Qanday hollarda natijalar yuzaga keladi? Ehtimollar nazariyasi: formulalar va masalani yechish misollari. Klassik ehtimollik sxemasi

Hodisalarni bir-biri bilan ularning ehtimoli darajasiga ko'ra miqdoriy jihatdan solishtirish uchun, aniqki, har bir hodisa bilan ma'lum bir sonni bog'lash kerak, bu qanchalik katta bo'lsa, hodisa shunchalik mumkin. Biz bu raqamni voqea ehtimoli deb ataymiz. Shunday qilib, hodisa ehtimoli bu hodisaning ob'ektiv imkoniyati darajasining raqamli o'lchovidir.

Ehtimollikning birinchi ta'rifi qimor o'yinlarini tahlil qilish natijasida paydo bo'lgan va dastlab intuitiv ravishda qo'llanilgan klassik deb hisoblanishi kerak.

Ehtimollikni aniqlashning klassik usuli bir xil darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan hodisalar kontseptsiyasiga asoslanadi, ular berilgan tajriba natijalari bo'lib, bir-biriga mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

To'liq guruhni tashkil etuvchi teng darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan hodisalarning eng oddiy misoli - bir xil o'lchamdagi, og'irlikdagi va boshqa moddiy xususiyatlarga ega, faqat rangi bilan farq qiladigan, olib tashlanishidan oldin yaxshilab aralashtirilgan bir nechta sharlarni o'z ichiga olgan urnadan u yoki bu to'pning paydo bo'lishi.

Shuning uchun, natijalari bir-biriga mos kelmaydigan va bir xil darajada mumkin bo'lgan hodisalarning to'liq guruhini tashkil etuvchi test urnalar naqshiga yoki holatlar naqshiga qisqartiriladi yoki klassik naqshga mos keladi.

To'liq guruhni tashkil etadigan bir xil darajada mumkin bo'lgan va mos kelmaydigan hodisalar oddiy holatlar yoki tasodiflar deb ataladi. Bundan tashqari, har bir tajribada, holatlar bilan bir qatorda, yanada murakkab voqealar sodir bo'lishi mumkin.

Misol: Zarni uloqtirishda A i – yuqori tomondagi i – nuqtalarni yo‘qotish holatlari bilan bir qatorda, B – juft sonli ochkolarni yo‘qotish, C – bir qancha nuqtalarni yo‘qotish kabi hodisalarni ko‘rib chiqishimiz mumkin. uchga karrali nuqtalar...

Tajriba davomida yuz berishi mumkin bo'lgan har bir hodisaga nisbatan holatlar bo'linadi qulay, bu hodisa sodir bo'lgan va noqulay, hodisa sodir bo'lmagan. Oldingi misolda B hodisasi A 2, A 4, A 6 holatlari tomonidan ma'qullanadi; C hodisasi - A 3, A 6 holatlari.

Klassik ehtimollik ma'lum bir hodisaning ro'y berishi, ushbu hodisaning sodir bo'lishi uchun qulay holatlar sonining ma'lum bir tajribada to'liq guruhni tashkil etuvchi teng darajada mumkin bo'lgan, mos kelmaydigan holatlarning umumiy soniga nisbati deyiladi:

Qayerda P(A)- A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli; m- A hodisasi uchun qulay holatlar soni; n- ishlarning umumiy soni.

Misollar:

1) (yuqoridagi misolga qarang) P(B)= , P(C) =.

2) Urun ichida 9 ta qizil va 6 ta ko‘k shar bor. Tasodifiy chizilgan bir yoki ikkita to'pning qizil bo'lib chiqishi ehtimolini toping.

A- tasodifiy chizilgan qizil to'p:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- tasodifiy chizilgan ikkita qizil to'p:

Quyidagi xususiyatlar ehtimollikning klassik ta'rifidan kelib chiqadi (o'zingizni ko'rsating):


1) Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli 0 ga teng;

2) Ishonchli hodisa ehtimoli 1 ga teng;

3) Har qanday hodisaning ehtimoli 0 dan 1 gacha;

4) A hodisasiga qarama-qarshi bo'lgan hodisaning ehtimolligi,

Ehtimollikning klassik ta'rifi sinov natijalarining soni cheklanganligini nazarda tutadi. Amalda, ko'pincha testlar mavjud bo'lib, ularning soni cheksizdir. Bundan tashqari, klassik ta'rifning zaifligi shundaki, ko'pincha test natijasini elementar hodisalar to'plami shaklida ifodalash mumkin emas. Testning elementar natijalarini teng darajada mumkin deb hisoblash sabablarini ko'rsatish yanada qiyinroq. Odatda, elementar test natijalarining tengligi simmetriyani hisobga olgan holda xulosa qilinadi. Biroq, bunday vazifalar amalda juda kam uchraydi. Shu sabablarga ko'ra, ehtimollikning klassik ta'rifi bilan bir qatorda, ehtimollikning boshqa ta'riflari ham qo'llaniladi.

Statistik ehtimollik A hodisasi - o'tkazilgan sinovlarda ushbu hodisaning nisbiy chastotasi:

bu yerda A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli;

A hodisaning yuzaga kelishining nisbiy chastotasi;

A hodisasi paydo bo'lgan sinovlar soni;

Sinovlarning umumiy soni.

Klassik ehtimoldan farqli o'laroq, statistik ehtimollik eksperimental ehtimollikning o'ziga xos xususiyati hisoblanadi.

Misol: Partiyadan mahsulot sifatini nazorat qilish uchun 100 ta mahsulot tasodifiy tanlab olindi, shulardan 3 tasi nuqsonli bo'lib chiqdi. Nikoh ehtimolini aniqlang.

Ehtimollikni aniqlashning statistik usuli faqat quyidagi xususiyatlarga ega bo'lgan hodisalarga nisbatan qo'llaniladi:

Ko'rib chiqilayotgan hodisalar faqat bir xil shartlar to'plamida cheksiz ko'p marta takrorlanishi mumkin bo'lgan sinovlarning natijalari bo'lishi kerak.

Hodisalar statistik barqarorlikka (yoki nisbiy chastotalar barqarorligiga) ega bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, turli sinovlar seriyasida hodisaning nisbiy chastotasi ozgina o'zgaradi.

A hodisasiga olib keladigan sinovlar soni juda katta bo'lishi kerak.

Klassik ta'rifdan kelib chiqadigan ehtimollik xususiyatlari ehtimollikning statistik ta'rifida ham saqlanib qolganligini tekshirish oson.

