики отиват в по-смислени примери.

Пример 4.

Намерете областта на плоска фигура, ограничени линии ,.

Решение: Първо трябва да нарисувате чертеж. Като цяло, при изграждането на рисуване на задачи към района, ние се интересуваме най-много от точките на пресичане на линиите. Намерете точки на пресичане на Parabola и директно. Това може да се направи по два начина. Първият метод е аналитичен. Ние решаваме уравнението:

Така че, по-ниската интеграционна граница, горната граница на интеграцията.
По този начин е по-добре, ако е възможно, не използвайте.

Тя е много по-печеливша и по-бърза за изграждане на линиите на линията, докато границите на интеграция са изяснени, сякаш "сами по себе си". Техниката на спиране на различни графики се разглежда подробно в помощта Графики и свойства на елементарните функции . Въпреки това, аналитичен начин за намиране на границите в края на краищата, понякога е необходимо да се прилага, ако например графикът е достатъчно голям, или обучената конструкция не разкрива границите на интеграция (те могат да бъдат фракционни или ирационални). И такъв пример, ние също обмисляме.

Ние се връщаме към нашата задача: по-рационално първо изграждайте права линия и само след това Parabola. Извършване на чертеж:

Повтарям, че в текущото строителство, границите на интеграция най-често се раздават от "автоматичното".

И сега работната формула: Ако е на сегмента някаква непрекъсната функция повече или равни Някаква непрекъсната функция, областта на фигурата, ограничена от графики на тези функции и директни, може да бъде намерена по формулата:

Тук вече не е необходимо да се мисли, когато фигурата е разположена - над оста или под оста, и грубо говорене, важно Какво е графиката по-горе(по отношение на друг график) и какво - по-долу.

В този пример е очевидно, че на сегмента на Parabola се намира над права, и следователно е необходимо да се извади

Приключването на решението може да изглежда така:

Желаната фигура е ограничена до парабола отгоре и директно дъно.
На сегмента, съгласно съответната формула:

Отговор:

В действителност, училищната формула за площта на криволинейния трапец в долната половина на равнината (виж прост пример № 3) - специален случай на формула . Тъй като оста се определя от уравнението и се намира функционалната графика не по-високо Ос, Т.

И сега няколко примера за независимо решение

Пример 5.

Пример 6.

Намерете областта на линията с ограничени фигури ,.

В хода на решаването на задачите за изчисляване на зоната със специфичен интеграл понякога се случва забавен случай. Чертежът е завършен правилно, изчисления - дясно, но се засили ... установено, че районът не е фигуратаЧе това е начинът, по който се пакетира смиреният ви слуга. Ето истински случай от живота:

Пример 7.

Изчислете областта на формата, ограничени линии ,,.

Решение: Първо направете чертежа:

... О, рисунката на Khrenovynsky излезе, но всичко изглежда вдига.

Фигура, чиято област трябва да намерим, е засенчена в синьо (Погледнете внимателно състоянието - от фигурата е ограничена!). Но на практика "бъг" често възниква в внимателност, която трябва да намерите област от фигурата, която е засенчена със зелено!

Този пример все още е полезен и фактът, че в него площта на фигурата се счита за два специфични интеграла. Наистина ли:

1) на сегмента над оста се намира прав график;

2) На сегмента над оста има графика на хиперболи.

Ясно е, че площадът може (и нужда) да се разложи, така че:

Отговор:

Отидете в друга съществена задача.

Пример 8.

Изчислете областта на формата, ограничени линии,
Представете си уравнението в формата "училище" и извършете текущия чертеж:

От чертежа е ясно, че горната граница имаме "добра" :.
Но каква е долната граница?! Ясно е, че това не е цяло число, но какво? Може би ? Но къде е гаранцията, че чертежът е направен с перфектна точност, може да е така. Или корен. И ако като цяло неправомерно изградихме график?

В такива случаи трябва да прекарате допълнително време и да уточнете границите на интеграция аналитично.

Намерете точките за пресичане на директната и парабола.
За да направите това, решаване на уравнението:


,

Наистина.

Допълнително решение е тривиално, основното нещо не е да се обърка в замествания и знаци, изчисленията тук не са най-простите.

На рязане Съгласно съответната формула:

Отговор:

Е, и в края на урока, помислете за по-трудни две задачи.

Пример 9.

Изчислете областта на формата, ограничени линии ,,

Решение: Покажете тази форма в чертежа.

По дяволите, забравих графика да подпиша, но да повторим картината, съжалявам, не е hotz. Не наследи, по-кратък, ден днес \u003d)

За текущото строителство трябва да знаете появата на синусоидите (и обикновено е полезно да се знае графики на всички елементарни функции), както и някои ценности на синусите, те могат да бъдат намерени в тригонометрична маса. В някои случаи (както в това) е позволено да се изгради схематичен рисун, на който границите на графиките и интеграцията трябва да бъдат отразени по принцип.

С границите на интеграцията тук няма проблеми, те следват директно от състоянието: - "X" варира от нула до "pi". Ние изготвяме друго решение:

На сегмента функционалната графика се намира над оста, така че: