المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمال. قوانين نظرية الاحتمال. نظرية الاحتمالات والمفاهيم الأساسية للنظرية نظرية الاحتمال الرياضي

عقيدة الشرائع التي تخضع لما يسمى. ظواهر عشوائية. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. Chudinov A.N. ، 1910 ... قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية

نظرية الاحتمالات- - [L.G. Sumenko. القاموس الإنجليزي الروسي لتكنولوجيا المعلومات. م: GP TsNIIS ، 2003.] الموضوعات تكنولوجيا المعلوماتنظرية الاحتمالية الشاملة EN نظرية الاحتمالات حساب الاحتمال ... دليل المترجم الفني

نظرية الاحتمالات- هناك جزء من الرياضيات يدرس العلاقة بين الاحتمالات (انظر الاحتمالات والإحصاء) لأحداث مختلفة. نسرد أهم النظريات المتعلقة بهذا العلم. يساوي احتمال وقوع حدث من عدة أحداث غير متسقة ... ... قاموس موسوعي F. Brockhaus و I.A. إيفرون

نظرية الاحتمالات- حسابي. علم يسمح باحتمالات بعض الأحداث العشوائية (انظر) لإيجاد احتمالات الأحداث العشوائية المرتبطة بـ. بالطريقة الأولى. تلفزيون حديث على أساس البديهيات (انظر. طريقة بديهية) A. N. Kolmogorov. على ال… … موسوعة علم الاجتماع الروسية

نظرية الاحتمالات- فرع من الرياضيات ، يتم فيه العثور على احتمالات أحداث أخرى ، مرتبطة بطريقة ما بالأول ، وفقًا لاحتمالات معينة لبعض الأحداث العشوائية. تدرس نظرية الاحتمالات أيضًا المتغيرات العشوائية والعمليات العشوائية. أحد الأمور المهمة ... ... مفاهيم العلوم الطبيعية الحديثة. مسرد للمصطلحات الأساسية

نظرية الاحتمالات- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. نظرية الاحتمالات vok. Wahrscheinlichkeitstheorie ، و روس. نظرية الاحتمالات ، و pranc. théorie des probabilités، f ... Fizikos terminų žodynas

نظرية الاحتمالات- ... ويكيبيديا

نظرية الاحتمالات- تخصص رياضي يدرس قوانين الظواهر العشوائية ... بدايات علم الطبيعة الحديث

نظرية الاحتمالات- (نظرية الاحتمالات) انظر الاحتمالات ... القاموس الاجتماعي التفسيري الشامل

نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها- ("نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها") المجلة العلمية لقسم الرياضيات في أكاديمية العلوم في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية. تنشر المقالات الأصلية و رسائل قصيرةعلى نظرية الاحتمالات ، قضايا عامةالإحصاء الرياضي وتطبيقاته في العلوم الطبيعية و ... ... كبير الموسوعة السوفيتية

كتب

• نظرية الاحتمالات. ، Wentzel E.S .. الكتاب عبارة عن كتاب مدرسي مخصص للأشخاص الذين هم على دراية بالرياضيات في نطاق دورة جامعية منتظمة ويهتمون بالتطبيقات التقنية لنظرية الاحتمالات ، في ... اشترِ مقابل 2056 UAH (أوكرانيا فقط)
• نظرية الاحتمالات. ، Wentzel E.S .. الكتاب هو كتاب مدرسي مخصص للأشخاص المطلعين على الرياضيات في نطاق دورة جامعية منتظمة ومهتمين بالتطبيقات التقنية لنظرية الاحتمالات ، في ...

ما هو الاحتمال؟

في مواجهة هذا المصطلح لأول مرة ، لن أفهم ما هو. لذلك ، سأحاول شرح ذلك بطريقة يسهل الوصول إليها.

الاحتمال هو فرصة وقوع الحدث الذي نحتاجه.

على سبيل المثال ، قررت زيارة صديق ، وتذكر المدخل وحتى الأرضية التي يعيش عليها. لكنني نسيت رقم الشقة وموقعها. وها أنت واقف على السلم وأمامك أبواب لتختار من بينها.

ما هي فرصة (احتمال) أنه إذا قرعت الباب الأول ، سيفتح لك صديقك؟ الشقة كلها ، والصديق يعيش لواحد منهم فقط. يمكننا اختيار أي باب بفرصة متساوية.

لكن ما هذه الفرصة؟

الأبواب ، الباب الأيمن. احتمال التخمين بدق الباب الأول:. أي مرة واحدة من بين كل ثلاثة سوف تخمن بالتأكيد.

نريد أن نعرف من خلال الاتصال مرة واحدة ، كم مرة سنخمن الباب؟ دعنا نفكر في جميع الخيارات:

1. اتصلت به الأولباب
2. اتصلت به الثانيباب
3. اتصلت به الثالثباب

الآن دعنا نلقي نظرة على جميع الخيارات التي قد يكون فيها الصديق:

أ. لكل الأولبالباب
ب. لكل الثانيبالباب
الخامس. لكل الثالثبالباب

دعنا نقارن جميع الخيارات في شكل جدول. تحدد العلامة الخيارات عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق ، أو علامة تقاطع - عندما لا تتطابق.

كيف ترى كل شيء يمكن والخياراتموقع الصديق واختيارك للباب الذي يرن.

أ نتائج مواتية للجميع . أي أنك ستخمن من وقت لآخر بدق جرس الباب. ...

هذا هو الاحتمال - نسبة النتيجة الإيجابية (عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف صيغة. عادة ما يتم الإشارة إلى الاحتمال p ، لذلك:

ليس من الملائم جدًا كتابة مثل هذه الصيغة ، لذلك سنأخذ - عدد النتائج المواتية ، و - العدد الإجمالي للنتائج.

يمكن كتابة الاحتمال كنسبة مئوية ، لذلك تحتاج إلى ضرب النتيجة الناتجة في:

ربما لفتت كلمة "نتائج" انتباهك. نظرًا لأن علماء الرياضيات يطلقون تجارب مختلفة (في حالتنا ، مثل هذا الإجراء هو رنين جرس الباب) ، فمن المعتاد استدعاء نتيجة هذه التجارب.

حسنًا ، النتائج مواتية وغير مواتية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا قرعنا أحد الأبواب ، لكن شخصًا غريبًا فتحه لنا. لم نخمن. ما هو احتمال أن يفتح لنا صديقنا إذا قرعنا أحد الأبواب المتبقية؟

إذا كنت تعتقد ذلك ، فهذا خطأ. دعونا نفهم ذلك.

بقي لدينا بابان. وبالتالي ، لدينا خطوات ممكنة:

1) اتصل الأولباب
2) اتصل الثانيباب

الصديق ، مع كل هذا ، هو بالتأكيد وراء أحدهم (بعد كل شيء ، لم يكن وراء الشخص الذي اتصلنا به):

أ) صديق ل الأولبالباب
ب) صديق ل الثانيبالباب

لنرسم الجدول مرة أخرى:

كما ترون ، هناك كل الخيارات ، منها مواتية. أي أن الاحتمال متساوٍ.

ولم لا؟

الوضع الذي نظرنا فيه - مثال على الأحداث التابعة.الحدث الأول هو جرس الباب الأول ، والحدث الثاني هو جرس الباب الثاني.

ويطلق عليهم اسم تابع لأنهم يؤثرون في الإجراءات التالية. بعد كل شيء ، إذا فتح أحد الأصدقاء الباب بعد الحلقة الأولى ، فما هو احتمال أنه خلف أحد الاثنين الآخرين؟ حق، .

ولكن إذا كانت هناك أحداث تابعة ، فلا بد من وجودها لا يعتمد؟ صحيح هناك.

مثال كتاب مدرسي هو رمي عملة معدنية.

1. رمي قطعة نقود مرة واحدة. ما هو احتمال خروج الرؤوس ، على سبيل المثال؟ هذا صحيح - نظرًا لأن الخيارات لكل شيء (سواء أكان رأسًا أم ذيلًا ، فإننا نتجاهل احتمالية وقوف العملة على الحافة) ، ولكننا فقط يناسبنا.
2. لكنها جاءت من ذيول. حسنًا ، دعنا نرميها مرة أخرى. ما هو الاحتمال الحالي للحصول على رؤوس؟ لم يتغير شيء ، كل شيء على حاله. كم عدد الخيارات؟ اثنين. كم يناسبنا؟ واحد.

ودعها تصعد أذيالها ألف مرة على التوالي. سيكون احتمال الحصول على رؤوس في وقت واحد هو نفسه. هناك دائمًا خيارات ، لكنها مواتية.

من السهل التمييز بين الأحداث التابعة والمستقلة:

1. إذا تم إجراء التجربة مرة واحدة (بمجرد إلقاء عملة معدنية ، ودق جرس الباب مرة واحدة ، وما إلى ذلك) ، تكون الأحداث دائمًا مستقلة.
2. إذا تم إجراء التجربة عدة مرات (ألقيت العملة مرة واحدة ، ورن جرس الباب عدة مرات) ، فإن الحدث الأول يكون دائمًا مستقلاً. وبعد ذلك ، إذا تغير عدد النتائج المفضلة أو عدد جميع النتائج ، فإن الأحداث تعتمد ، وإذا لم تكن كذلك ، فهي مستقلة.

لنتدرب على تحديد الاحتمال قليلاً.

مثال 1.

رميت العملة مرتين. ما هو احتمال ضرب الرأس مرتين على التوالي؟

المحلول:

دعنا نفكر في جميع الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر
2. رؤساء ذيول
3. رؤساء ذيول
4. ذيول ذيول

كما ترون ، الخيار كله. من هؤلاء ، يناسبنا فقط. وهذا هو الاحتمال:

إذا طُلب من الشرط إيجاد الاحتمال ببساطة ، فيجب تقديم الإجابة في شكل كسر عشري. إذا تم الإشارة إلى أن الإجابة يجب أن تكون كنسبة مئوية ، فسنضرب في.

إجابه:

مثال 2.

في علبة من الشوكولاتة ، يتم تغليف جميع الشوكولاتة في نفس الغلاف. ومع ذلك ، من الحلويات - مع المكسرات والكونياك والكرز والكراميل والنوجا.

ما هو احتمال أخذ حلوى واحدة للحصول على حلوى بالمكسرات. أعط إجابتك كنسبة مئوية.

المحلول:

كم عدد النتائج المحتملة هناك؟ ...

أي ، بأخذ قطعة حلوى واحدة ، ستكون واحدة من تلك الموجودة في الصندوق.

كم عدد النتائج المواتية؟

لأن الصندوق يحتوي فقط على الشوكولاتة مع المكسرات.

إجابه:

مثال 3.

في علبة من الكرات. منهم أبيض - أسود.

1. ما هو احتمال سحب الكرة البيضاء؟
2. لقد أضفنا المزيد من الكرات السوداء إلى الصندوق. ما هو احتمال سحب الكرة البيضاء الآن؟

المحلول:

أ) هناك كل الكرات في المربع. من هؤلاء البيض.

الاحتمال يساوي:

ب) الآن هناك كرات في الصندوق. وبقي نفس العدد من البيض -.

إجابه:

الاحتمال الكامل

احتمال كل الأحداث المحتملة هو ().

دعنا نقول في صندوق من الكرات الحمراء والخضراء. ما هو احتمال سحب الكرة الحمراء؟ الكرة الخضراء؟ كرة حمراء أم خضراء؟

إمكانية سحب كرة حمراء

الكرة الخضراء:

الكرة الحمراء أو الخضراء:

كما ترى ، مجموع كل الأحداث الممكنة هو (). سيساعدك فهم هذه اللحظة على حل العديد من المشكلات.

مثال 4.

يحتوي الصندوق على علامات: أخضر ، أحمر ، أزرق ، أصفر ، أسود.

ما هي فرصة سحب قلم فلوماستر غير أحمر؟

المحلول:

دعونا نحسب المبلغ نتائج مواتية.

ليست علامة حمراء ، بل تعني أخضر أو ​​أزرق أو أصفر أو أسود.

احتمالية كل الأحداث. واحتمالية الأحداث التي نعتبرها غير مواتية (عندما نسحب القلم ذي الرأس الأحمر) -.

وبالتالي ، فإن احتمال سحب قلم ذو طرف لباد أحمر هو.

إجابه:

احتمال عدم وقوع الحدث يساوي ناقص احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

أنت تعرف بالفعل ما هي الأحداث المستقلة.

ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما هو احتمال أنه عندما نقلب قطعة نقود مرة واحدة ، سنرى نسرًا مرتين؟

لقد حسبنا بالفعل -.

وإذا قمنا بقلب قطعة نقود مرة واحدة؟ ما هو احتمال رؤية نسر على التوالي؟

كل الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤوس-ذيول-ذيول
5. ذيول الرؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ، ذيول ، ذيول

لا أعرف عنك ، لكني أخطأت مرة واحدة عند إعداد هذه القائمة. رائع! والخيار الوحيد (الأول) يناسبنا.

بالنسبة إلى 5 رميات ، يمكنك عمل قائمة بالنتائج المحتملة بنفسك. لكن علماء الرياضيات ليسوا مجتهدين مثلك.

لذلك ، لاحظوا أولاً ثم أثبتوا أن احتمال سلسلة معينة من الأحداث المستقلة يتناقص في كل مرة باحتمال وقوع حدث واحد.

بعبارات أخرى،

تأمل في مثال نفس العملة المؤسفة.

احتمالية الحصول على الرؤوس في التحدي؟ ... الآن نقلب قطعة نقود مرة واحدة.

ما هو احتمال ضرب الرأس مرة واحدة على التوالي؟

لا تعمل هذه القاعدة فقط إذا طُلب منا إيجاد احتمالية حدوث نفس الحدث عدة مرات متتالية.

إذا أردنا العثور على تسلسل GRIP-EAGLE-GRILLE لرميات متتالية ، سنفعل الشيء نفسه.

احتمالية الحصول على ذيول - ، رؤوس -.

احتمالية السقوط من التسلسل GRILLE-EAGLE-GRILLE-GRILLE:

يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق صنع طاولة.

قاعدة إضافة احتمالات الأحداث غير المتسقة.

حتى يوقفوا! تعريف جديد.

دعونا نفهم ذلك. خذ عملتنا البالية وارمها مرة واحدة.
الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤوس-ذيول-ذيول
5. ذيول الرؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ، ذيول ، ذيول

لذا ، فإن الأحداث غير المتوافقة هي سلسلة محددة ومحددة مسبقًا من الأحداث. أحداث غير متوافقة.

إذا أردنا تحديد ما هو احتمال حدثين (أو أكثر) غير متوافقين ، فإننا نضيف احتمالات هذه الأحداث.

عليك أن تفهم أن سقوط الرؤوس أو الذيل هما حدثان مستقلان.

إذا أردنا تحديد ما هو احتمال تسلسل) (أو أي احتمال آخر) ، فإننا نستخدم قاعدة مضاعفة الاحتمالات.
ما هو احتمال ظهور الصورة في الرمية الأولى والذيول الثاني والثالث؟

ولكن إذا أردنا أن نعرف ما هو احتمال الحصول على واحد من عدة متتاليات ، على سبيل المثال ، عندما تسقط الرؤوس مرة واحدة بالضبط ، أي خيارات ، ثم علينا إضافة احتمالات هذه المتتاليات.

جميع الخيارات مناسبة لنا.

يمكننا الحصول على نفس الشيء عن طريق إضافة احتمالات كل متتالية:

وبالتالي ، نضيف الاحتمالات عندما نريد تحديد احتمالات بعض التسلسلات غير المتسقة للأحداث.

توجد قاعدة عامة رائعة لمساعدتك على تجنب الالتباس عند الضرب ومتى تضيف:

دعنا نعود إلى المثال عندما قلبنا عملة مرة واحدة ، ونريد أن نعرف احتمالية رؤية الوجه مرة واحدة.
ماذا سيحدث؟

يجب أن يسقط:
(رؤوس وذيول وذيول) أو (ذيول ورؤوس وذيول) أو (ذيول وذيول ورؤوس).
لذلك اتضح أن:

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5.

الصندوق يحتوي على أقلام الرصاص. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال سحب أقلام الرصاص الحمراء أو الخضراء؟

المحلول:

ماذا سيحدث؟ علينا الانسحاب (أحمر أو أخضر).

الآن أصبح واضحًا ، نضيف احتمالات هذه الأحداث:

إجابه:

مثال 6.

يتم رمي النرد مرتين ، ما هي فرصة مجموع النقاط البالغ 8؟

المحلول.

كيف نحصل على النقاط؟

(و) أو (و) أو (و) أو (و) أو (و).

احتمال سقوط وجه واحد (أي) -.

نحسب الاحتمال:

إجابه:

اكتشف - حل.

أعتقد أنه أصبح من الواضح لك الآن متى تحسب الاحتمالات ، ومتى تضيفها ، ومتى تضاعفها. أليس كذلك؟ دعونا نتدرب قليلا.

مهام:

لنأخذ مجموعة بطاقات ، فيها البطاقات ، بما في ذلك البستوني والقلوب و 13 مضربًا و 13 ماسة. من إلى الآس من كل بدلة.

1. ما هو احتمال سحب الأندية المتتالية (نعيد البطاقة المسحوبة الأولى إلى المجموعة وخلطها عشوائيًا)؟
2. ما هو احتمال سحب البطاقة السوداء (البستوني أو الهراوات)؟
3. ما هو احتمال سحب صورة (جاك ، ملكة ، ملك أو آيس)؟
4. ما هو احتمال رسم صورتين متتاليتين (نزيل أول بطاقة مرسومة من على ظهر السفينة)؟
5. ما هو احتمال ، بعد أخذ ورقتين ، لتجميع مجموعة - (جاك ، ملكة أو ملك) والآس. لا يهم التسلسل الذي سيتم فيه سحب البطاقات.

الإجابات:

1. في المجموعة ، بطاقات كل رتبة تعني:
2. تعتمد الأحداث على الأحداث ، لأنه بعد سحب البطاقة الأولى ، انخفض عدد البطاقات في المجموعة (بالإضافة إلى عدد "الصور"). إجمالي الرافعات والملكات والملوك والأصوات في المجموعة في البداية ، مما يعني احتمال قيام البطاقة الأولى بسحب "الصورة":

   نظرًا لأننا نزيل البطاقة الأولى من المجموعة ، فهذا يعني أن هناك بطاقة بالفعل في المجموعة ، والتي توجد بها صور. احتمال سحب صورة بالبطاقة الثانية:

   نظرًا لأننا مهتمون بالموقف عندما نخرج من سطح السفينة: "الصورة" و "الصورة" ، فنحن بحاجة إلى مضاعفة الاحتمالات:

   إجابه:

3. بعد سحب البطاقة الأولى ، سينخفض ​​عدد البطاقات في المجموعة ، لذلك لدينا خياران:
   1) مع البطاقة الأولى نخرج الآس ، والثانية - الجاك أو الملكة أو الملك
   2) مع البطاقة الأولى نخرج جاك أو ملكة أو ملك ، والثانية - الآس. (الآس و (جاك أو ملكة أو ملك)) أو ((جاك أو ملكة أو ملك) وآيس). لا تنس تقليل عدد البطاقات في المجموعة!

إذا كنت قادرًا على حل جميع المشكلات بنفسك ، فأنت رفيق رائع! الآن سوف تضغط على مسائل نظرية الاحتمالات في الامتحان!

نظرية الاحتمالات. مستوى متوسط

لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أننا نرد نرد. أي نوع من العظام هذا ، هل تعلم؟ هذا هو اسم مكعب بأرقام على حوافه. كم عدد الوجوه ، هذا العدد الكبير من الأرقام: من إلى كم؟ قبل.

لذلك ، نحن نرمي الزهر ونريد أن نتدحرج أو. وهو يقع علينا.

الاحتمال يقول ما حدث حدث موات(لا ينبغي الخلط بينه وبين المزدهر).

إذا سقط ، سيكون الحدث مواتياً أيضًا. في المجموع ، يمكن أن يحدث حدثان مواتيان فقط.

وكم عدد غير موات؟ نظرًا لوجود جميع الأحداث المحتملة ، فهذا يعني أن الأحداث غير المواتية من بينها (هذا إذا وقع أو).

تعريف:

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث الممكنة... وهذا يعني أن الاحتمال يوضح نسبة جميع الأحداث الممكنة المواتية.

تشير إلى الاحتمال بحرف لاتيني (على ما يبدو من كلمة انجليزيةالاحتمال - الاحتمال).

من المعتاد قياس الاحتمالية كنسبة مئوية (انظر الموضوعات و). للقيام بذلك ، يجب ضرب قيمة الاحتمال في. في مثال النرد ، الاحتمال.

وكنسبة مئوية:.

أمثلة (حدد بنفسك):

1. ما هو احتمال الحصول على الوجه عند قلب العملة؟ ما مدى احتمالية ظهور ذيول؟
2. ما هو احتمال دحرجة عدد زوجي على حجر نرد؟ ومع أي - غريب؟
3. في علبة أقلام الرصاص وأقلام الرصاص الزرقاء والحمراء. ارسم قلم رصاص عشوائيًا. ما هو احتمال سحب واحدة بسيطة؟

حلول:

1. كم عدد الخيارات هناك؟ الرؤوس والذيل هما فقط. كم منهم مواتية؟ واحد فقط نسر. لذا فإن الاحتمال

   نفس الشيء مع ذيول :.

2. إجمالي الخيارات: (كم عدد جوانب المكعب ، العديد من الخيارات المختلفة). المواتية: (هذه كلها أرقام زوجية :).
   احتمالا. مع الغريب ، بالطبع ، نفس الشيء.
3. مجموع: . ملائم:. احتمالا: .

الاحتمال الكامل

كل أقلام الرصاص في الدرج خضراء. ما هو احتمال سحب قلم رصاص أحمر؟ لا توجد فرصة: الاحتمال (بعد كل شيء ، الأحداث المواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى مستحيل.

ما هو احتمال سحب قلم رصاص أخضر؟ يوجد بالضبط نفس عدد الأحداث المواتية حيث يوجد إجمالي الأحداث (كل الأحداث مواتية). ومن ثم ، فإن الاحتمال يساوي أو.

مثل هذا الحدث يسمى موثوقة.

إذا كان هناك أقلام رصاص خضراء وحمراء في الصندوق ، فما فرصة سحب اللون الأخضر أو ​​الأحمر؟ مرة أخرى. لاحظ هذا الشيء: احتمالية سحب اللون الأخضر متساوية ، والأحمر تساوي.

باختصار ، هذه الاحتمالات متساوية تمامًا. هذا هو، مجموع احتمالات جميع الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في علبة أقلام الرصاص ، من بينها الأزرق والأحمر والأخضر والعادي والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم سحب اللون الأخضر؟

المحلول:

تذكر أن جميع الاحتمالات تتراكم. واحتمال سحب اللون الأخضر يساوي. هذا يعني أن احتمال عدم سحب اللون الأخضر يساوي.

تذكر هذه الحيلة:احتمال عدم وقوع الحدث يساوي ناقص احتمال وقوع الحدث.

الأحداث المستقلة وقاعدة الضرب

تقلب قطعة نقود مرة واحدة ، وتريد أن تسقط الرؤوس في المرتين. ما هو احتمال حدوث ذلك؟

لنستعرض جميع الخيارات الممكنة ونحدد عددها:

الرؤوس ، الرؤوس ، الرؤوس ، الرؤوس ، الرؤوس. ماذا بعد؟

الخيار كله. من بين هؤلاء ، واحد فقط مناسب لنا: Eagle-Eagle. المجموع ، الاحتمال هو.

تمام. والآن نرمي قطعة نقود مرة واحدة. احسبها بنفسك. حدث؟ (جواب).

ربما لاحظت أنه مع إضافة كل رمية تالية ، يقل الاحتمال بمرور الوقت. قاعدة عامةاتصل قاعدة الضرب:

تتغير احتمالات الأحداث المستقلة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هؤلاء هم أولئك الذين لا يعتمدون على بعضهم البعض. على سبيل المثال ، عندما نرمى عملة عدة مرات ، في كل مرة يتم عمل رمية جديدة ، لا تعتمد نتيجتها على جميع عمليات القذف السابقة. يمكننا أيضًا قلب عملتين مختلفتين في نفس الوقت.

مزيد من الأمثلة:

1. يتم دحرجة النرد مرتين. ما هو احتمال أن يتم دحرجة المرتين؟
2. ألقيت العملة مرة واحدة. ما هي احتمالية أن تهبط الرؤوس أولاً ثم ذيولها مرتين؟
3. يقوم اللاعب برمي نردتين. ما هو احتمال تساوي مجموع الأعداد عليها؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة ، مما يعني أن قاعدة الضرب تعمل :.
2. احتمال وجود نسر هو. احتمال ذيول هو أيضا. نضرب:
3. لا يمكن الحصول على الرقم 12 إلا إذا تم تدحرج اثنين -ki :.

أحداث غير متوافقة وقاعدة الإضافة

تسمى الأحداث غير المتوافقة الأحداث التي تكمل بعضها البعض إلى الاحتمالية الكاملة. كما يوحي الاسم ، لا يمكن أن تحدث في نفس الوقت. على سبيل المثال ، إذا قمنا بقلب عملة معدنية ، فيمكن أن تظهر إما بشكل رأسي أو ذيول.

مثال.

في علبة أقلام الرصاص ، من بينها الأزرق والأحمر والأخضر والعادي والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال سحب اللون الأخضر أو ​​الأحمر؟

المحلول .

احتمال سحب قلم رصاص أخضر هو. أحمر - .

جميع الأحداث الميمونة: أخضر + أحمر. هذا يعني أن احتمال سحب اللون الأخضر أو ​​الأحمر يساوي.

يمكن تمثيل نفس الاحتمال على النحو التالي:.

هذه هي قاعدة الإضافة:تتراكم احتمالات الأحداث غير المتسقة.

مشاكل مختلطة

مثال.

رميت العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتيجة الرميات مختلفة؟

المحلول .

هذا يعني أنه إذا كانت النتيجة الأولى عبارة عن صورة ، فيجب أن تكون الثانية عبارة عن ذيول ، والعكس صحيح. اتضح أن هناك زوجين من الأحداث المستقلة ، وهذه الأزواج غير متوافقة مع بعضها البعض. كيف لا يتم الخلط بينه وبين أين تتكاثر وأين تضيف.

هناك قاعدة عامة بسيطة لهذه المواقف. حاول وصف ما سيحدث من خلال ربط الأحداث بـ AND أو OR. على سبيل المثال ، في هذه الحالة:

يجب أن يصعد (رؤوس وذيول) أو (ذيول ورؤوس).