Ehtimollik - ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri. Ushbu kontseptsiyaning bir nechta ta'riflari mavjud. Keling, klassik deb ataladigan ta'rifni beraylik.

Ehtimollik hodisa - ma'lum bir hodisa uchun qulay bo'lgan elementar natijalar sonining ushbu hodisa yuzaga kelishi mumkin bo'lgan tajribaning barcha teng darajada mumkin bo'lgan natijalari soniga nisbati.

A hodisaning ehtimolligi bilan belgilanadi P(A)(Bu yerga R- frantsuzcha so'zning birinchi harfi ehtimollik- ehtimollik).

Ta'rifga ko'ra

hodisaning yuzaga kelishi uchun qulay bo'lgan elementar test natijalarining soni qayerda;

Mumkin elementar test natijalarining umumiy soni.

Ehtimollikning bunday ta'rifi deyiladi klassik. U ehtimollar nazariyasi rivojlanishining dastlabki bosqichida paydo bo'lgan.

Raqam ko'pincha hodisa sodir bo'lishining nisbiy chastotasi deb ataladi A tajribada.

Voqea sodir bo'lish ehtimoli qanchalik katta bo'lsa, u shunchalik tez-tez sodir bo'ladi va aksincha, hodisaning ehtimoli qanchalik kam bo'lsa, u kamroq sodir bo'ladi. Hodisa ehtimoli birga yaqin yoki teng bo'lsa, u deyarli barcha sinovlarda sodir bo'ladi. Bunday hodisa aytiladi deyarli aniq, ya'ni uning yuzaga kelishiga albatta ishonish mumkin.

Aksincha, ehtimol nolga teng yoki juda kichik bo'lsa, hodisa juda kam uchraydi; shunday voqea bo'lishi aytiladi deyarli imkonsiz.

Ba'zida ehtimollik foiz sifatida ifodalanadi: P(A) 100% hodisaning sodir bo'lish sonining o'rtacha foizi A.

2.13-misol. Telefon raqamini terayotganda, abonent bitta raqamni unutib qo'ygan va uni tasodifiy tergan. To'g'ri raqam terilganligi ehtimolini toping.

Yechim.

bilan belgilaymiz A voqea - "kerakli raqam terildi."

Abonent 10 ta raqamdan istalgan birini terishi mumkin, shuning uchun mumkin bo'lgan elementar natijalarning umumiy soni 10 tani tashkil qiladi. Bu natijalar mos kelmaydi, bir xil darajada mumkin va to'liq guruhni tashkil qiladi. Tadbirni yaxshi ko'radi A faqat bitta natija (faqat bitta talab qilinadigan raqam mavjud).

Kerakli ehtimollik hodisa uchun qulay natijalar sonining barcha elementar natijalar soniga nisbatiga teng:

Klassik ehtimollik formulasi ehtimolliklarni hisoblashning juda oddiy, tajribasiz usulini taqdim etadi. Biroq, bu formulaning soddaligi juda aldamchi. Gap shundaki, uni ishlatishda odatda ikkita juda qiyin savol tug'iladi:

1. Eksperimental natijalar tizimini qanday tanlash mumkinki, ular teng darajada mumkin va buni umuman qilish mumkinmi?

2. Raqamlarni qanday topish mumkin m Va n?

Agar eksperimentda bir nechta ob'ektlar ishtirok etsa, teng darajada mumkin bo'lgan natijalarni ko'rish har doim ham oson emas.

Buyuk fransuz faylasufi va matematigi d'Alember ehtimollar nazariyasi tarixiga o'zining mashhur xatosi bilan kirdi, uning mohiyati shundan iboratki, u faqat ikkita tanga bilan tajribada natijalarning teng imkoniyatlarini noto'g'ri aniqlagan!

2.14-misol. ( d'Alemberning xatosi). Ikkita bir xil tanga tashlangan. Ularning bir tomonga tushishi ehtimoli qanday?

D'Alembert yechimi.

Tajriba uchta teng natijaga ega:

1. Ikkala tanga ham boshga tushadi;

2. Ikkala tanga ham quyruqlarga tushadi;

3. Tangalardan biri boshlarga, ikkinchisi dumlarga tushadi.

To'g'ri yechim.

Tajriba to'rtta bir xil natijaga ega:

1. Birinchi tanga boshlarga tushadi, ikkinchisi ham boshlarga tushadi;

2. Birinchi tanga dumlarga, ikkinchisi ham dumga tushadi;

3. Birinchi tanga boshlarga, ikkinchisi dumlarga tushadi;

4. Birinchi tanga quyruqlarga, ikkinchisi esa boshlarga tushadi.

Ulardan ikkitasi bizning hodisamiz uchun qulay bo'ladi, shuning uchun talab qilinadigan ehtimollik ga teng.

D'Alembert ehtimollikni hisoblashda eng ko'p yo'l qo'yilgan xatolardan birini qildi: u ikkita elementar natijani bitta natijaga birlashtirdi va shu bilan uni tajribaning qolgan natijalariga teng bo'lmagan.

“Baxtsiz hodisalar tasodifiy emas”... Bu faylasuf aytgan gapga o‘xshaydi, lekin aslida tasodifiylikni o‘rganish buyuk matematika fanining taqdiridir. Matematikada tasodif ehtimollar nazariyasi bilan shug'ullanadi. Maqolada formulalar va vazifalar misollari, shuningdek, ushbu fanning asosiy ta'riflari keltirilgan.

Ehtimollar nazariyasi nima?

Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni o'rganadigan matematik fanlardan biridir.

Buni biroz tushunarli qilish uchun kichik bir misol keltiraylik: agar siz tanga tashlasangiz, u bosh yoki dumga tushishi mumkin. Tanga havoda bo'lsa-da, bu ikkala ehtimollik ham mumkin. Ya'ni, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan oqibatlarning ehtimoli 1: 1. Agar bitta karta 36 ta kartadan olingan bo'lsa, ehtimollik 1:36 sifatida ko'rsatiladi. Bu erda, ayniqsa, matematik formulalar yordamida o'rganish va bashorat qilish uchun hech narsa yo'qdek tuyuladi. Biroq, agar siz ma'lum bir harakatni ko'p marta takrorlasangiz, siz ma'lum bir naqshni aniqlay olasiz va unga asoslanib, boshqa sharoitlarda hodisalarning natijasini taxmin qilishingiz mumkin.

Yuqorida aytilganlarning barchasini umumlashtirish uchun, ehtimollik nazariyasi klassik ma'noda mumkin bo'lgan hodisalardan birining soni qiymatda sodir bo'lish imkoniyatini o'rganadi.

