كيف أجد مساحة الشكل؟

إن معرفة المجالات ذات الأشكال المختلفة والقدرة على حسابها أمر ضروري ليس فقط لحل المشكلات الهندسية البسيطة. لا يمكنك الاستغناء عن هذه المعرفة عند وضع التقديرات أو التحقق منها لإصلاح المباني ، وحساب كمية المواد الاستهلاكية الضرورية. فلنكتشف إذن كيفية إيجاد مساحات الأشكال المختلفة.

يسمى جزء الطائرة المحاط بكفاف مغلق مساحة هذا المستوى. يتم التعبير عن المساحة بعدد الوحدات المربعة المرفقة بها.

لحساب مساحة الأشكال الهندسية الأساسية ، يجب عليك استخدام الصيغة الصحيحة.

مساحة المثلث

عنوان تفسيري:

1. إذا كانت h ، a معروفة ، فسيتم تحديد مساحة المثلث المطلوب على أنه حاصل ضرب أطوال الضلع وارتفاع المثلث الذي انخفض إلى هذا الجانب ، مقسمًا إلى نصفين: S \u003d (a h) / 2
2. إذا كانت أ ، ب ، ج معروفة ، فسيتم حساب المساحة المطلوبة باستخدام صيغة هيرون: الجذر التربيعي المأخوذ من حاصل ضرب نصف محيط المثلث وثلاثة اختلافات في نصف المحيط وكل جانب من ضلع المثلث: S \u003d √ (p (p - a) (p - b) (p - c)).
3. إذا كانت a ، b ، معروفة ، فإن مساحة المثلث تحدد على أنها نصف حاصل ضرب ضلعين ، مضروبة في قيمة جيب الزاوية بين هذين الجانبين: S \u003d (ab sin γ) / 2
4. إذا كانت a ، b ، c ، R معروفة ، فسيتم تحديد المساحة المطلوبة على أنها قسمة حاصل ضرب أطوال جميع جوانب المثلث على نصف القطر الأربعة للدائرة المحصورة: S \u003d (a b c) / 4R
5. إذا كانت p و r معروفة ، فسيتم تحديد المساحة المطلوبة للمثلث بضرب نصف المحيط في نصف قطر الدائرة المنقوشة: S \u003d p r

منطقة مربعة

عنوان تفسيري:

1. إذا كان الضلع معروفًا ، فسيتم تحديد مساحة هذا الشكل كمربع طول جانبه: S \u003d a 2
2. إذا كانت d معروفة ، فسيتم تحديد مساحة المربع بنصف مربع طول قطره: S \u003d d 2/2

منطقة المستطيل

عنوان تفسيري:

• S - منطقة محددة ،
• أ ، ب - أطوال جانبي المستطيل.

1. إذا كانت a ، b معروفة ، فإن مساحة هذا المستطيل تتحدد بحاصل ضرب أطوال ضلعيه: S \u003d a b
2. إذا كانت أطوال الأضلاع غير معروفة ، فيجب تقسيم مساحة المستطيل إلى مثلثات. في هذه الحالة ، يتم تعريف مساحة المستطيل على أنها مجموع مساحات المثلثات المكونة له.

منطقة متوازي الأضلاع

عنوان تفسيري:

• S هي المنطقة المطلوبة ،
• أ ، ب - أطوال الأضلاع ،
• h هو طول ارتفاع متوازي الأضلاع هذا ،
• d1 ، d2 - أطوال قطرين ،
• α هي الزاوية بين الجانبين ،
• γ هي الزاوية بين الأقطار.

1. إذا كانت a ، h معروفة ، فسيتم تحديد المساحة المطلوبة بضرب أطوال الجانب والارتفاع المنخفض إلى هذا الجانب: S \u003d a h
2. إذا كانت a ، b ، α معروفة ، فسيتم تحديد مساحة متوازي الأضلاع بضرب أطوال جانبي متوازي الأضلاع وقيمة جيب الزاوية بين هذين الجانبين: S \u003d a b sin α
3. إذا كانت d 1 ، d 2 ، معروفة ، فإن مساحة متوازي الأضلاع تحدد على أنها نصف حاصل ضرب أطوال الأقطار وقيمة جيب الزاوية بين هذه الأقطار: S \u003d (d 1 د 2 sin) / 2

منطقة المعين

عنوان تفسيري:

• S هي المنطقة المطلوبة ،
• أ - طول الجانب ،
• ح - طول الارتفاع ،
• α - زاوية أصغر بين الجانبين ،
• d1 ، d2 - أطوال القطرين.