عندما يكون هناك ارتباط "و" ، يكون هناك ضرب ، وحيث "أو" - إضافة:

جربها بنفسك:

1. ما هو احتمال أن يهبط نفس الجانب على رميتين لعملة في المرتين؟
2. يتم دحرجة النرد مرتين. ما هو احتمال أن يكون المجموع نقاطًا؟

حلول:

1. (سقطت الرؤوس وسقطت الرؤوس) أو (سقطت ذيولها وسقطت ذيولها) :.
2. ما هي الخيارات؟ و. ثم:
   انسحب (و) أو (و) أو (و) :.

مثال آخر:

نرمي قطعة نقود مرة واحدة. ما هو احتمال خروج الرؤوس مرة واحدة على الأقل؟

المحلول:

أوه ، كيف لا تريد أن تذهب من خلال الخيارات ... Heads-Tails-Tails ، Heads -head-Tails ، ... لكن لا! نتذكر الاحتمال الكامل. تذكرت؟ ما هو احتمال ان يكون نسر لن يتم إسقاطها ولو مرة واحدة؟ الأمر بسيط: ذيولها تطير طوال الوقت ، لذا.

نظرية الاحتمالات. باختصار حول الرئيسي

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث الممكنة.

أحداث مستقلة

حدثان مستقلان إذا لم يتغير احتمال حدوث الآخر عند حدوث أحدهما.

الاحتمال الكامل

احتمال كل الأحداث المحتملة هو ().

احتمال عدم وقوع الحدث يساوي ناقص احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

إن احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث

أحداث غير متوافقة

تسمى الأحداث غير المتوافقة الأحداث التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد كنتيجة للتجربة. عدد من الأحداث غير المتسقة تشكل مجموعة كاملة من الأحداث.

تتضافر احتمالات الأحداث غير المتسقة.

بعد وصف ما يجب أن يحدث ، باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR" ، بدلاً من "AND" نضع علامة الضرب ، وبدلاً من "OR" - الإضافة.

المواد المتبقية 2/3 متاحة فقط للطلاب!

كن طالبًا في YouClever ،

استعد لـ OGE أو الاستخدام في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا" ،

واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever" ، وبرنامج التدريب "100gia" (reshebnik) ، واستخدام تجريبي غير محدود و OGE ، و 6000 مشكلة مع تحليل الحلول وخدمات YouClever و 100gia الأخرى.

المقدمة

أشياء كثيرة غير مفهومة بالنسبة لنا ، ليس لأن مفاهيمنا ضعيفة ؛
ولكن لأن هذه الأشياء ليست مدرجة في نطاق مفاهيمنا.
كوزما بروتكوف

الهدف الرئيسي من دراسة الرياضيات في المؤسسات التعليمية الثانوية المتخصصة هو تزويد الطلاب بمجموعة من المعارف والمهارات الرياضية اللازمة لدراسة تخصصات البرامج الأخرى التي تستخدم الرياضيات إلى حد ما ، من أجل القدرة على إجراء العمليات الحسابية العملية ، من أجل تكوين وتطوير التفكير المنطقي.

يقدم هذا العمل باستمرار جميع المفاهيم الأساسية لقسم الرياضيات "أساسيات نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي" التي يوفرها البرنامج والمعايير التعليمية الحكومية للتعليم المهني الثانوي (وزارة التعليم في الاتحاد الروسي. M. ، 2002 ) ، يصوغ النظريات الرئيسية ، ومعظمها لم يتم إثباته ... يتم النظر في المهام والأساليب الرئيسية لحلها وتقنيات تطبيق هذه الأساليب لحل المشكلات العملية. العرض مصحوب بتعليقات مفصلة وأمثلة عديدة.

يمكن استخدام التعليمات المنهجية للتعرف الأولي على المادة المدروسة ، عند تدوين ملاحظات المحاضرات ، للتحضير للتمارين العملية ، لترسيخ المعرفة والقدرات والمهارات المكتسبة. بالإضافة إلى ذلك ، سيكون الدليل مفيدًا للطلاب الكبار كأداة مرجعية ، مما يتيح لك بسرعة تذكر ما تمت دراسته مسبقًا.

في نهاية العمل ، يتم إعطاء أمثلة وواجبات يمكن للطلاب القيام بها في وضع ضبط النفس.

التعليمات المنهجية مخصصة لطلاب أشكال التعليم بدوام جزئي وبدوام كامل.

مفاهيم أساسية

تدرس نظرية الاحتمالات القوانين الموضوعية للأحداث العشوائية الجماعية. إنه أساس نظري للإحصاء الرياضي ، يشارك في تطوير طرق لجمع نتائج المراقبة ووصفها ومعالجتها. من خلال الملاحظات (الاختبارات والتجارب) ، أي تجربة بالمعنى الواسع للكلمة ، يتم التعرف على ظواهر العالم الحقيقي.

في ممارستنا ، غالبًا ما نصادف ظواهر لا يمكن التنبؤ بنتائجها ، وتعتمد نتيجتها على الحالة.

يمكن تمييز ظاهرة عشوائية من خلال نسبة عدد حالات التقدم فيها إلى عدد التجارب ، وفي كل منها ، في ظل نفس الظروف لجميع التجارب ، كان من الممكن أو لا يمكن أن تحدث.

نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يتم فيه دراسة الظواهر العشوائية (الأحداث) وكشف الأنماط أثناء تكرارها الهائل.

الإحصاء الرياضي هو فرع من فروع الرياضيات يكون موضوعه طرق الدراسة لجمع البيانات الإحصائية وتنظيمها ومعالجتها واستخدامها للحصول على استنتاجات علمية واتخاذ القرارات.

في هذه الحالة ، تُفهم البيانات الإحصائية على أنها مجموعة من الأرقام التي تمثل الخصائص الكمية لميزات الأشياء التي تهمنا. يتم الحصول على البيانات الإحصائية نتيجة لتجارب وملاحظات خاصة.

تعتمد البيانات الإحصائية بطبيعتها على العديد من العوامل العشوائية ، وبالتالي ، فإن الإحصاءات الرياضية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الاحتمالية ، وهي أساسها النظري.

أولا - الاحتمال. إضافة وتضاعف الاحتمالات

1.1 المفاهيم الأساسية للتوافقيات

في قسم الرياضيات المسمى التوافقية ، يتم حل بعض المشكلات المتعلقة بالنظر في المجموعات وتجميع مجموعات مختلفة من عناصر هذه المجموعات. على سبيل المثال ، إذا أخذنا 10 أرقام مختلفة 0 ، 1 ، 2 ، 3 ،: ، 9 وقمنا بتوليفات منها ، فسنحصل على أرقام مختلفة ، على سبيل المثال ، 143 ، 431 ، 5671 ، 1207 ، 43 ، إلخ.

نرى أن بعض هذه المجموعات تختلف فقط في ترتيب الأرقام (على سبيل المثال ، 143 و 431) ، والبعض الآخر في الأرقام المدرجة فيها (على سبيل المثال ، 5671 و 1207) ، ولا يزال البعض الآخر يختلف في عدد الأرقام ( على سبيل المثال ، 143 و 43).

وبالتالي ، فإن التركيبات التي تم الحصول عليها تفي بشروط مختلفة.

يمكن تمييز ثلاثة أنواع من المجموعات اعتمادًا على قواعد التكوين: إعادة الترتيب والتنسيب والجمع.

دعنا أولاً نتعرف على المفهوم عاملي.

يسمى حاصل ضرب كل الأعداد الطبيعية من 1 إلى n n- عاملي واكتب.

احسب: أ) ؛ ب)؛ الخامس) .

المحلول. أ) .

ب) منذ و ، ثم يمكنك إخراج الأقواس

ثم نحصل

الخامس) .

التباديل.

مجموعة من العناصر التي تختلف عن بعضها البعض فقط في ترتيب العناصر تسمى التباديل.

يشار إلى التبديلات بالرمز ص ن ، حيث n هو عدد العناصر المدرجة في كل تبديل. ( ص- الحرف الأول من الكلمة الفرنسية التقليب- التقليب).

يمكن حساب عدد التباديل بالصيغة

أو باستخدام عاملي:

تذكر ذلك 0! = 1 و 1! = 1.

مثال 2. ما عدد الطرق التي يمكن بها ترتيب ستة كتب مختلفة على رف واحد؟

المحلول. عدد الطرق المطلوب يساوي عدد التباديل لـ 6 عناصر ، أي

إقامة.

مساكن من مالعناصر في نفي كل من هذه المركبات تسمى التي تختلف عن بعضها البعض إما عن طريق العناصر نفسها (واحد على الأقل) ، أو بترتيب الترتيب.

تتم الإشارة إلى المواضع بالرمز ، حيث م- عدد جميع العناصر المتاحة ، ن- عدد العناصر في كل مجموعة. ( أ-الحرف الأول من الكلمة الفرنسية ترتيب، وهو ما يعني "التنسيب ، الترتيب").