Tarix sahifalaridan

Ehtimollar nazariyasi, formulalar va birinchi vazifalarning misollari uzoq o'rta asrlarda, birinchi marta karta o'yinlarining natijalarini bashorat qilishga urinishlar paydo bo'lganida paydo bo'lgan.

Dastlab, ehtimollar nazariyasi matematikaga hech qanday aloqasi yo'q edi. Bu amalda takrorlanishi mumkin bo'lgan hodisaning empirik faktlari yoki xususiyatlari bilan oqlandi. Matematik fan sifatida bu sohadagi birinchi ishlar 17-asrda paydo boʻlgan. Ta'sischilar Blez Paskal va Per Ferma edi. Ular uzoq vaqt qimor o'ynashni o'rganishdi va ma'lum naqshlarni ko'rishdi, ular haqida jamoatchilikka aytib berishga qaror qilishdi.

Xuddi shu texnikani Kristian Gyuygens ixtiro qilgan, garchi u Paskal va Fermatning tadqiqotlari natijalari bilan tanish bo'lmasa ham. U tomonidan fan tarixida birinchi sanalgan “ehtimollar nazariyasi” tushunchasi, formulalar va misollar kiritilgan.

Yakob Bernulli, Laplas va Puasson teoremalarining ishlari ham kam ahamiyatga ega emas. Ular ehtimollik nazariyasini ko'proq matematik intizomga o'xshatishdi. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va asosiy vazifalarning misollari Kolmogorov aksiomalari tufayli hozirgi shaklini oldi. Barcha o'zgarishlar natijasida ehtimollar nazariyasi matematika sohalaridan biriga aylandi.

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari. Voqealar

Ushbu fanning asosiy tushunchasi "hodisa" dir. Hodisalarning uch turi mavjud:

  • Ishonchli. Baribir sodir bo'ladiganlar (tanga tushadi).
  • Mumkin emas. Hech qanday sharoitda sodir bo'lmaydigan voqealar (tanga havoda osilgan holda qoladi).
  • Tasodifiy. Bo'ladigan yoki sodir bo'lmaydiganlar. Ularga bashorat qilish juda qiyin bo'lgan turli omillar ta'sir qilishi mumkin. Agar tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda natijaga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tasodifiy omillar mavjud: tanganing jismoniy xususiyatlari, shakli, asl holati, otish kuchi va boshqalar.

Misollardagi barcha hodisalar katta lotin harflari bilan ko'rsatilgan, boshqa rolga ega bo'lgan P dan tashqari. Masalan:

  • A = "talabalar ma'ruza qilish uchun kelishdi."
  • Ā = "talabalar ma'ruzaga kelishmadi."

Amaliy topshiriqlarda voqealar odatda so'z bilan yoziladi.

Hodisalarning eng muhim xususiyatlaridan biri ularning teng imkoniyatidir. Ya'ni, agar siz tanga tashlasangiz, u tushgunga qadar dastlabki tushishning barcha variantlari mumkin. Ammo voqealar ham bir xil darajada mumkin emas. Bu, kimdir biror natijaga ataylab ta'sir qilganda sodir bo'ladi. Masalan, "belgilangan" o'yin kartalari yoki zarlar, unda tortishish markazi siljiydi.

Voqealar ham mos va mos kelmaydigan bo'lishi mumkin. Mos keladigan hodisalar bir-birining sodir bo'lishini istisno qilmaydi. Masalan:

  • A = "talaba ma'ruzaga keldi".
  • B = "talaba ma'ruzaga keldi".

Bu hodisalar bir-biridan mustaqil bo'lib, ulardan birining sodir bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishiga ta'sir qilmaydi. Mos kelmaydigan hodisalar birining sodir bo'lishi boshqasining sodir bo'lishini istisno qilishi bilan belgilanadi. Agar biz bir xil tanga haqida gapiradigan bo'lsak, unda "dumlar" ning yo'qolishi bir xil tajribada "boshlar" paydo bo'lishini imkonsiz qiladi.

Voqealar bo'yicha harakatlar

Hodisalarni ko'paytirish va qo'shish mumkin, shunga mos ravishda fanga mantiqiy bog'lovchilar "VA" va "YOKI" kiritiladi.

Miqdor A yoki B hodisasi yoki ikkitasi bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkinligi bilan belgilanadi. Agar ular bir-biriga mos kelmasa, oxirgi variantni amalga oshirish mumkin emas, A yoki B o'raladi.

Hodisalarning ko'payishi bir vaqtning o'zida A va B ning paydo bo'lishidan iborat.

Endi biz asoslarni, ehtimollik nazariyasini va formulalarni yaxshiroq eslab qolish uchun bir nechta misollar keltirishimiz mumkin. Quyida muammolarni hal qilish misollari.

1-mashq: Kompaniya uch turdagi ishlar bo'yicha shartnomalar olish uchun tanlovda ishtirok etadi. Bo'lishi mumkin bo'lgan hodisalar:

  • A = "firma birinchi shartnomani oladi."
  • A 1 = "firma birinchi shartnomani olmaydi."
  • B = "firma ikkinchi shartnomani oladi."
  • B 1 = "firma ikkinchi shartnomani olmaydi"
  • C = "firma uchinchi shartnomani oladi."
  • C 1 = "firma uchinchi shartnomani olmaydi."

Voqealar bo'yicha harakatlardan foydalanib, biz quyidagi vaziyatlarni ifodalashga harakat qilamiz:

  • K = "kompaniya barcha shartnomalarni oladi."

Matematik shaklda tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: K = ABC.

  • M = "kompaniya bitta shartnoma olmaydi."

M = A 1 B 1 C 1.

Vazifani murakkablashtiramiz: H = "kompaniya bitta shartnoma oladi." Kompaniya qaysi shartnomani (birinchi, ikkinchi yoki uchinchi) olishi noma'lum bo'lganligi sababli, yuzaga kelishi mumkin bo'lgan barcha hodisalarni qayd etish kerak:

H = A 1 BC 1 y AB 1 C 1 y A 1 B 1 C.