1. إذا كانت a ، h معروفة ، فسيتم تحديد مساحة المعين بضرب طول الضلع في طول الارتفاع الذي يتم إنزاله في هذا الجانب: S \u003d a h
2. إذا كانت a ، α معروفة ، فسيتم تحديد مساحة المعين بضرب مربع طول الضلع بجيب الزاوية بين الجانبين: S \u003d a 2 sin α
3. إذا كانت d 1 و d 2 معروفتين ، فسيتم تحديد المساحة المطلوبة على أنها نصف ناتج أطوال قطري المعين: S \u003d (d 1 d 2) / 2

منطقة شبه منحرف

عنوان تفسيري:

1. إذا كانت أ ، ب ، ج ، د معروفة ، فسيتم تحديد المنطقة المطلوبة بالصيغة: S \u003d (أ + ب) / 2 * √.
2. مع معرفة أ ، ب ، ح ، يتم تحديد المساحة المطلوبة على أنها ناتج نصف مجموع القواعد وارتفاع شبه المنحرف: S \u003d (أ + ب) / 2 ساعة

منطقة رباعية محدبة

عنوان تفسيري:

1. إذا كانت d 1 ، d 2 ، α معروفة ، فإن مساحة الشكل الرباعي المحدب يتم تحديدها على أنها نصف ناتج أقطار الشكل الرباعي مضروبًا في قيمة جيب الزاوية بين هذه الأقطار: S \u003d ( د 1 د 2 سين α) / 2
2. بالنسبة لـ p ، r ، تُعرَّف مساحة الشكل الرباعي المحدب على أنها حاصل ضرب نصف قطر الشكل الرباعي بنصف قطر دائرة منقوشة في هذا الرباعي: S \u003d p r
3. إذا كانت أ ، ب ، ج ، د ، معروفة ، فإن مساحة الشكل الرباعي المحدب تُحدد على أنها الجذر التربيعي لحاصل ضرب الفرق بين نصف المحيط وطول كل ضلع ناقص حاصل ضرب أطوال جميع الجوانب ومربع جيب التمام نصف مجموع زاويتين متقابلتين: S 2 \u003d (p - a) (p - b) (p - c) (p - d) - abcd cos 2 ((α + β) / 2)

مساحة الدائرة

عنوان تفسيري:

إذا كانت r معروفة ، يتم تحديد المنطقة المطلوبة على أنها منتج π من خلال مربع نصف القطر: S \u003d π r 2

إذا كانت d معروفة ، فسيتم تحديد مساحة الدائرة على أنها حاصل ضرب الرقم π على مربع القطر ، مقسومًا على أربعة: S \u003d (π d 2) / 4

منطقة الشكل المعقدة

يمكن تقسيم المعقد إلى أشكال هندسية بسيطة. يتم تعريف مساحة الشكل المعقد على أنها مجموع أو اختلاف المناطق المكونة. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، الخاتم.

تعيين:

• S هي منطقة الحلبة ،
• R ، r هما نصف قطر الدوائر الخارجية والداخلية ، على التوالي ،
• D ، d - أقطار الدوائر الخارجية والداخلية ، على التوالي.

لإيجاد مساحة الحلقة ، تحتاج إلى طرح المنطقة من مساحة الدائرة الأكبر دائرة أصغر. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2 -r 2 \u003d π (R 2 -r 2).

وبالتالي ، إذا كانت R و r معروفتين ، فسيتم تحديد مساحة الحلقة على أنها الفرق بين مربعات نصف قطر الدوائر الخارجية والداخلية ، مضروبًا في الرقم pi: S \u003d π (R 2 -r 2 ).

إذا كان D و d معروفين ، فسيتم تحديد مساحة الحلقة بربع الفرق بين مربعي أقطار الدوائر الخارجية والداخلية ، مضروبًا في الرقم pi: S \u003d (1/4) ( د 2 - د 2) π.

منطقة الشكل المظلل

افترض أنه بداخل مربع واحد (أ) يوجد مربع آخر (ب) (أصغر) ، وعلينا إيجاد التجويف المملوء بين الشكلين "أ" و "ب". دعنا نقول فقط ، "إطار" مربع صغير. من أجل هذا:

1. أوجد مساحة الشكل "أ" (محسوبة بصيغة إيجاد مساحة المربع).
2. وبالمثل نجد مساحة الشكل "ب".
3. اطرح المنطقة "ب" من المنطقة "أ". وبذلك نحصل على مساحة الشكل المعبأ.

الآن أنت تعرف كيفية العثور على مناطق الأشكال المختلفة.

لحل المشاكل في الهندسة ، تحتاج إلى معرفة الصيغ - مثل مساحة المثلث أو مساحة متوازي الأضلاع - بالإضافة إلى الحيل البسيطة التي سنتحدث عنها.

أولاً ، دعنا نتعلم الصيغ الخاصة بمناطق الأشكال. لقد جمعناها خصيصًا في طاولة مريحة. اطبع وتعلم وتقدم!