علاوة على ذلك ، يعتقد أن نانومتر.

يمكن حساب عدد المواضع باستخدام الصيغة

,

أولئك. عدد كل المواضع الممكنة من معناصر بواسطة نيساوي المنتج نالأعداد الصحيحة المتتالية ، والتي هي أكبر م.

لنكتب هذه الصيغة في شكل عاملي:

مثال 3. كم عدد الخيارات المتاحة لتوزيع ثلاث قسائم في المصحات بمختلف الملفات الشخصية التي يمكن تقديمها لخمسة متقدمين؟

المحلول. العدد المطلوب من المتغيرات يساوي عدد مواضع 5 عناصر بواسطة 3 عناصر ، أي

.

مجموعات.

المجموعات هي جميع التوليفات الممكنة من معناصر بواسطة نالتي تختلف عن بعضها البعض من خلال عنصر واحد على الأقل (هنا مو ن-الأعداد الطبيعية و ن م).

عدد التوليفات من معناصر بواسطة نيشار إليها ( مع- الحرف الأول من كلمة فرنسية مزيج- مزيج).

بشكل عام ، رقم من معناصر بواسطة نيساوي عدد المواضع من معناصر بواسطة نمقسومًا على عدد التباديل من نعناصر:

باستخدام الصيغ المضروبة لعدد المواضع والتباديل ، نحصل على:

مثال 4. في فريق مكون من 25 شخصًا ، تحتاج إلى تخصيص أربعة للعمل في موقع معين. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بذلك؟

المحلول. نظرًا لأن ترتيب الأشخاص الأربعة المختارين لا يهم ، فهناك عدة طرق للقيام بذلك.

نجد بالصيغة الأولى

.

بالإضافة إلى ذلك ، عند حل المشكلات ، يتم استخدام الصيغ التالية التي تعبر عن الخصائص الرئيسية للتركيبات:

(بحكم التعريف ، من المفترض و) ؛

.

1.2 حل المشاكل الاندماجية

المهمة 1. تدرس الكلية 16 مادة. يوم الاثنين ، تحتاج إلى جدولة 3 عناصر. كم عدد الطرق التي يمكنك القيام بذلك؟

المحلول. توجد طرق عديدة لجدولة ثلاثة عناصر من أصل 16 حيث يمكنك عمل مواضع من 16 عنصرًا من 3 لكل عنصر.

المشكلة الثانية. من بين 15 عنصرًا ، من الضروري تحديد 10 كائنات. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بذلك؟

المشكلة 3. أربعة فرق شاركت في المنافسة. كم عدد الخيارات الممكنة لتوزيع المقاعد بينهم؟

.

المشكلة 4. ما هو عدد الطرق التي يمكنك من خلالها إنشاء دورية من ثلاثة جنود وضابط واحد ، إذا كان هناك 80 جنديًا و 3 ضباط؟

المحلول. يمكنك اختيار جندي في دورية

في الطرق والضباط في الطرق. نظرًا لأن أي ضابط يمكنه الذهاب مع كل فريق من الجنود ، فهناك طرق فقط.

المشكلة 5. البحث ، إذا كان من المعروف أن.

منذ ذلك الحين نحصل عليه

,

,

من خلال تعريف مجموعة يتبع ذلك ،. الذي - التي. ...

1.3 مفهوم الحدث العشوائي. أنواع الأحداث. احتمالية الحدث

سيتم استدعاء أي إجراء أو ظاهرة أو ملاحظة ذات عدة نتائج مختلفة ، تتحقق في ظل مجموعة معينة من الظروف اختبار.

نتيجة هذا الإجراء أو الملاحظة تسمى حدث .

إذا كان الحدث في شروط معينةقد يحدث أو لا يحدث ، ثم يطلق عليه عشوائي ... في حالة وجوب وقوع حدث ما بالتأكيد ، يتم استدعاؤه موثوق بها ، وفي حالة عدم إمكانية حدوث ذلك بوضوح ، - غير ممكن.

تسمى الأحداث تتعارض إذا ظهر واحد منهم فقط في كل مرة.

تسمى الأحداث مشترك إذا كان حدوث أحد هذه الأحداث في ظل الظروف المحددة لا يستبعد حدوث حدث آخر خلال نفس الاختبار.

تسمى الأحداث ضد إذا كانت ، في ظل ظروف الاختبار ، هي نتائجه الوحيدة ، غير متوافقة.

عادة ما يتم تحديد الأحداث بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: ا ب ت ث، : .

النظام الكامل للأحداث 1 ، 2 ، А3 ،: ، n عبارة عن مجموعة من الأحداث غير المتوافقة ، يكون ظهور واحد منها على الأقل إلزاميًا لاختبار معين.

إذا كان النظام الكامل يتكون من حدثين غير متوافقين ، فإن مثل هذه الأحداث تسمى العكس ويشار إليها بـ A و.

مثال. العلبة تحتوي على 30 كرة مرقمة. حدد أيًا من الأحداث التالية مستحيل ، وموثوق به ، وعكسه:

حصلت على كرة مرقمة (أ)؛

حصلت على كرة برقم زوجي (الخامس)؛

حصلت على كرة ذات أرقام فردية (مع)؛

حصلت على كرة بدون رقم (د).

أيهم يشكلون مجموعة كاملة؟

المحلول ... أ- حدث موثوق ؛ د- حدث مستحيل

في و مع- أحداث معاكسة.

تتكون المجموعة الكاملة من الأحداث من أو د ، بو مع.

يعتبر احتمال وقوع حدث ما بمثابة مقياس للإمكانية الموضوعية لحدوث حدث عشوائي.

1.4 التعريف الكلاسيكي للاحتمال

يسمى الرقم الذي هو تعبير عن مقياس الاحتمال الموضوعي لحدث ما احتمالا هذا الحدث ويشار إليه بالرمز ص (أ).

تعريف. احتمالية وقوع الحدث أهي نسبة عدد النتائج م ، مواتية لبداية حدث معين أإلى العدد نجميع النتائج (غير متسقة ، فريدة ومتساوية الإمكانات) ، أي ...

لذلك ، للعثور على احتمال وقوع حدث ما ، من الضروري ، بعد النظر في النتائج المختلفة للمحاكمة ، حساب جميع النتائج غير المتسقة الممكنة. ن،اختر عدد النتائج التي تهمنا m واحسب النسبة مل ن.

الخصائص التالية تتبع من هذا التعريف:

احتمال أي اختبار هو رقم غير سالب لا يتجاوز واحد.

في الواقع ، عدد م من الأحداث المرغوبة هو ضمن الحدود. تقسيم كلا الجزأين إلى ن، نحن نحصل

2. احتمال وقوع حدث موثوق به يساوي واحدًا ، منذ ذلك الحين ...

3. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر ، لأن.

المشكلة 1. في اليانصيب البالغ 1000 تذكرة ، هناك 200 فائزة. خذ تذكرة واحدة بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تكون هذه التذكرة فائزة؟

المحلول. العدد الإجمالي للنتائج المختلفة هو ن= 1000. عدد النتائج المواتية لتحقيق الفوز هو م = 200. وفقا للصيغة نحصل عليها

.

المشكلة 2. هناك 4 أجزاء معيبة في دفعة من 18 قطعة. يتم اختيار 5 أجزاء بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يتضح أن جزأين معيبين من بين هذه الأجزاء الخمسة.

المحلول. عدد جميع النتائج المستقلة الممكنة بشكل متساوٍ نيساوي عدد التركيبات من 18 إلى 5 أي

دعونا نحسب الرقم م ، المناسب للحدث أ. من بين 5 أجزاء مأخوذة عشوائياً ، يجب أن يكون هناك 3 أجزاء عالية الجودة و 2 معيب. عدد الطرق لاختيار جزأين معيبين من 4 أجزاء معيبة متوفرة يساوي عدد التركيبات من 4 إلى 2:

عدد طرق أخذ عينات من ثلاثة أجزاء عالية الجودة من 14 قطعة متوفرة عالية الجودة هو

.

يمكن دمج أي مجموعة من أجزاء الجودة مع أي مجموعة من الأجزاء المعيبة ، وبالتالي العدد الإجمالي للتركيبات ميكون

الاحتمال المنشود للحدث A يساوي نسبة عدد النتائج m ، المواتية لهذا الحدث ، إلى العدد n من جميع النتائج المستقلة الممكنة على قدم المساواة:

.

مجموع عدد محدد من الأحداث هو حدث يتكون من حدوث واحد منها على الأقل.

يُشار إلى مجموع حدثين بالرمز A + B ، وبالمجموع نالأحداث بالرمز А 1 + А 2 +: + А n.

نظرية الجمع للاحتمالات.

احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث.

نتيجة طبيعية 1. إذا كان الحدث 1 ، А2 ،: ، n يشكل نظامًا كاملاً ، فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث يساوي واحدًا.

نتيجة طبيعية 2. مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة يساوي واحدًا.

.