Va 1 BC 1 - firma birinchi va uchinchi shartnomani olmaydigan, lekin ikkinchisini oladigan voqealar seriyasidir. Boshqa mumkin bo'lgan hodisalar tegishli usul yordamida qayd etilgan. Intizomdagi y belgisi “YOKI” bog‘lovchisini bildiradi. Yuqoridagi misolni inson tiliga tarjima qiladigan bo'lsak, kompaniya yoki uchinchi shartnomani oladi, yoki ikkinchi yoki birinchi. Xuddi shunday, siz "Ehtimollik nazariyasi" fanida boshqa shartlarni yozishingiz mumkin. Yuqorida keltirilgan formulalar va muammolarni hal qilish misollari buni o'zingiz qilishingizga yordam beradi.

Aslida, ehtimollik

Ehtimol, ushbu matematik intizomda hodisaning ehtimolligi markaziy tushunchadir. Ehtimollikning 3 ta ta'rifi mavjud:

  • klassik;
  • statistik;
  • geometrik.

Har birining ehtimolini o'rganishda o'z o'rni bor. Ehtimollar nazariyasi, formulalar va misollar (9-sinf) asosan klassik ta'rifdan foydalanadi, bu quyidagicha eshitiladi:

  • A vaziyatining ehtimoli uning yuzaga kelishiga yordam beradigan natijalar sonining barcha mumkin bo'lgan natijalar soniga nisbatiga teng.

Formula quyidagicha ko'rinadi: P(A)=m/n.

A aslida hodisadir. Agar A ga qarama-qarshi holat paydo bo'lsa, uni Ā yoki A 1 shaklida yozish mumkin.

m - mumkin bo'lgan qulay holatlar soni.

n - sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar.

Masalan, A = "yurak kostyumining kartasini chizish." Standart kartada 36 ta karta mavjud, ulardan 9 tasi yurak. Shunga ko'ra, muammoni hal qilish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

P(A)=9/36=0,25.

Natijada, palubadan yurak kostyumining kartasini olish ehtimoli 0,25 ga teng bo'ladi.

Oliy matematikaga

Endi ehtimollik nazariyasi nima ekanligi, formulalar va maktab o'quv dasturida uchraydigan muammolarni echish misollari biroz ma'lum bo'ldi. Biroq, ehtimollar nazariyasi universitetlarda o'qitiladigan oliy matematikada ham mavjud. Ko'pincha ular nazariyaning geometrik va statistik ta'riflari va murakkab formulalar bilan ishlaydi.

Ehtimollar nazariyasi juda qiziq. Formulalar va misollarni (yuqori matematika) kichikdan - ehtimollikning statistik (yoki chastotali) ta'rifi bilan o'rganishni boshlash yaxshiroqdir.

Statistik yondashuv klassikaga zid emas, balki uni biroz kengaytiradi. Agar birinchi holatda hodisaning qanday ehtimollik bilan sodir bo'lishini aniqlash kerak bo'lsa, unda bu usulda uning qanchalik tez-tez sodir bo'lishini ko'rsatish kerak. Bu erda W n (A) bilan belgilanishi mumkin bo'lgan "nisbiy chastota" ning yangi tushunchasi kiritiladi. Formula klassikdan farq qilmaydi:

Agar bashorat qilish uchun klassik formula hisoblansa, statistik formula tajriba natijalariga ko'ra hisoblanadi. Masalan, kichik bir vazifani olaylik.

Texnologik nazorat bo'limi mahsulot sifatini tekshiradi. 100 ta mahsulot orasida 3 tasi sifatsiz deb topildi. Sifatli mahsulotning chastota ehtimolini qanday topish mumkin?

A = "sifatli mahsulotning ko'rinishi".

W n (A)=97/100=0,97

Shunday qilib, sifatli mahsulotning chastotasi 0,97 ni tashkil qiladi. 97 ni qayerdan oldingiz? Tekshirilgan 100 ta mahsulotdan 3 tasi sifatsizligi aniqlangan. Biz 100 dan 3 ni ayirib, 97 ni olamiz, bu sifatli tovarlar miqdori.

Kombinatorika haqida bir oz

Ehtimollar nazariyasining yana bir usuli kombinatorika deb ataladi. Uning asosiy printsipi shundan iboratki, agar ma'lum bir A tanlovi m xil yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin bo'lsa va B tanlovi n xil usulda amalga oshirilishi mumkin bo'lsa, u holda A va B ni tanlash ko'paytirish orqali amalga oshirilishi mumkin.

Masalan, A shahridan B shahriga olib boruvchi 5 ta yo‘l bor. B shahridan C shahriga 4 ta yo'l bor. A shahridan C shahriga necha xil usulda borish mumkin?

Hammasi oddiy: 5x4=20, ya'ni yigirma xil usulda A nuqtadan C nuqtaga o'tish mumkin.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Solitaireda kartalarni joylashtirishning nechta usuli bor? Kemada 36 ta karta bor - bu boshlang'ich nuqta. Yo'llar sonini bilish uchun siz boshlang'ich nuqtadan bir vaqtning o'zida bitta kartani "ayirish" va ko'paytirishingiz kerak.

Ya'ni, 36x35x34x33x32...x2x1= natija kalkulyator ekraniga to'g'ri kelmaydi, shuning uchun uni oddiygina 36 deb belgilash mumkin!. Belgisi "!" raqamning yonida raqamlarning butun qatori bir-biriga ko'paytirilishini bildiradi.

Kombinatorikada almashtirish, joylashtirish va kombinatsiya kabi tushunchalar mavjud. Ularning har biri o'z formulasiga ega.

To'plam elementlarining tartiblangan to'plami tartibga solish deyiladi. Joylashuvlar takrorlanishi mumkin, ya'ni bitta element bir necha marta ishlatilishi mumkin. Va takrorlanmasdan, elementlar takrorlanmasa. n - barcha elementlar, m - joylashtirishda ishtirok etadigan elementlar. Takrorlanmasdan joylashtirish formulasi quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/(n-m)!

Faqat joylashtirish tartibida farq qiluvchi n ta elementning ulanishlari almashtirishlar deyiladi. Matematikada shunday ko'rinadi: P n = n!

m ning n ta elementining birikmalari - ular qanday elementlar bo'lganligi va ularning umumiy soni qancha ekanligi muhim bo'lgan birikmalar. Formula quyidagicha ko'rinadi:

A n m =n!/m!(n-m)!

Bernulli formulasi

Har bir fanda bo'lgani kabi ehtimollar nazariyasida ham o'z sohalarida uni yangi bosqichga olib chiqqan taniqli tadqiqotchilarning ishlari mavjud. Ushbu ishlardan biri Bernulli formulasi bo'lib, u mustaqil sharoitda ma'lum bir hodisaning yuzaga kelish ehtimolini aniqlash imkonini beradi. Bu shuni ko'rsatadiki, tajribada A ning paydo bo'lishi xuddi shu hodisaning oldingi yoki keyingi sinovlarda sodir bo'lishi yoki ro'y bermasligiga bog'liq emas.