بالطبع ، ليست كل الصيغ الهندسية في طاولتنا. على سبيل المثال ، لحل المشكلات في الهندسة والقياس الفراغي في الجزء الثاني من ملف التعريف USE في الرياضيات ، تُستخدم أيضًا الصيغ الأخرى لمنطقة المثلث. سنخبرك بالتأكيد عنهم.

ولكن ماذا لو كنت بحاجة إلى العثور ليس على مساحة شبه منحرف أو مثلث ، ولكن مساحة شكل معقد؟ هناك طرق عالمية! دعنا نظهر لهم أمثلة من بنك الوظائف FIPI.

1. كيف تجد مساحة الشكل غير القياسي؟ على سبيل المثال ، رباعي تعسفي؟ الحيلة البسيطة هي تقسيم هذا الرقم إلى تلك التي نعرفها جميعًا ، وإيجاد مساحتها - كمجموع مناطق هذه الأرقام.

قسّم هذا الشكل الرباعي ذي الخط الأفقي إلى مثلثين بأساس مشترك يساوي. ارتفاعات هذه المثلثات و. ثم مساحة الشكل الرباعي تساوي مجموع مساحات مثلثين :.

إجابه:.

2. في بعض الحالات ، يمكن تمثيل مساحة الشكل على أنها الفرق بين بعض المناطق.

ليس من السهل حساب ما تساوي القاعدة والارتفاع في هذا المثلث! لكن يمكننا القول إن مساحته تساوي الفرق بين مساحة مربع به ضلع وثلاثة مثلثات قائمة الزاوية. هل تراهم في الصورة؟ نحن نحصل:.

إجابه:.

3. في بعض الأحيان يكون من الضروري في المهمة العثور على المنطقة ليس من الشكل بأكمله ، ولكن من جانبه. عادة ما نتحدث عن مساحة قطاع - جزء من دائرة. أوجد مساحة قطاع دائرة نصف قطرها طول قوسها .

في هذه الصورة نرى جزءًا من دائرة. مساحة الدائرة بأكملها متساوية منذ ذلك الحين. يبقى أن نرى أي جزء من الدائرة يصور. بما أن طول الدائرة بأكملها (منذ ذلك الحين) ، وطول القوس لهذا القطاع وبالتالي ، فإن طول القوس أقل مرة واحدة من طول الدائرة بأكملها. الزاوية التي يرتكز عليها هذا القوس هي أيضًا أقل بمقدار ضعف واحد من الدائرة الكاملة (أي بالدرجات). هذا يعني أن مساحة القطاع ستكون مرة واحدة أقل من مساحة الدائرة بأكملها.

هناك عدد لا حصر له من الأشكال المسطحة لأكثر الأشكال المختلفة ، الصحيحة وغير المنتظمة. خاصية مشتركة لجميع الشخصيات هي أن أي منهم لديه مساحة. مناطق الأشكال هي أبعاد جزء المستوى الذي تشغله تلك الأشكال ، معبرًا عنها بوحدات محددة. يتم التعبير عن هذه القيمة دائمًا كرقم موجب. وحدة القياس هي مساحة المربع ، التي يساوي جانبها وحدة طول (على سبيل المثال ، متر واحد أو سنتيمتر واحد). يمكن حساب القيمة التقريبية لمساحة أي شكل بضرب عدد مربعات الوحدة التي يقسم عليها مساحة المربع الواحد.

التعريفات الأخرى لهذا المفهوم هي كما يلي:

1. مناطق الأرقام البسيطة عبارة عن كميات موجبة قياسية تستوفي الشروط:

الأرقام المتساوية لها مناطق متساوية ؛

إذا تم تقسيم الشكل إلى أجزاء (أشكال بسيطة) ، فإن مساحته هي مجموع مناطق هذه الأشكال ؛

يعمل المربع مع جانب من وحدة القياس كوحدة مساحة.

2- مناطق الأشكال المعقدة (المضلعات) هي كميات موجبة لها الخصائص التالية:

المضلعات المتساوية لها نفس المنطقة ؛

إذا كان المضلع مكونًا من عدة مضلعات أخرى ، فإن مساحته تساوي مجموع مساحات الأخير. هذه القاعدة صحيحة بالنسبة للمضلعات غير المتداخلة.

كبديهية ، من المقبول أن مناطق الأشكال (المضلعات) هي قيم موجبة.

يُعطى تعريف مساحة الدائرة بشكل منفصل على أنها القيمة التي تميل إليها مساحة دائرة معينة مسجلة في دائرة - على الرغم من حقيقة أن عدد أضلاعها يميل إلى اللانهاية.

لم يتم تحديد مساحات الأشكال غير المنتظمة (الأشكال التعسفية) ، يتم تحديد طرق حسابها فقط.

كان حساب المناطق بالفعل في العصور القديمة مهمة عملية مهمة في تحديد حجم قطع الأراضي. صاغ العلماء اليونانيون قواعد حساب المناطق لعدة مئات من السنين وقدموا في عناصر إقليدس كنظريات. من المثير للاهتمام أن قواعد تحديد مناطق الأشكال البسيطة فيها هي نفسها كما في الوقت الحاضر. تم حساب المساحات ذات الكفاف المنحني باستخدام الممر إلى الحد الأقصى.