المشكلة 1. هناك 100 تذكرة يانصيب. من المعروف أن 5 تذاكر ستحصل على جائزة 20000 روبل لكل منها ، 10 تذاكر - 15000 روبل لكل منها ، 15 تذكرة - 10000 روبل لكل منها ، 25 - 2000 روبل لكل منها. ولا شيء للبقية. ابحث عن احتمال استلام جائزة لا تقل عن 10000 روبل على التذكرة المشتراة.

المحلول. لنفترض أن A و B و C هي الأحداث التي تتكون من حقيقة أن جائزة تقع على التذكرة المشتراة ، أي ما يعادل 20000 و 15000 و 10000 روبل على التوالي. بما أن الأحداث A و B و C غير متسقة ، إذن

المشكلة 2. تشغيل خارج أسوارتتلقى المدرسة الفنية اختبارات في الرياضيات من المدن أ ، بو مع... احتمال استلام عمل الاختبار من المدينة أيساوي 0.6 من المدينة الخامس- 0.1. أوجد احتمال أن التالي اختبارسيأتي من المدينة مع.

كثير ، عندما يواجهون بمفهوم "نظرية الاحتمالات" ، يخافون ، معتقدين أن هذا شيء ساحق وصعب للغاية. لكن كل شيء في الواقع ليس مأساويا. سننظر اليوم في المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمال ، وسنتعلم كيفية حل المشكلات باستخدام أمثلة محددة.

العلم

ماذا يدرس فرع من فروع الرياضيات مثل "نظرية الاحتمالات"؟ هي تلاحظ الأنماط والكميات. لأول مرة ، أصبح العلماء مهتمين بهذه القضية في القرن الثامن عشر ، عندما درسوا القمار. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمال هو حدث. هذه أي حقيقة يتم التأكد منها بالخبرة أو الملاحظة. لكن ما هي التجربة؟ مفهوم أساسي آخر لنظرية الاحتمال. هذا يعني أن هذه المجموعة من الظروف لم تنشأ عن طريق الصدفة ، ولكن لغرض محدد. أما بالنسبة للملاحظة ، فهنا الباحث نفسه لا يشارك في التجربة ، بل يشهد هذه الأحداث ببساطة ، ولا يؤثر بأي شكل من الأشكال على ما يحدث.

الأحداث

تعلمنا أن المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمال هو حدث ، لكننا لم نفكر في التصنيف. كلهم يقعون في الفئات التالية:

• معقول.
• غير ممكن.
• عشوائي.

بغض النظر عن نوع الأحداث التي يتم ملاحظتها أو إنشاؤها في سياق التجربة ، فإنها تخضع جميعها لهذا التصنيف. ندعوك للتعرف على كل نوع على حدة.

حدث موثوق

هذا هو مثل هذا الظرف الذي اتخذت أمامه مجموعة التدابير اللازمة. من أجل فهم الجوهر بشكل أفضل ، من الأفضل إعطاء بعض الأمثلة. تخضع الفيزياء والكيمياء والاقتصاد والرياضيات العليا لهذا القانون. تتضمن نظرية الاحتمالية مفهومًا مهمًا كحدث موثوق. وهنا بعض الأمثلة:

• نعمل ونتلقى أجرًا على شكل أجور.
• لقد اجتزنا الامتحانات بشكل جيد ، اجتزنا المنافسة ، لهذا نحصل على مكافأة على شكل قبول مؤسسة تعليمية.
• لقد استثمرنا أموالاً في البنك ، وسنعيدها إذا لزم الأمر.

مثل هذه الأحداث ذات مصداقية. إذا فعلنا كل شيء الشروط اللازمة، ثم سنحصل بالتأكيد على النتيجة المتوقعة.

أحداث مستحيلة

نحن ننظر الآن في عناصر نظرية الاحتمال. نقترح الانتقال إلى شرح للنوع التالي من الأحداث ، أي المستحيل. بادئ ذي بدء ، سنحدد أكثر قاعدة مهمة- احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

لا يمكن للمرء أن يحيد عن هذه الصيغة عند حل المشاكل. للتوضيح ، فيما يلي أمثلة على مثل هذه الأحداث:

• تجمد الماء عند درجة حرارة زائد عشرة (هذا مستحيل).
• لا يؤثر نقص الكهرباء على الإنتاج بأي شكل من الأشكال (مستحيل كما في المثال السابق).

لا يستحق إعطاء المزيد من الأمثلة ، لأن الأمثلة المذكورة أعلاه تعكس بوضوح جوهر هذه الفئة. لن يحدث أي حدث مستحيل أبدًا أثناء تجربة ما تحت أي ظرف من الظروف.

الأحداث العشوائية

دراسة العناصر انتباه خاصمن الجدير إعطاء هذا النوع المعين من الأحداث. هم الذين يدرسهم هذا العلم. نتيجة للتجربة ، يمكن أن يحدث شيء ما أو لا. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن إجراء الاختبار لعدد غير محدود من المرات. أمثلة ملفتة للنظريمكن أن تكون:

• رمي العملة هو تجربة ، أو اختبار ؛ سقوط رأس هو حدث.
• سحب الكرة من الكيس بشكل أعمى هو اختبار ، يتم التقاط كرة حمراء - هذا حدث ، وما إلى ذلك.

يمكن أن يكون هناك عدد غير محدود من هذه الأمثلة ، ولكن بشكل عام ، يجب أن يكون الجوهر واضحًا. لتلخيص وتنظيم المعرفة المكتسبة حول الأحداث ، يتم إعطاء جدول. تدرس نظرية الاحتمالات فقط الأنواع الأخيرة من كل الأنواع المعروضة.

لقب	تعريف
معقول	الأحداث التي تقع بضمان 100٪ تخضع لشروط معينة.	القبول في مؤسسة تعليمية مع اجتياز امتحان القبول بشكل جيد.
غير ممكن	الأحداث التي لن تحدث تحت أي ظرف من الظروف.	إنه يتساقط عند درجة حرارة هواء تزيد عن ثلاثين درجة مئوية.
عشوائي	حدث قد يحدث أو لا يحدث أثناء التجربة / الاختبار.	الضرب أو الضياع عند رمي كرة السلة في السلة.

القوانين

نظرية الاحتمالية هي علم يدرس إمكانية وقوع حدث ما. مثل الآخرين ، لديها بعض القواعد. هناك القوانين التالية لنظرية الاحتمال:

• تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية.
• قانون الأعداد الكبيرة.

عند حساب احتمالية وجود معقد ، يمكنك استخدام مجموعة من الأحداث البسيطة لتحقيق نتيجة بطريقة أسهل وأسرع. لاحظ أن قوانين نظرية الاحتمالات يمكن إثباتها بسهولة باستخدام بعض النظريات. نقترح عليك أولاً التعرف على القانون الأول.

تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية

لاحظ أن هناك عدة أنواع من التقارب:

• سلسلة من المتغيرات العشوائية تتقارب في الاحتمال.
• يكاد يكون من المستحيل.
• تقارب الجذر التربيعي.
• التقارب في التوزيع.

لذلك ، أثناء التنقل ، من الصعب جدًا فهم الجوهر. فيما يلي بعض التعريفات التي ستساعدك على فهم هذا الموضوع. بالنسبة للمبتدئين ، الرأي الأول. التسلسل يسمى تتقارب في الاحتمالات، إذا تم استيفاء الشرط التالي: n تميل إلى اللانهاية ، فإن الرقم الذي يميل إليه التسلسل يكون أكبر من الصفر وقريب من واحد.

دعنا ننتقل إلى النموذج التالي ، يكاد يكون مؤكدًا... يقال أن التسلسل يتقارب يكاد يكون مؤكدًاإلى متغير عشوائي حيث إن n تميل إلى اللانهاية ، و P تميل إلى قيمة قريبة من الوحدة.

النوع التالي هو تقارب RMS... عند استخدام SK-convergence ، يتم تقليل دراسة العمليات العشوائية المتجهة إلى دراسة عمليات التنسيق العشوائية الخاصة بهم.

يبقى النوع الأخير ، دعنا نحلله بإيجاز من أجل المضي قدمًا في حل المشكلات. التقارب في التوزيع له أيضًا اسم آخر - "ضعيف" ، أدناه سنشرح السبب. تقارب ضعيفهو تقارب وظائف التوزيع في جميع نقاط استمرارية دالة التوزيع المحددة.

بالتأكيد سنفي بوعدنا: التقارب الضعيف يختلف عن كل ما سبق في أن المتغير العشوائي غير محدد في مساحة الاحتمال. هذا ممكن لأن الشرط يتكون حصريًا باستخدام وظائف التوزيع.

قانون الأعداد الكبيرة

نظريات نظرية الاحتمالات ، مثل:

• عدم المساواة في Chebyshev.
• نظرية تشيبيشيف.
• نظرية تشيبيشيف المعممة.
• نظرية ماركوف.