Bernulli tenglamasi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Hodisa (A) sodir bo'lish ehtimoli (p) har bir sinov uchun doimiydir. n ta tajribada vaziyatning aynan m marta sodir bo'lish ehtimoli yuqorida keltirilgan formula bo'yicha hisoblanadi. Shunga ko'ra, q sonini qanday topish mumkinligi haqida savol tug'iladi.

Agar A hodisasi p marta sodir bo'lsa, shunga ko'ra, u sodir bo'lmasligi mumkin. Birlik - bu fandagi vaziyatning barcha natijalarini belgilash uchun ishlatiladigan raqam. Demak, q hodisa sodir bo'lmasligi ehtimolini bildiruvchi sondir.

Endi siz Bernulli formulasini bilasiz (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni yechish (birinchi daraja) misollarini ko'rib chiqamiz.

2-topshiriq: Do'konga tashrif buyuruvchi 0,2 ehtimollik bilan xarid qiladi. Do'konga 6 nafar tashrif buyuruvchi mustaqil ravishda kirdi. Mehmonning xarid qilish ehtimoli qanday?

Yechim: Qancha tashrif buyuruvchi sotib olishi kerakligi noma'lum bo'lgani uchun, bitta yoki oltitasi, Bernoulli formulasi yordamida barcha mumkin bo'lgan ehtimolliklarni hisoblash kerak.

A = "tashrif buyuruvchi xarid qiladi."

Bunday holda: p = 0,2 (topshiriqda ko'rsatilganidek). Shunga ko'ra, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (chunki do'konda 6 ta mijoz bor). m raqami 0 dan (birorta ham xaridor xarid qilmaydi) 6 gacha (do'konga tashrif buyurgan barcha mehmonlar biror narsa sotib oladi) o'zgaradi. Natijada biz yechimni olamiz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Xaridorlarning hech biri 0,2621 ehtimollik bilan xarid qilmaydi.

Bernulli formulasidan (ehtimollar nazariyasi) yana qanday foydalaniladi? Quyida muammolarni hal qilish misollari (ikkinchi daraja).

Yuqoridagi misoldan keyin C va r qaerga ketganligi haqida savollar tug'iladi. p ga nisbatan 0 ning kuchiga teng bo'lgan son birga teng bo'ladi. C ga kelsak, uni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin:

C n m = n! /m!(n-m)!

Birinchi misolda m = 0, mos ravishda C = 1 bo'lgani uchun, bu printsipial jihatdan natijaga ta'sir qilmaydi. Yangi formuladan foydalanib, keling, ikkita tashrif buyuruvchining tovarlarni sotib olish ehtimoli qanday ekanligini aniqlashga harakat qilaylik.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Ehtimollar nazariyasi unchalik murakkab emas. Yuqorida misollari keltirilgan Bernulli formulasi buning bevosita dalilidir.

Puasson formulasi

Puasson tenglamasi past ehtimolli tasodifiy vaziyatlarni hisoblash uchun ishlatiladi.

Asosiy formula:

P n (m)=l m /m! × e (-l) .

Bu holda l = n x p. Mana oddiy Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi). Biz quyida muammolarni hal qilish misollarini ko'rib chiqamiz.

Vazifa 3: Zavod 100 000 ta detal ishlab chiqardi. Buzuq qismning paydo bo'lishi = 0,0001. Partiyada 5 ta nuqsonli qism bo‘lish ehtimoli qanday?

Ko'rib turganingizdek, nikoh ehtimol bo'lmagan hodisadir va shuning uchun hisoblash uchun Puasson formulasi (ehtimollar nazariyasi) qo'llaniladi. Ushbu turdagi muammolarni hal qilish misollari fanning boshqa vazifalaridan farq qilmaydi, biz kerakli ma'lumotlarni berilgan formulaga almashtiramiz:

A = "tasodifiy tanlangan qism nuqsonli bo'ladi."

p = 0,0001 (vazifa shartlariga muvofiq).

n = 100000 (qismlar soni).

m = 5 (nuqsonli qismlar). Biz ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Xuddi Bernulli formulasi (ehtimollar nazariyasi), yuqorida yozilgan yechimlar misollari kabi, Puasson tenglamasi noma'lum e ga ega.Aslida uni quyidagi formula bilan topish mumkin:

e -l = lim n ->∞ (1-l/n) n .

Biroq, e ning deyarli barcha qiymatlarini o'z ichiga olgan maxsus jadvallar mavjud.

De Moivr-Laplas teoremasi

Agar Bernulli sxemasida sinovlar soni yetarlicha ko‘p bo‘lsa va barcha sxemalarda A hodisasining ro‘y berish ehtimoli bir xil bo‘lsa, u holda bir qator sinovlarda A hodisasining ma’lum bir necha marta sodir bo‘lish ehtimoli quyidagicha topiladi: Laplas formulasi:

R n (m)= 1/√npq x s(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplas formulasini (ehtimollar nazariyasini) yaxshiroq eslab qolish uchun quyidagi muammolar misollari yordam beradi.

Birinchidan, X m ni topamiz, ma'lumotlarni (ularning barchasi yuqorida sanab o'tilgan) formulaga almashtiramiz va 0,025 ni olamiz. Jadvallardan foydalanib, s(0,025) raqamini topamiz, uning qiymati 0,3988. Endi siz barcha ma'lumotlarni formulaga almashtirishingiz mumkin:

P 800 (267) = 1/√ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Shunday qilib, flyerning aniq 267 marta ishlashi ehtimoli 0,03 ga teng.

Bayes formulasi

Bayes formulasi (ehtimollar nazariyasi), uning yordamida muammolarni hal qilish misollari quyida keltiriladi, u bilan bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan holatlarga asoslangan hodisaning ehtimolini tavsiflovchi tenglama. Asosiy formula quyidagicha:

P (A | B) = P (B | A) x P (A) / P (B).

A va B aniq hodisalardir.

P(A|B) - shartli ehtimol, ya'ni B hodisa rost bo'lgan taqdirda A hodisa sodir bo'lishi mumkin.

P (B|A) - B hodisasining shartli ehtimoli.

Shunday qilib, "Ehtimollar nazariyasi" qisqa kursining yakuniy qismi Bayes formulasi bo'lib, quyida muammolarni hal qilish misollari keltirilgan.