حساب مناطق المستطيل البسيط ، المربع) ، المألوف للجميع من المدرسة ، بسيط للغاية. ليس من الضروري حتى حفظ الصيغ لمناطق الأشكال التي تحتوي على تسميات الحروف. يكفي تذكر بعض القواعد البسيطة:

2. تُحسب مساحة المستطيل بضرب طوله في عرضه. في هذه الحالة ، من الضروري أن يتم التعبير عن الطول والعرض في نفس وحدات القياس.

3. يتم حساب مساحة الشكل المعقد بتقسيمه إلى عدة مساحات بسيطة وإضافة المساحات الناتجة.

4. يقسم قطر المستطيل إلى مثلثين مساحتهما تساوي نصف مساحته.

5. تُحسب مساحة المثلث بنصف حاصل ضرب ارتفاعه وقاعدته.

6. مساحة الدائرة تساوي حاصل ضرب مربع نصف القطر بالرقم المعروف "π".

7. تُحسب مساحة متوازي الأضلاع على أنها حاصل ضرب الأضلاع المتجاورة وجيب الزاوية الواقعة بينهما.

8. مساحة المعين هي نتيجة ضرب الأقطار بجيب الزاوية الداخلية.

9. يتم حساب مساحة شبه المنحرف بضرب ارتفاعه في طول خط الوسط ، والذي يساوي المتوسط \u200b\u200bالحسابي للقواعد. هناك خيار آخر لتحديد مساحة شبه منحرف وهو مضاعفة أقطارها وجيب الزاوية الواقعة بينهما.

من أجل الوضوح ، غالبًا ما يتم تكليف الأطفال في المدرسة الابتدائية بمهام: العثور على مساحة الشكل المرسوم على الورق باستخدام لوحة أو ورقة شفافة ، مقطعة إلى خلايا. يتم تثبيت هذه الورقة على الشكل المقاس ، ويتم حساب عدد الخلايا الكاملة (وحدات المساحة) التي تناسب محيطها ، ثم عدد الخلايا غير المكتملة ، والتي يتم تقليلها إلى النصف.

تعود معرفة كيفية قياس الأرض إلى العصور القديمة وتطورت تدريجيًا إلى علم الهندسة. تمت ترجمة هذه الكلمة من اللغة اليونانية - "المسح".

قياس طول وعرض المنطقة المسطحة من الأرض هو المنطقة. في الرياضيات ، يُشار إليه عادةً بالحرف اللاتيني S (من "المربع" الإنجليزي - "المنطقة" ، "المربع") أو الحرف اليوناني σ (سيغما). تشير S إلى مساحة الشكل على مستوى أو مساحة سطح الجسم ، و هي مساحة المقطع العرضي لسلك في الفيزياء. هذه هي الرموز الرئيسية ، على الرغم من أنه قد يكون هناك رموز أخرى ، على سبيل المثال ، في مجال قوة المواد ، A هي منطقة المقطع العرضي للملف الشخصي.

في تواصل مع

صيغ الحساب

من خلال معرفة مناطق الأشكال البسيطة ، يمكنك العثور على معلمات أكثر تعقيدًا... طور علماء الرياضيات القدماء صيغًا يمكن من خلالها حسابها بسهولة. هذه الأشكال هي مثلث ، رباعي ، مضلع ، دائرة.

للعثور على مساحة الشكل المستوي المعقد ، يتم تقسيمها إلى العديد من الأشكال البسيطة مثل المثلثات أو شبه المنحرف أو المستطيلات. ثم ، بالطرق الرياضية ، يتم اشتقاق صيغة لمساحة هذا الشكل. يتم استخدام طريقة مماثلة ليس فقط في الهندسة ، ولكن أيضًا في التحليل الرياضي لحساب مناطق الأشكال التي تحدها المنحنيات.

مثلث

لنبدأ بأبسط شكل - مثلث. فهي مستطيلة ومتساوية الساقين ومتساوية الأضلاع. خذ أي مثلث ABC مع أضلاعه AB \u003d a و BC \u003d b و AC \u003d c (∆ ABC). للعثور على مساحتها ، دعونا نتذكر نظريات الجيب وجيب التمام المعروفة من دورة الرياضيات المدرسية. بعد إصدار جميع العمليات الحسابية ، نصل إلى الصيغ التالية:

• S \u003d √ هي صيغة مالك الحزين المعروفة ، حيث p \u003d (a + b + c) / 2 هي نصف محيط المثلث ؛
• S \u003d a h / 2 ، حيث h هو الارتفاع المنخفض إلى الجانب a ؛
• S \u003d a b (sin γ) / 2 ، حيث γ هي الزاوية بين الجانبين a و b ؛
• S \u003d a b / 2 ، إذا كانت ABC مستطيلة (هنا a و b أرجل) ؛
• S \u003d b² (sin (2 β)) / 2 ، إذا كانت ABC متساوية الساقين (هنا b أحد "الوركين" ، β هي الزاوية بين "الوركين" في المثلث) ؛
• S \u003d a² √¾ إذا كانت ∆ ABC متساوية الأضلاع (هنا أ هو ضلع المثلث).