إذا أخذنا في الاعتبار كل هذه النظريات ، فيمكن أن يستمر هذا السؤال لعدة عشرات من الصفحات. مهمتنا الرئيسية هي تطبيق نظرية الاحتمال في الممارسة. نقترح عليك القيام بذلك الآن والقيام به. لكن قبل ذلك ، ضع في اعتبارك بديهيات نظرية الاحتمالات ، سيكونون المساعدين الرئيسيين في حل المشكلات.

البديهيات

لقد التقينا بالفعل الأول عندما تحدثنا عن حدث مستحيل. لنتذكر: احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. قدمنا ​​مثالًا حيًا جدًا ولا يُنسى: لقد تساقطت الثلوج عند درجة حرارة هواء تبلغ ثلاثين درجة مئوية.

والثاني هو كما يلي: حدث موثوق به احتمالية تساوي واحدًا. سنعرض الآن كيفية كتابة هذا باستخدام لغة رياضية: P (B) = 1.

ثالثًا: قد يحدث أو لا يحدث حدث عشوائي ، لكن الاحتمال يختلف دائمًا من صفر إلى واحد. كلما كانت القيمة أقرب إلى واحد ، زادت الفرص ؛ إذا اقتربت القيمة من الصفر ، يكون الاحتمال صغيرًا جدًا. دعنا نكتبها بلغة رياضية: 0<Р(С)<1.

لننظر إلى البديهية الرابعة الأخيرة ، والتي تبدو كالتالي: احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالاتهما. نكتب بلغة رياضية: P (A + B) = P (A) + P (B).

إن بديهيات نظرية الاحتمال هي أبسط القواعد التي لن يصعب تذكرها. دعنا نحاول حل بعض المشاكل ، بالاعتماد على المعرفة المكتسبة بالفعل.

بطاقة اليانصيب

لنبدأ بإلقاء نظرة على أبسط مثال - اليانصيب. تخيل أنك اشتريت تذكرة يانصيب واحدة لحسن الحظ. ما هو احتمال أن تربح عشرين روبل على الأقل؟ في المجموع ، تشارك ألف تذكرة في السحب ، جائزة واحدة منها بخمسمائة روبل ، وعشرة لمائة روبل ، وخمسون مقابل عشرين روبل ، ومائة مقابل خمسة. تستند مشاكل الاحتمالية إلى إيجاد فرصة للحظ. الآن سنقوم بتحليل حل المهمة المعروضة أعلاه معًا.

إذا أشرنا إلى فوز بخمسمائة روبل بالحرف A ، فإن احتمال الحصول على A سيكون 0.001. كيف حصلنا عليها؟ تحتاج فقط إلى قسمة عدد التذاكر "المحظوظة" على العدد الإجمالي (في هذه الحالة: 1/1000).

B - ربح مائة روبل ، سيكون الاحتمال 0.01. الآن تصرفنا على نفس المبدأ كما في الإجراء السابق (10/1000)

С - المكاسب تساوي عشرين روبل. نوجد الاحتمال ، وهو يساوي 0.05.

لا تهمنا بقية التذاكر ، لأن صندوق جائزتها أقل من المبلغ المحدد في الشرط. لنطبق البديهية الرابعة: احتمال الفوز بعشرين روبل على الأقل هو P (A) + P (B) + P (C). يشير الحرف P إلى احتمال حدوث هذا الحدث ، وقد وجدناها بالفعل في الإجراءات السابقة. يبقى فقط لإضافة البيانات الضرورية ، في الإجابة نحصل على 0.061. سيكون هذا الرقم هو إجابة سؤال المهمة.

بطاقة سطح السفينة

يمكن أن تكون مشاكل نظرية الاحتمالية أكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال ، لنأخذ المهمة التالية. هنا مجموعة من ستة وثلاثين بطاقة. مهمتك هي رسم ورقتين متتاليتين دون خلط الكومة ، يجب أن تكون البطاقتان الأولى والثانية ارسالا ساحقا ، ولا يهم البدلة.

أولًا ، لنجد احتمال أن تكون البطاقة الأولى آسًا ، لذلك نقسم أربعة على ستة وثلاثين. وضعوها جانبا. نخرج البطاقة الثانية ، ستكون الآس باحتمال ثلاثة على خمسة وثلاثين. تعتمد احتمالية وقوع حدث ثان على البطاقة التي نرسمها أولاً ، ونتساءل عما إذا كانت بطاقة آس أم لا. ويترتب على هذا أن الحدث B يعتمد على الحدث A.

تتمثل الخطوة التالية في إيجاد احتمالية الحدوث المتزامن ، أي نضرب A و B. يتم العثور على ناتجهما على النحو التالي: يتم ضرب احتمال حدث واحد في الاحتمال الشرطي لحدث آخر ، والذي نحسبه ، بافتراض أن الأول حدث حدث ، أي مع البطاقة الأولى رسمنا الآس.

من أجل توضيح كل شيء ، سنعطي تسمية لعنصر مثل الأحداث. يتم حسابه على افتراض أن الحدث "أ" قد وقع. محسوبة على النحو التالي: P (B / A).

دعنا نواصل حل مشكلتنا: P (A * B) = P (A) * P (B / A) أو P (A * B) = P (B) * P (A / B). الاحتمال هو (4/36) * ((3/35) / (4/36). احسب بالتقريب لأقرب جزء من مائة لدينا: 0.11 * (0.09 / 0.11) = 0.11 * 0 ، 82 = 0.09 الاحتمال أننا سنرسم اثنين من الآس على التوالي يساوي تسعمائة. القيمة صغيرة جدًا ، مما يعني أن احتمال حدوث الحدث ضئيل للغاية.

رقم منسي

نقترح تحليل العديد من الخيارات الإضافية للمهام التي تدرسها نظرية الاحتمالات. لقد رأيت بالفعل أمثلة لحل بعضها في هذه المقالة ، فلنحاول حل المشكلة التالية: نسي الصبي الرقم الأخير من رقم هاتف صديقه ، ولكن نظرًا لأن المكالمة كانت مهمة جدًا ، فقد بدأ في الاتصال بكل شيء بدوره. نحتاج إلى حساب احتمال ألا يستدعي أكثر من ثلاث مرات. حل المشكلة هو الأبسط إذا كانت قواعد وقوانين وبديهيات نظرية الاحتمالات معروفة.

قبل النظر إلى الحل ، حاول حله بنفسك. نعلم أن الرقم الأخير يمكن أن يكون من صفر إلى تسعة ، أي أن هناك عشر قيم فقط. احتمال الحصول على المطلوب هو 1/10.

بعد ذلك ، نحتاج إلى النظر في خيارات أصل الحدث ، لنفترض أن الصبي قد خمّن بشكل صحيح وكتب على الفور الحدث المطلوب ، واحتمال حدوث مثل هذا الحدث هو 1/10. الخيار الثاني: المكالمة الأولى خاطئة ، والثانية على الهدف. دعنا نحسب احتمال حدوث مثل هذا الحدث: اضرب 9/10 في 1/9 ، وفي النهاية نحصل أيضًا على 1/10. الخيار الثالث: الاتصال الأول والثاني كانا في العنوان الخطأ ، فقط من الثالث وصل الصبي حيث يريد. نحسب احتمال حدوث مثل هذا الحدث: اضرب 9/10 في 8/9 وفي 1/8 ، نحصل على 1/10 نتيجة لذلك. لسنا مهتمين بالخيارات الأخرى حسب حالة المشكلة ، لذلك علينا جمع النتائج التي تم الحصول عليها ، في النهاية لدينا 3/10. الجواب: احتمال ألا يتصل الصبي بأكثر من ثلاث مرات هو 0.3.

عدد البطاقات

أمامك تسع بطاقات ، كل منها بها رقم من واحد إلى تسعة مكتوب ، والأرقام غير مكررة. تم وضعهم في صندوق وخلطهم جيدًا. تحتاج إلى حساب احتمال ذلك

• سيتم إسقاط رقم زوجي ؛
• رقمين.

قبل الشروع في الحل ، دعنا نشترط أن m هو عدد الحالات الناجحة ، و n هو العدد الإجمالي للخيارات. لنجد احتمال أن يكون الرقم زوجيًا. لن يكون من الصعب حساب وجود أربعة أعداد زوجية ، وهذا سيكون م لدينا ، ومجموع تسعة خيارات ممكنة ، أي م = 9. ثم يكون الاحتمال 0.44 أو 4/9.

تأمل الحالة الثانية: عدد الخيارات تسعة ، لكن لا يمكن أن تكون هناك نتائج ناجحة على الإطلاق ، أي أن م يساوي صفرًا. احتمال احتواء البطاقة المسحوبة على رقم مكون من رقمين هو صفر أيضًا.

نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس قوانين الظواهر العشوائية: الأحداث العشوائية والمتغيرات العشوائية وخصائصها وعملياتها.