Vazifa 5: Omborga uchta kompaniyaning telefonlari keltirildi. Shu bilan birga, birinchi zavodda ishlab chiqarilgan telefonlar ulushi 25 foizni, ikkinchisida 60 foizni, uchinchisida 15 foizni tashkil etadi. Bundan tashqari, birinchi zavodda nuqsonli mahsulotlarning o'rtacha ulushi 2%, ikkinchisida - 4%, uchinchisida - 1% ni tashkil etishi ma'lum. Tasodifiy tanlangan telefonning nuqsonli bo'lish ehtimolini topishingiz kerak.

A = "tasodifiy tanlangan telefon".

B 1 - birinchi zavod ishlab chiqargan telefon. Shunga ko'ra, kirish B 2 va B 3 paydo bo'ladi (ikkinchi va uchinchi zavodlar uchun).

Natijada biz quyidagilarni olamiz:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - shuning uchun biz har bir variantning ehtimolini topdik.

Endi siz istalgan hodisaning shartli ehtimolini, ya'ni kompaniyalarda nuqsonli mahsulotlarning paydo bo'lish ehtimolini topishingiz kerak:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Keling, ma'lumotlarni Bayes formulasiga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Maqolada ehtimollik nazariyasi, formulalar va muammolarni hal qilish misollari keltirilgan, ammo bu keng fanning aysbergining faqat uchi. Yozilgan hamma narsadan so'ng, ehtimollik nazariyasi hayotda kerakmi, degan savolni berish mantiqan to'g'ri keladi. Oddiy odamga javob berish qiyin, uni ishlatgan odamdan bir necha marta jekpot yutishini so'rash yaxshidir.

Iqtisodiyotda, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda bo'lgani kabi, biz doimo aniq bashorat qilib bo'lmaydigan hodisalar bilan shug'ullanishimiz kerak. Shunday qilib, mahsulotni sotish hajmi sezilarli darajada farq qilishi mumkin bo'lgan talabga va hisobga olish deyarli mumkin bo'lmagan bir qator boshqa omillarga bog'liq. Shuning uchun, ishlab chiqarishni tashkil qilish va sotishni amalga oshirishda siz o'zingizning oldingi tajribangiz yoki boshqa odamlarning shunga o'xshash tajribasi yoki ko'p jihatdan eksperimental ma'lumotlarga tayanadigan sezgi asosida bunday faoliyat natijalarini bashorat qilishingiz kerak.

Ko'rib chiqilayotgan hodisani qandaydir tarzda baholash uchun ushbu hodisa qayd etilgan shartlarni hisobga olish yoki maxsus tashkil qilish kerak.

Ko'rib chiqilayotgan hodisani aniqlash uchun muayyan shartlar yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.

Tadbir deyiladi tasodifiy, agar tajriba natijasida bu sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.

Tadbir deyiladi ishonchli, agar u albatta berilgan tajriba natijasida paydo bo'lsa va imkonsiz, agar u ushbu tajribada ko'rinmasa.

Misol uchun, 30-noyabr kuni Moskvada qor yog'ishi tasodifiy hodisa. Kundalik quyosh chiqishini ishonchli hodisa deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishini imkonsiz hodisa deb hisoblash mumkin.

Ehtimollar nazariyasining asosiy vazifalaridan biri voqea sodir bo'lish ehtimolining miqdoriy o'lchovini aniqlash vazifasidir.

Hodisalar algebrasi

Hodisalarni bir xil tajribada birgalikda kuzatish mumkin bo'lmasa, ular mos kelmaydigan deb ataladi. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida sotiladigan bitta do'konda ikkita va uchta mashinaning mavjudligi ikkita mos kelmaydigan hodisadir.

Miqdori hodisalar - bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa

Hodisalar yig'indisiga misol sifatida do'konda ikkita mahsulotdan kamida bittasi mavjudligini ko'rsatish mumkin.

Ish hodisalar bu barcha hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat hodisadir

Do'konda bir vaqtning o'zida ikkita tovar paydo bo'lishidan iborat bo'lgan voqea hodisalarning mahsulidir: - bir mahsulotning ko'rinishi, - boshqa mahsulotning paydo bo'lishi.

Voqealar, agar ulardan kamida bittasi tajribada ro'y berishi aniq bo'lsa, hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Misol. Portda kemalarni qabul qilish uchun ikkita to'xtash joyi mavjud. Uchta hodisani ko'rib chiqish mumkin: - to'xtash joylarida kemalarning yo'qligi, - to'xtash joylaridan birida bitta kemaning mavjudligi, - ikkita to'xtash joyida ikkita kemaning mavjudligi. Ushbu uchta hodisa to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi.

Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita noyob mumkin bo'lgan hodisa deyiladi.

Qarama-qarshi bo'lgan hodisalardan biri bilan belgilansa, qarama-qarshi hodisa odatda bilan belgilanadi.

Hodisa ehtimolining klassik va statistik ta'riflari

Sinovlarning (tajribalarning) teng darajada mumkin bo'lgan natijalarining har biri elementar natija deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Misol uchun, o'lim tashlanadi. Yon tomonlardagi nuqtalar soniga ko'ra jami oltita elementar natija bo'lishi mumkin.

Elementar natijalardan siz murakkabroq hodisani yaratishingiz mumkin. Shunday qilib, juft sonli nuqtalar hodisasi uchta natija bilan aniqlanadi: 2, 4, 6.

Ko'rib chiqilayotgan hodisaning yuzaga kelish ehtimolining miqdoriy o'lchovi ehtimollikdir.

Hodisa ehtimolining eng keng tarqalgan ta'riflari: klassik Va statistik.

Ehtimollikning klassik ta'rifi qulay natija tushunchasi bilan bog'liq.

Natija deyiladi qulay ma'lum bir hodisaga, agar uning sodir bo'lishi ushbu hodisaning sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa.

Yuqoridagi misolda, ko'rib chiqilayotgan hodisa - o'ralgan tomonda teng miqdordagi nuqtalar - uchta qulay natijaga ega. Bunday holda, general
mumkin bo'lgan natijalar soni. Bu shuni anglatadiki, bu erda hodisa ehtimolining klassik ta'rifidan foydalanish mumkin.

Klassik ta'rif qulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbatiga tengdir

hodisaning ehtimoli qayerda, hodisa uchun qulay natijalar soni, mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni.

Ko'rib chiqilgan misolda

Ehtimollikning statistik ta'rifi tajribalarda hodisaning nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.