رباعي

يجب أن يكون هناك شكل رباعي ABCD مع AB \u003d a ، BC \u003d b ، CD \u003d c ، AD \u003d d. للعثور على المنطقة S لـ 4-gon تعسفيًا ، تحتاج إلى تقسيمها على القطر إلى مثلثين ، حيث لا تتساوى منطقتي S1 و S2 بشكل عام.

ثم ، باستخدام الصيغ ، احسبها وأضفها ، أي S \u003d S1 + S2. ومع ذلك ، إذا كان 4-gon ينتمي إلى فئة معينة ، فيمكن العثور على منطقته باستخدام الصيغ المعروفة سابقًا:

• S \u003d (a + c) h / 2 \u003d eh ، إذا كان 4-gon شبه منحرف (هنا a و c هما القاعدتان ، e هو الخط الأوسط شبه المنحرف ، h هو الارتفاع المنخفض إلى إحدى قواعد شبه منحرف
• S \u003d a h \u003d a b sin φ \u003d d1 d2 (sin φ) / 2 ، إذا كان ABCD متوازي أضلاع (هنا φ هي الزاوية بين الجانبين a و b ، h هو الارتفاع الذي تم إسقاطه إلى الجانب a ، و d1 و d2 قطريان) ؛
• S \u003d a b \u003d d² / 2 ، إذا كان ABCD مستطيلًا (d قطري) ؛
• S \u003d a² sin φ \u003d P² (sin) / 16 \u003d d1 d2 / 2 ، إذا كان ABCD معينًا (a جانب المعين ، φ أحد أركانه ، P هو المحيط) ؛
• S \u003d a² \u003d P² / 16 \u003d d² / 2 إذا كان ABCD مربعًا.

مضلع

لإيجاد مساحة n-gon ، قسمها علماء الرياضيات إلى أبسط أشكال متساوية ، مثلثات ، أوجد مساحة كل منها ، ثم أضفها. ولكن إذا كان المضلع ينتمي إلى فئة المضلعات العادية ، فاستخدم الصيغة:

S \u003d anh / 2 \u003d a² n / \u003d P² / ، حيث n هو عدد الرؤوس (أو الأضلاع) للمضلع ، و a هو ضلع n-gon ، و P هو محيطه ، و h هو الحرف ، أي ، مقطع مرسوم من مركز المضلع إلى أحد جوانبه بزاوية 90 درجة.

دائرة

الدائرة عبارة عن مضلع مثالي مع عدد لا نهائي من الأضلاع.... نحتاج إلى حساب حد التعبير الموجود على اليمين في صيغة مساحة المضلع عندما يتجه عدد الأضلاع n إلى اللانهاية. في هذه الحالة ، سيتحول محيط المضلع إلى طول دائرة نصف قطرها R ، والتي ستكون حدود دائرتنا ، وستصبح مساوية لـ P \u003d 2 π R. عوض بهذا التعبير في الصيغة أعلاه. سوف نحصل على:

S \u003d (π² R² cos (180 ° / n)) / (n sin (180 ° / n)).

لنجد نهاية هذا التعبير كـ n → ∞. للقيام بذلك ، ضع في الاعتبار أن lim (cos (180 ° / n)) مثل n → ∞ تساوي cos 0 ° \u003d 1 (lim هي علامة النهاية) ، و lim \u003d lim مثل n → ∞ تساوي 1 / π (قمنا بترجمة مقياس الدرجة إلى راديان ، باستخدام النسبة π rad \u003d 180 ° ، وقمنا بتطبيق الحد الملحوظ الأول lim (sin x) / x \u003d 1 كـ x → ∞). باستبدال القيم التي تم الحصول عليها في التعبير الأخير لـ S ، نصل إلى الصيغة المعروفة:

S \u003d π² R² 1 (1 / π) \u003d π R².

الوحدات

يتم استخدام وحدات النظام وغير النظام... تشير وحدات النظام إلى SI (النظام الدولي). هو متر مربع (متر مربع ، م²) والوحدات المشتقة منه: مم² ، سم² ، كم².

بالمليمترات المربعة (mm²) ، على سبيل المثال ، يقيسون مساحة المقطع العرضي للأسلاك في الهندسة الكهربائية ، بالسنتيمتر المربع (سم 2) - المقاطع العرضية للحزمة في الميكانيكا الإنشائية ، بالمتر المربع (م 2) - الشقق أو منازل ، بالكيلومتر المربع (كيلومتر مربع) - مناطق جغرافية ...