لفترة طويلة ، لم يكن لنظرية الاحتمال تعريف واضح. تمت صياغته فقط في عام 1929. يُعزى ظهور نظرية الاحتمالات كعلم إلى العصور الوسطى والمحاولات الأولى للتحليل الرياضي للمقامرة (العملات المعدنية ، النرد ، الروليت). اكتشف علماء الرياضيات الفرنسيون في القرن السابع عشر بليز باسكال وبيير فيرمات ، أثناء التحقيق في التنبؤ بالمكاسب في المقامرة ، أول قوانين الاحتمالات الناشئة عن رمي النرد.

نشأت نظرية الاحتمالات كعلم من الاعتقاد بأن أنماطًا معينة تكمن في قلب الأحداث الجماعية العشوائية. تدرس نظرية الاحتمالات هذه الأنماط.

تتعامل نظرية الاحتمالات مع دراسة الأحداث التي لا يعرف حدوثها على وجه اليقين. يسمح لك بالحكم على درجة احتمالية وقوع بعض الأحداث بالمقارنة مع غيرها.

على سبيل المثال: من المستحيل أن نحدد بشكل لا لبس فيه نتيجة الحصول على "صورة" أو "ذيول" نتيجة رمي عملة معدنية ، ولكن مع القذف المتكرر ، يسقط نفس العدد تقريبًا من "الرؤوس" و "الذيول" ، مما يعني أن احتمال الحصول على "صورة" أو "ذيول" "يساوي 50٪.

اختبارفي هذه الحالة ، يسمى تنفيذ مجموعة معينة من الشروط ، أي في هذه الحالة ، رمي عملة معدنية. يمكن لعب التحدي لعدد غير محدود من المرات. في هذه الحالة ، تشتمل مجموعة الشروط على عوامل عشوائية.

نتيجة الاختبار هي حدث... يحدث الحدث:

1. مصداقية (يحدث دائمًا كنتيجة للاختبار).
2. مستحيل (لا يحدث أبدا).
3. عرضي (قد يحدث أو لا يحدث نتيجة للاختبار).

على سبيل المثال ، عندما يتم رمي عملة معدنية ، يكون حدثًا مستحيلًا - ستكون العملة على الحافة ، حدث عشوائي - سقوط "رؤوس" أو "ذيول". يتم استدعاء نتيجة الاختبار المحددة حدث ابتدائي... نتيجة للاختبار ، تحدث الأحداث الأولية فقط. يُطلق على إجمالي جميع نتائج الاختبار الممكنة والمختلفة والمحددة فضاء الأحداث الابتدائية.

المفاهيم الأساسية للنظرية

احتمالا- درجة احتمالية أصل الحدث. عندما تفوق أسباب حدوث بعض الأحداث المحتملة فعليًا الأسباب المعاكسة ، يُطلق على الحدث اسم محتمل ، وإلا فهو غير محتمل أو غير محتمل.

قيمة عشوائيةهي قيمة يمكن أن تأخذ قيمة معينة ، نتيجة للاختبار ، ولا يُعرف مسبقًا أي منها. على سبيل المثال: رقم محطة الإطفاء في اليوم ، عدد الإصابات بـ 10 طلقات ، إلخ.

يمكن تقسيم المتغيرات العشوائية إلى فئتين.

1. المتغير العشوائي المنفصلهي كمية يمكن ، كنتيجة للاختبار ، أن تأخذ قيمًا معينة باحتمالية معينة ، وتشكل مجموعة قابلة للعد (مجموعة ، يمكن ترقيم عناصرها). يمكن أن تكون هذه المجموعة محدودة وغير محدودة. على سبيل المثال ، عدد الطلقات قبل الضربة الأولى على الهدف هو متغير عشوائي منفصل ، منذ ذلك الحين يمكن أن تأخذ هذه القيمة عددًا لا نهائيًا ، وإن كان عددًا من القيم القابلة للعد.
2. متغير عشوائي مستمرتسمى هذه الكمية التي يمكن أن تأخذ أي قيم من فاصل زمني محدد أو لانهائي. من الواضح أن عدد القيم الممكنة لمتغير عشوائي مستمر لا نهائي.

مساحة الاحتمال- مفهوم قدمه A.N. Kolmogorov في الثلاثينيات من القرن العشرين لإضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمال ، مما أدى إلى التطور السريع لنظرية الاحتمالات كنظام رياضي صارم.

مساحة الاحتمال ثلاثية (محاطة أحيانًا بأقواس زاوية: ، أين

هذه مجموعة عشوائية ، تسمى عناصرها الأحداث الأولية أو النتائج أو النقاط ؛
- سيجما الجبر لمجموعات فرعية تسمى الأحداث (العشوائية) ؛
- مقياس احتمالي أو احتمالية ، أي مقياس محدود مضافة سيجما مثل ذلك.

نظرية Moivre-Laplace- إحدى نظريات الحد في نظرية الاحتمالات ، التي وضعها لابلاس عام 1812. تجادل بأن عدد النجاحات مع التكرارات المتعددة لنفس التجربة العشوائية مع نتيجتين محتملتين له توزيع طبيعي تقريبًا. يسمح لك بإيجاد قيمة تقريبية للاحتمال.

إذا كان احتمال حدوث حدث عشوائي ، بالنسبة لكل اختبار من الاختبارات المستقلة ، يساوي () وكان عدد الاختبارات التي يحدث فيها بالفعل ، فإن احتمال عدم المساواة قريب (كبير) من القيمة تكامل لابلاس.

دالة التوزيع في نظرية الاحتمالات- دالة تميز توزيع متغير عشوائي أو متجه عشوائي ؛ احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من أو تساوي x ، حيث x هو رقم حقيقي عشوائي. إذا تم استيفاء شروط معينة ، فإنه يحدد المتغير العشوائي تمامًا.

القيمة المتوقعة- متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي (هذا هو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المدروس في نظرية الاحتمال). في الأدب الإنجليزي ، يُرمز إليه بالروسية -. في الإحصاء ، غالبًا ما يستخدم الترميز.

دع مساحة الاحتمال ومتغير عشوائي محدد عليها. وهذا يعني ، بحكم التعريف ، أنها وظيفة قابلة للقياس. ثم ، إذا كان هناك Lebesgue لا يتجزأ من الفضاء ، فإنه يسمى التوقع الرياضي ، أو القيمة المتوسطة ويتم الإشارة إليها.

تباين المتغير العشوائي- قياس انتشار متغير عشوائي معين ، أي انحرافه عن التوقع الرياضي. يشار إليه في الأدب الروسي والأدب الأجنبي. في الإحصاء ، يتم استخدام التسمية أو غالبًا. يسمى الجذر التربيعي للتباين الانحراف المعياري أو الانحراف المعياري أو الانحراف المعياري.

يجب أن يكون متغيرًا عشوائيًا محددًا في مساحة احتمالية معينة. ثم

حيث يشير الرمز إلى التوقع الرياضي.

في نظرية الاحتمالات ، يتم استدعاء حدثين عشوائيين لا يعتمدإذا كان حدوث أحدهما لا يغير من احتمال حدوث الآخر. وبالمثل ، يتم استدعاء متغيرين عشوائيين اعتماداإذا كانت قيمة أحدهما تؤثر على احتمال قيم الآخر.

أبسط شكل من أشكال قانون الأعداد الكبيرة هو نظرية برنولي ، التي تنص على أنه إذا كان احتمال حدث ما هو نفسه في جميع التجارب ، فعند زيادة عدد المحاكمات ، فإن تكرار الحدث يميل إلى احتمال حدوث الحدث ويتوقف عن أن يكون عشوائيًا.

ينص قانون الأعداد الكبيرة في نظرية الاحتمالات على أن المتوسط ​​الحسابي لعينة محدودة من توزيع ثابت قريب من المتوسط ​​النظري للتوقع الرياضي لهذا التوزيع. اعتمادًا على نوع التقارب ، يتم التمييز بين القانون الضعيف للأعداد الكبيرة ، عندما يكون هناك تقارب في الاحتمال ، والقانون القوي للأعداد الكبيرة ، عندما يكون التقارب شبه مؤكد.

المعنى العام لقانون الأعداد الكبيرة هو أن العمل المشترك لعدد كبير من العوامل العشوائية المتطابقة والمستقلة يؤدي إلى نتيجة لا تعتمد على الحالة في الحد.

تعتمد طرق تقدير الاحتمال بناءً على تحليل عينة محدودة على هذه الخاصية. مثال توضيحي هو التنبؤ بنتائج الانتخابات بناءً على استطلاع لعينة من الناخبين.

نظريات الحد المركزية- فئة النظريات في نظرية الاحتمال ، مؤكدة أن مجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية الضعيفة التي لها نفس المقاييس تقريبًا (لا يهيمن أي من المصطلحات ، ولا يقدم مساهمة محددة في المجموع) له توزيع قريب من الوضع الطبيعي.

نظرًا لأن العديد من المتغيرات العشوائية في التطبيقات تتشكل تحت تأثير العديد من العوامل العشوائية الضعيفة ، فإن توزيعها يعتبر طبيعيًا. في هذه الحالة ، يجب استيفاء شرط عدم سيطرة أي من العوامل. تبرر نظريات الحد المركزي في هذه الحالات تطبيق التوزيع الطبيعي.