Hodisa yuzaga kelishining nisbiy chastotasi formula yordamida hisoblanadi

qayerda - bir qator tajribalar (sinovlar)da hodisaning sodir bo'lish soni.

Statistik ta'rif. Hodisa ehtimoli - bu tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan nisbiy chastota barqarorlashadigan (to'plamlari) soni.

Amaliy masalalarda hodisaning ehtimoli yetarlicha ko‘p sonli sinovlar uchun nisbiy chastota sifatida qabul qilinadi.

Hodisa ehtimolining bu ta'riflaridan ko'rinib turibdiki, tengsizlik doimo qanoatlantiriladi

Formula (1.1) asosida hodisaning yuzaga kelishi ehtimolini aniqlash uchun ko'pincha kombinatorik formulalar qo'llaniladi, ular qulay natijalar sonini va mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonini topish uchun ishlatiladi.

SHAHAR TA'LIM MASSASI

6-son GIMNAZIY

"Ehtimollikning klassik ta'rifi" mavzusida.

8 "B" sinf o'quvchisi tomonidan yakunlandi

Klimantova Aleksandra.

Matematika o'qituvchisi: Videnkina V.A.

Voronej, 2008 yil


Ko'pgina o'yinlar zarlardan foydalanadi. Kubning 6 ta tomoni bor, har bir tomonida 1 dan 6 gacha bo'lgan turli xil nuqtalar bor. O'yinchi zarlarni tashlaydi va tushgan tomonda (tepada joylashgan tomonda) nechta nuqta borligiga qaraydi. . Ko'pincha kubning yuzidagi nuqtalar mos keladigan raqam bilan almashtiriladi va keyin ular 1, 2 yoki 6 ni chiqarish haqida gapirishadi. O'limni otish tajriba, tajriba, sinov deb hisoblanishi mumkin va olingan natija test yoki elementar hodisaning natijasi. Odamlar u yoki bu hodisaning sodir bo'lishini taxmin qilish va uning natijalarini bashorat qilishdan manfaatdor. Ular zarlarni tashlaganda qanday bashorat qilishlari mumkin? Masalan, bular:

1) A hodisasi - 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6 raqami o'raladi;

2) B hodisasi - 7, 8 yoki 9 raqami paydo bo'ladi;

3) hodisa C - 1 raqami paydo bo'ladi.

Birinchi holatda bashorat qilingan A hodisasi albatta sodir bo'ladi. Umuman olganda, ma'lum bir tajribada sodir bo'lishi aniq bo'lgan hodisa deyiladi ishonchli voqea .

Ikkinchi holatda bashorat qilingan B hodisasi hech qachon sodir bo'lmaydi, bu shunchaki mumkin emas. Umuman olganda, berilgan tajribada yuzaga kelishi mumkin bo'lmagan hodisa deyiladi imkonsiz hodisa .

Uchinchi holatda bashorat qilingan C hodisasi sodir bo'ladimi yoki yo'qmi? Biz bu savolga to'liq aniq javob bera olmaymiz, chunki 1 tasi tushib qolishi yoki bo'lmasligi mumkin. Berilgan tajribada sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa deyiladi tasodifiy hodisa .

Ishonchli voqea sodir bo'lishi haqida o'ylaganimizda, biz "ehtimol" so'zini ishlatmaymiz. Misol uchun, agar bugun chorshanba bo'lsa, ertaga payshanba bo'lsa, bu ishonchli voqea. Chorshanba kuni biz: "Ehtimol, ertaga payshanba" demaymiz, biz qisqa va aniq aytamiz: "Ertaga payshanba". To'g'ri, agar biz chiroyli iboralarga moyil bo'lsak, buni aytishimiz mumkin: "Yuz foiz ehtimol bilan ertaga payshanba, deb aytaman." Aksincha, agar bugun chorshanba bo'lsa, ertaga juma kuni boshlanishi mumkin bo'lmagan hodisadir. Chorshanba kuni bo'lib o'tgan voqeani baholab, shunday deyishimiz mumkin: "Ishonchim komilki, ertaga juma emas." Yoki bu: "Ertaga juma ekanligi aql bovar qilmaydi." Xo'sh, agar biz chiroyli iboralarga moyil bo'lsak, buni aytishimiz mumkin: "Ertaga juma bo'lish ehtimoli nolga teng". Demak, ishonchli hodisa - berilgan sharoitda sodir bo'ladigan hodisadir yuz foizlik ehtimol bilan(ya'ni, 10 ta holatdan 10 tasida, 100 tadan 100 tasida va hokazo). Mumkin bo'lmagan hodisa - berilgan sharoitda hech qachon sodir bo'lmaydigan hodisa, hodisa nol ehtimollik bilan .

Ammo, afsuski (va, ehtimol, xayriyatki), hayotda hamma narsa juda aniq va aniq emas: u har doim bo'ladi (muayyan hodisa), hech qachon (mumkin bo'lmagan voqea) bo'lmaydi. Ko'pincha biz tasodifiy hodisalarga duch kelamiz, ularning ba'zilari ehtimoli ko'proq, boshqalari esa kamroq. Odatda odamlar "ehtimoli ko'proq" yoki "kamroq" so'zlarini, ular aytganidek, injiqlikda, aql-idrok deb ataladigan narsaga tayangan holda ishlatishadi. Ammo ko'pincha bunday hisob-kitoblar etarli emas, chunki bilish juda muhimdir qanday muddatga foiz ehtimol tasodifiy hodisa yoki necha marta bitta tasodifiy hodisa boshqasidan ko'ra ko'proq. Boshqacha aytganda, bizga aniqlik kerak miqdoriy xarakteristikalar uchun siz ehtimollikni raqam bilan tavsiflay bilishingiz kerak.

Biz bu borada dastlabki qadamlarni tashladik. Muayyan hodisaning sodir bo'lish ehtimoli sifatida tavsiflanadi, dedik yuz foiz, va imkonsiz hodisa sodir bo'lish ehtimoli quyidagicha nol. 100% 1 ga teng ekanligini hisobga olib, odamlar quyidagilarga rozi bo'lishdi:

1) ishonchli hodisa ehtimoli teng deb hisoblanadi 1;

2) imkonsiz hodisaning ehtimoli teng deb hisoblanadi 0.

Tasodifiy hodisa ehtimolini qanday hisoblash mumkin? Axir, bu sodir bo'ldi tasodifan, ya'ni u qonunlarga, algoritmlarga yoki formulalarga bo'ysunmaydi. Ma'lum bo'lishicha, tasodifiylik dunyosida ehtimollarni hisoblash imkonini beradigan ma'lum qonunlar amal qiladi. Bu matematikaning bo'limi deb ataladi - ehtimollik nazariyasi .

Matematika bilan shug'ullanadi model atrofimizdagi haqiqatning ba'zi bir hodisasi. Ehtimollar nazariyasida qo'llaniladigan barcha modellardan biz eng oddiylari bilan cheklanamiz.

Klassik ehtimollik sxemasi

Tajriba o'tkazishda A hodisasining ehtimolini topish uchun quyidagilar kerak:

1) ushbu tajribaning barcha mumkin bo'lgan natijalarining N sonini toping;

2) barcha ushbu natijalarning teng ehtimolligi (teng ehtimollik) farazini qabul qilish;

3) A hodisasi sodir bo'lgan tajriba natijalarining N(A) sonini toping;

4) qismni toping ; u A hodisaning ehtimoliga teng bo'ladi.

A hodisaning ehtimolini belgilash odatiy holdir: P(A). Ushbu belgining tushuntirishi juda oddiy: frantsuzcha "ehtimollik" so'zi ehtimollik, Ingliz tilida- ehtimollik. Belgilash so'zning birinchi harfini ishlatadi.

Ushbu belgidan foydalanib, A hodisasining klassik sxema bo'yicha ehtimolini formuladan foydalanib topish mumkin

P(A)=.

Ko'pincha yuqoridagi klassik ehtimollik sxemasining barcha nuqtalari bitta juda uzun iborada ifodalanadi.

Ehtimollikning klassik ta'rifi

Muayyan test paytida A hodisasining ehtimoli - bu A hodisasi sodir bo'lgan natijalar sonining ushbu testning barcha teng darajada mumkin bo'lgan natijalarining umumiy soniga nisbati.

1-misol. Zarbni bir marta uloqtirganda natija quyidagicha bo‘lish ehtimolini toping: a) 4; b) 5; c) nuqtalarning juft soni; d) ballar soni 4 dan katta; e) uchga bo'linmaydigan nuqtalar soni.

Yechim. Hammasi bo'lib N=6 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud: 1, 2, 3, 4, 5 yoki 6 ga teng nuqtalar soniga ega kub yuzidan tushish. Biz ularning hech biri boshqalardan ustunlikka ega emasligiga ishonamiz, ya'ni biz bu natijalarning teng ehtimoli degan taxminni qabul qiling.

a) Natijalarning aynan birida bizni qiziqtirgan A hodisasi ro'y beradi - 4 raqami paydo bo'ladi, bu N(A)=1 va

P ( A )= =.

b) Yechim va javob oldingi banddagi kabi.

c) Bizni qiziqtirgan B hodisasi nuqtalar soni 2, 4 yoki 6 bo‘lganda roppa-rosa uchta holatda sodir bo‘ladi.

N ( B )=3 va P ( B )==.

d) Bizni qiziqtirgan S hodisasi nuqtalar soni 5 yoki 6 bo'lganda roppa-rosa ikki holatda sodir bo'ladi.

N ( C ) =2 va R(S)=.

e) Chizilgan oltita mumkin bo'lgan raqamlardan to'rttasi (1, 2, 4 va 5) uchga karrali emas, qolgan ikkitasi (3 va 6) uchga bo'linadi. Bu shuni anglatadiki, bizni qiziqtiradigan hodisa tajribaning oltita mumkin bo'lgan va bir xil ehtimolli va bir xil ehtimolli natijalaridan to'liq to'rttasida sodir bo'ladi. Shunday qilib, javob shunday bo'ladi

. ; b) ; V); G) ; d).

Haqiqiy zar ideal (model) kubdan juda farq qilishi mumkin, shuning uchun uning xatti-harakatlarini tasvirlash uchun bir yuzning boshqasidan ustunligi, magnitlarning mavjudligi va hokazolarni hisobga olgan holda aniqroq va batafsil model talab qilinadi. "Iblis tafsilotlarda" va ko'proq aniqlik kattaroq murakkablikka olib keladi va javob olish muammoga aylanadi. Biz barcha mumkin bo'lgan natijalar teng ehtimolga ega bo'lgan eng oddiy ehtimollik modelini ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.

Eslatma 1. Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Savol berildi: "Bir zarbda uchta o'yinni olish ehtimoli qanday?" Talaba javob berdi: "Ehtimollik 0,5". Va u javobini tushuntirdi: “Uchtasi keladi yoki yo'q. Bu shuni anglatadiki, jami ikkita natija bor va ulardan birida bizni qiziqtirgan voqea sodir bo'ladi. Klassik ehtimollik sxemasidan foydalanib, biz 0,5 javobni olamiz. Bu fikrlashda xatolik bormi? Bir qarashda, yo'q. Biroq, u hali ham mavjud va asosiy ma'noda. Ha, haqiqatan ham, uchtasi keladi yoki yo'q, ya'ni N=2 otish natijasining bu ta'rifi bilan. N(A) = 1 ekanligi ham haqiqat va albatta bu haqiqat

=0,5, ya'ni ehtimollik sxemasining uchta nuqtasi hisobga olinadi, lekin 2) bandning bajarilishi shubhali. Albatta, sof huquqiy nuqtai nazardan, biz uchlikni ag'darish bir xil darajada yiqilmasligiga ishonishga haqlimiz. Ammo qirralarning "bir xilligi" haqidagi o'zimizning tabiiy taxminlarimizni buzmasdan shunday o'ylashimiz mumkinmi? Albatta yo'q! Bu erda biz ma'lum bir model doirasida to'g'ri fikrlash bilan shug'ullanamiz. Ammo bu modelning o'zi "noto'g'ri", haqiqiy hodisaga mos kelmaydi.

Eslatma 2. Ehtimollik haqida gapirganda, quyidagi muhim holatni e'tibordan chetda qoldirmang. Agar o'limni otishda shuni aytsak, bitta ochko olish ehtimoli

, bu umuman zarni 6 marta tashlasangiz roppa-rosa bir ochko olasiz degani emas, zarni 12 marta tashlasangiz roppa-rosa ikki ochko olasiz, 18 marta zar tashlasangiz bir ochko olasiz roppa-rosa uch. marta va hokazo. Bu so'z, ehtimol, spekulyativdir. Biz nima sodir bo'lishi mumkinligini taxmin qilamiz. Ehtimol, zarni 600 marta tashlasak, bitta nuqta 100 marta yoki taxminan 100 marta chiqadi.

O'qishni tavsiya qilamiz