ومع ذلك ، في بعض الأحيان يتم استخدام وحدات القياس غير النظامية أيضًا ، مثل: النسيج ، ar (a) ، الهكتار (هكتار) والفدان (ac). فيما يلي العلاقات التالية:

• مائة متر مربع \u003d 1 أ \u003d 100 متر مربع \u003d 0.01 هكتار ؛
• 1 هكتار \u003d 100 أ \u003d 100 آريس \u003d 10000 متر مربع \u003d 0.01 كيلومتر مربع \u003d 2.471 متر مكعب ؛
• 1 أس \u003d 4046.856 م 2 \u003d 40.47 أ \u003d 40.47 آريس \u003d 0.405 هكتار.

واضح لا يتجزأ. كيفية حساب مساحة الشكل

ننتقل إلى دراسة تطبيقات حساب التفاضل والتكامل. سنقوم في هذا الدرس بتحليل المهمة النموذجية والأكثر شيوعًا. - كيفية حساب مساحة الشكل المسطح باستخدام تكامل محدد... أخيرًا ، أولئك الذين يبحثون عن معنى في الرياضيات العليا - ربما يجدونها. أنت لا تعرف أبدا. سيتعين علينا تقريب منطقة الضواحي في الحياة باستخدام الدوال الأولية وإيجاد مساحتها باستخدام تكامل محدد.

لإتقان المادة بنجاح ، يجب عليك:

1) فهم التكامل غير المحدد على الأقل في المستوى المتوسط. وبالتالي ، يجب أن يتعرف الدمى أولاً على الدرس لا.

2) أن تكون قادرًا على تطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز وحساب تكامل محدد. يمكنك بناء صداقات دافئة مع تكاملات محددة على الصفحة واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلول.

في الواقع ، من أجل العثور على مساحة الشكل ، لا يحتاج المرء إلى الكثير من المعرفة بالتكامل غير المحدود والمؤكد. تتضمن مهمة "حساب المساحة باستخدام تكامل محدد" دائمًا بناء رسملذلك ، ستكون معرفتك ومهاراتك في الرسم مسألة أكثر إلحاحًا. في هذا الصدد ، من المفيد تحديث ذاكرة الرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية ، وعلى الأقل ، لتكون قادرًا على بناء خط مستقيم ، وقطع مكافئ ، وقطع زائد. يمكن القيام بذلك (كثير من الناس في حاجة إليه) بمساعدة المواد المنهجية ومقال عن التحولات الهندسية للرسوم البيانية.

في الواقع ، الجميع على دراية بمشكلة العثور على المنطقة باستخدام جزء متكامل محدد منذ المدرسة ، ولن نتقدم كثيرًا في المناهج الدراسية. قد لا توجد هذه المقالة على الإطلاق ، ولكن الحقيقة هي أن المشكلة تحدث في 99 حالة من أصل 100 ، عندما يعاني الطالب من البرج المكروه بحماس لإتقان مقرر الرياضيات العليا.

يتم تقديم مواد هذه الورشة ببساطة ، بالتفصيل وبأقل قدر من النظرية.

لنبدأ مع شبه منحني منحني.

منحني شبه منحرف يسمى الشكل المسطح الذي يحده محور وخطوط مستقيمة ورسم بياني لوظيفة مستمرة على مقطع لا يغير العلامة على هذا الفاصل. دع هذا الرقم يقع ليس أقل محور الحد الأقصى:

ثم مساحة شبه منحني منحني الخطوط تساوي عدديًا التكامل المحدد... أي تكامل محدد (موجود) له معنى هندسي جيد جدًا. في الدرس واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلول قلت أن التكامل المحدد هو الرقم. والآن حان الوقت لذكر حقيقة أخرى مفيدة. من وجهة نظر الهندسة ، التكامل المحدد هو المنطقة.

بمعنى آخر، تكامل محدد (إن وجد) يتوافق هندسيًا مع مساحة شكل ما... على سبيل المثال ، فكر في تكامل محدد. يُحدد التكامل منحنى على المستوى الذي يقع فوق المحور (أولئك الذين يرغبون في عمل رسم) ، والتكامل المحدد نفسه يساوي عدديًا مساحة شبه المنحني المقابل.

مثال 1

هذه صيغة نموذجية للمهمة. أول وأهم نقطة في الحل هي بناء الرسم... علاوة على ذلك ، يجب بناء الرسم بشكل صحيح.

عند إنشاء رسم ، أوصي بالترتيب التالي: أول من الأفضل بناء كل الخطوط المستقيمة (إن وجدت) وفقط في وقت لاحق - القطع المكافئ ، القطوع الزائدة ، الرسوم البيانية للوظائف الأخرى. من الأكثر ربحية إنشاء الرسوم البيانية للوظائف بإتجاه، يمكن العثور على تقنية البناء نقطة بنقطة في المادة المرجعية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية... هناك يمكنك أيضًا العثور على مادة مفيدة جدًا فيما يتعلق بالدرس - كيفية بناء القطع المكافئ بسرعة.

في هذه المشكلة ، قد يبدو الحل هكذا.
لنرسم رسماً (لاحظ أن المعادلة تحدد المحور):

لن أفقس شبه منحني منحني ، هنا من الواضح ما هي المنطقة التي نتحدث عنها. يستمر الحل على هذا النحو:

على المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور، وبالتالي:

إجابه:

من لديه صعوبة في حساب تكامل محدد وتطبيق صيغة نيوتن-لايبنيز راجع المحاضرة واضح لا يتجزأ. أمثلة على الحلول.

بعد اكتمال المهمة ، من المفيد دائمًا إلقاء نظرة على المخطط وتقدير ما إذا كانت الإجابة حقيقية. في هذه الحالة ، "بالعين" نحسب عدد الخلايا في الرسم - حسنًا ، ستتم كتابة حوالي 9 خلايا ، تبدو وكأنها الحقيقة. من الواضح تمامًا أنه إذا حصلنا على الإجابة: 20 وحدة مربعة ، فمن الواضح أنه تم ارتكاب خطأ في مكان ما - من الواضح أن الرقم قيد النظر لا يتناسب مع 20 خلية ، على الأكثر عشرة. إذا كانت الإجابة بالنفي ، فهذا يعني أن المهمة قد تم حلها بشكل غير صحيح أيضًا.

مثال 2

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط والمحور

هذا مثال لحل افعل ذلك بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي.

ماذا تفعل إذا كان شبه المنحني موجودًا تحت المحور؟

مثال 3

احسب مساحة الشكل المحددة بخطوط وقم بتنسيق المحاور.

قرار: لننفذ الرسم:

إذا كان شبه منحني يقع تحت المحور (أو على الأقل ليس أعلى محور معين) ، فيمكن العثور على مساحته بالصيغة:
في هذه الحالة:

انتباه! لا ينبغي الخلط بين نوعي المهام:

1) إذا طُلب منك حل تكامل محدد فقط دون أي معنى هندسي ، فيمكن أن يكون سالبًا.

2) إذا طُلب منك إيجاد مساحة الشكل باستخدام تكامل محدد ، فإن المنطقة تكون دائمًا موجبة! هذا هو السبب في ظهور علامة ناقص في الصيغة التي تم النظر فيها للتو.

من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون الشكل موجودًا في كل من المستويات النصفية العلوية والسفلية ، وبالتالي ، من أبسط مشاكل المدرسة ، ننتقل إلى أمثلة أكثر وضوحًا.

مثال 4

أوجد مساحة الشكل المسطح الذي يحده خطوط.

قرار: تحتاج أولاً إلى إكمال الرسم. بشكل عام ، عند إنشاء رسم في المشاكل في منطقة ما ، فإننا نهتم أكثر بنقاط تقاطع الخطوط. أوجد نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط. ويمكن أن يتم ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى تحليلية. نحل المعادلة:

ومن ثم ، فإن الحد الأدنى للتكامل هو الحد الأعلى للتكامل.
من الأفضل عدم استخدام هذه الطريقة إن أمكن..

إن بناء الخطوط نقطة بنقطة أكثر ربحية وأسرع بكثير ، بينما تصبح حدود التكامل واضحة ، كما كانت ، "من تلقاء نفسها". تتم مناقشة تقنية الرسم التفصيلي للمخططات المختلفة بالتفصيل في المساعدة. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية ... ومع ذلك ، لا يزال يتعين استخدام الطريقة التحليلية لإيجاد الحدود في بعض الأحيان ، على سبيل المثال ، إذا كان الرسم البياني كبيرًا بما يكفي ، أو لم يكشف البناء الدقيق عن حدود التكامل (يمكن أن تكون كسرية أو غير منطقية). وسننظر أيضًا في مثل هذا المثال.

نعود إلى مشكلتنا: من المنطقي أن نبني أولاً خطًا مستقيمًا وبعد ذلك فقط قطع مكافئ. لننفذ الرسم:

أكرر أنه في حالة البناء النقطي ، غالبًا ما يتم تحديد حدود التكامل بواسطة "إنسان آلي".

والآن صيغة العمل: إذا كان على مقطع ما بعض الوظائف المستمرة أكبر من أو يساوي لبعض الوظائف المستمرة ، ثم مساحة الشكل ، التي تحدها الرسوم البيانية لهذه الوظائف والخطوط المستقيمة ، يمكن العثور عليها بالصيغة:

هنا لم تعد بحاجة إلى التفكير في مكان وجود الشكل - فوق المحور أو أسفل المحور ، وبشكل تقريبي ، من المهم تحديد الجدول الزمني أعلاه(نسبة إلى رسم بياني آخر) ، وأي واحد أدناه.

في المثال قيد النظر ، من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق الخط المستقيم ، وبالتالي من الضروري طرحه من

قد يبدو اكتمال الحل كما يلي:

الشكل المطلوب يحده قطع مكافئ في الأعلى وخط مستقيم في الأسفل.
في المقطع ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

في الواقع ، الصيغة المدرسية لمنطقة شبه منحرف منحني الخطوط في نصف المستوى السفلي (انظر المثال البسيط رقم 3) هي حالة خاصة للصيغة ... نظرًا لأن المحور معطى بالمعادلة ، ويقع الرسم البياني للوظيفة ليس أعلى المحور إذن

والآن بعض الأمثلة لحل مستقل

مثال 5

مثال 6

أوجد مساحة الشكل المحدد بخطوط.

أثناء حل المشكلات لحساب المساحة باستخدام تكامل محدد ، يحدث أحيانًا حادث مضحك. تم الرسم بشكل صحيح ، والحسابات صحيحة ، ولكن بسبب عدم الانتباه ... تم العثور على منطقة الرقم الخطأ، هكذا أخطأ خادمك المتواضع عدة مرات. هذه حالة واقعية:

مثال 7

احسب مساحة الشكل المحدد بخطوط ،،،.

قرار: أولاً لننفذ الرسم:

... إيه ، ظهر رسم رديء ، لكن يبدو أن كل شيء مقروء.

الشكل الذي نريد إيجاد مساحته مظلل باللون الأزرق (انظر بعناية إلى الحالة - ما هو الشكل المحدد!). ولكن من الناحية العملية ، بسبب عدم الانتباه ، غالبًا ما ينشأ "خلل" ، حيث تحتاج إلى العثور على منطقة الشكل المظللة باللون الأخضر!

هذا المثال مفيد أيضًا لأنه يحسب مساحة الشكل باستخدام تكاملين محددين. هل حقا:

1) يوجد رسم بياني خطي على المقطع فوق المحور ؛

2) يقع الرسم البياني للقطع الزائد على المقطع فوق المحور.

من الواضح تمامًا أنه يمكن (ويجب) إضافة المناطق ، لذلك:

إجابه:

دعنا ننتقل إلى مهمة أخرى ذات مغزى.

المثال 8

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،
دعنا نمثل المعادلات في شكل "المدرسة" ، وننفذ الرسم نقطة تلو الأخرى:

يتضح من الرسم أن الحد الأعلى لدينا هو "جيد" :.
ولكن ما هو الحد الأدنى ؟! من الواضح أن هذا ليس عددًا صحيحًا ، لكن أيهما؟ يمكن ؟ ولكن أين يكون الضمان أن الرسم مصنوع بدقة كاملة ، فقد يكون ذلك جيدًا. أو الجذر. ماذا لو رسمنا الرسم البياني بشكل غير صحيح على الإطلاق؟

في مثل هذه الحالات ، يتعين عليك قضاء وقت إضافي وتحسين حدود التكامل بشكل تحليلي.

أوجد نقاط تقاطع الخط والقطع المكافئ.
للقيام بذلك ، نحل المعادلة:


,

بالفعل،.

الحل الإضافي بسيط ، والشيء الرئيسي هو عدم الخلط بين البدائل والعلامات ، فالحسابات هنا ليست أبسطها.

على الجزء ، وفقًا للصيغة المقابلة:

إجابه:

حسنًا ، في ختام الدرس ، سننظر في مهمتين أكثر صعوبة.

المثال 9

احسب مساحة الشكل المحدد بالخطوط ،

قرار: دعونا نصور هذا الرقم في الرسم.

لعنة ، لقد نسيت أن أوقع على الجدول الزمني ، ولكن لإعادة الصورة ، آسف ، ليس hotz. ليس الرسم ، باختصار ، اليوم هو اليوم \u003d)

بالنسبة للبناء التفصيلي ، تحتاج إلى معرفة مظهر الجيوب الأنفية (وبشكل عام من المفيد معرفة الرسوم البيانية لجميع الوظائف الابتدائية) ، بالإضافة إلى بعض قيم الجيب ، يمكن العثور عليها في الجدول المثلثي... في عدد من الحالات (كما في هذه الحالة) ، يُسمح بإنشاء رسم تخطيطي ، حيث يجب عرض الرسوم البيانية وحدود التكامل بشكل صحيح من حيث المبدأ.

لا توجد مشاكل في حدود التكامل ، فهي تنبع مباشرة من الشرط: - يتغير "x" من صفر إلى "pi". نتخذ قرارًا آخر:

في المقطع ، يقع الرسم البياني للوظيفة فوق المحور ، لذلك: