Ehtimollar nazariyasida hodisa nima. Ehtimollikni klassik aniqlashga oid masalalar Yechishga misollar. Hodisalar o'rtasidagi munosabatlar
Amaliy faoliyat uchun hodisalarni yuzaga kelish ehtimoli darajasiga ko'ra taqqoslash kerak. Keling, klassik ishni ko'rib chiqaylik. Idishda 10 ta shar bor, ulardan 8 tasi oq, 2 tasi qora. Shubhasiz, “urnadan oq shar olinadi” hodisasi va “urnadan qora shar olinadi” hodisasi ularning yuzaga kelish ehtimolining turli darajalariga ega. Shuning uchun hodisalarni solishtirish uchun ma'lum miqdoriy o'lchov kerak.
Voqea sodir bo'lish ehtimolining miqdoriy o'lchovidir ehtimollik . Hodisa ehtimolining eng keng tarqalgan ta'riflari klassik va statistikdir.
Klassik ta'rif ehtimollik qulay natija tushunchasi bilan bog'liq. Keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik.
Ba'zi test natijalari voqealarning to'liq guruhini tashkil etsin va teng darajada mumkin bo'lsin, ya'ni. yagona mumkin, mos kelmaydigan va teng darajada mumkin. Bunday natijalar deyiladi elementar natijalar, yoki holatlar. Aytishlaricha, imtihon o'zgacha holat diagrammasi yoki " urn sxemasi", chunki Bunday test uchun har qanday ehtimollik muammosi turli rangdagi urnalar va to'plar bilan ekvivalent muammo bilan almashtirilishi mumkin.
Natija deyiladi qulay voqea A, agar bu ishning yuzaga kelishi voqea sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa A.
Klassik ta'rifga ko'ra hodisa ehtimoli A bu hodisa uchun qulay natijalar sonining natijalarning umumiy soniga nisbatiga teng, ya'ni.
| , | (1.1) |
Qayerda P(A)- hodisa ehtimoli A; m– hodisa uchun qulay holatlar soni A; n- ishlarning umumiy soni.
1.1-misol. Zar otishda oltita mumkin bo'lgan natijalar mavjud: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ball. Juft sonli ball olish ehtimoli qanday?
Yechim. Hammasi n= 6 ta natija hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi va teng darajada mumkin, ya'ni. yagona mumkin, mos kelmaydigan va teng darajada mumkin. A hodisasi - "juft miqdordagi ballarning paydo bo'lishi" - 3 ta natija (holat) - 2, 4 yoki 6 ballni yo'qotish. Hodisa ehtimoli uchun klassik formuladan foydalanib, biz olamiz
P(A) = = . ◄
Hodisa ehtimolining klassik ta'rifiga asoslanib, biz uning xususiyatlarini qayd etamiz:
1. Har qanday hodisaning ehtimoli nol va bir orasida, ya'ni.
0 ≤ R(A) ≤ 1.
2. Ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng.
3. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.
Yuqorida aytib o'tilganidek, ehtimollikning klassik ta'rifi faqat mumkin bo'lgan natijalarning simmetriyasiga ega bo'lgan testlar natijasida yuzaga kelishi mumkin bo'lgan hodisalar uchun qo'llaniladi, ya'ni. holatlar namunasiga qisqartirilishi mumkin. Biroq, ehtimolliklarini klassik ta'rif yordamida hisoblab bo'lmaydigan hodisalarning katta sinfi mavjud.
Masalan, tanga yassilangan deb faraz qilsak, “gerbning paydo bo'lishi” va “boshlarning paydo bo'lishi” hodisalarini teng darajada mumkin deb bo'lmaydi. Shuning uchun klassik sxema bo'yicha ehtimollikni aniqlash formulasi bu holda qo'llanilmaydi.
Biroq, o'tkazilgan sinovlarda ma'lum bir hodisa qanchalik tez-tez sodir bo'lishiga asoslanib, hodisalar ehtimolini baholashning boshqa yondashuvi mavjud. Bunday holda, ehtimollikning statistik ta'rifi qo'llaniladi.
Statistik ehtimollikA hodisasi - bu hodisaning n ta sinovda sodir bo'lishining nisbiy chastotasi (chastotasi), ya'ni.
 ,
| (1.2) |
Qayerda P*(A)- hodisaning statistik ehtimoli A; w(A)- hodisaning nisbiy chastotasi A; m- voqea sodir bo'lgan sinovlar soni A; n- testlarning umumiy soni.
Matematik ehtimollikdan farqli o'laroq P(A), klassik ta'rifda ko'rib chiqilgan, statistik ehtimollik P*(A) xususiyatdir tajribali, eksperimental. Boshqacha qilib aytganda, hodisaning statistik ehtimoli A nisbiy chastota barqarorlashadigan raqam (o'rnatilgan) w(A) bir xil sharoitlarda o'tkaziladigan testlar sonining cheksiz ko'payishi bilan.
Misol uchun, ular otishma haqida 0,95 ehtimollik bilan nishonga tegishini aytishganda, bu uning ma'lum sharoitlarda (bir xil masofadagi bir xil nishon, bir xil miltiq va h.k.) otgan yuzlab o'qlardan ekanligini anglatadi. ), o'rtacha 95 ga yaqin muvaffaqiyatli. Tabiiyki, har bir yuzta 95 ta muvaffaqiyatli zarbaga ega bo'lmaydi, ba'zida kamroq, ba'zan ko'proq bo'ladi, lekin o'rtacha hisobda, bir xil sharoitlarda tortishishning bir necha marta takrorlanishi bilan, xitlarning bu foizi o'zgarishsiz qoladi. Otuvchining mahoratining ko'rsatkichi bo'lib xizmat qiluvchi 0,95 ko'rsatkichi odatda juda ko'p barqaror, ya'ni. ko'p tortishishlarda Xitlar ulushi ma'lum bir shooter uchun deyarli bir xil bo'ladi, faqat kamdan-kam hollarda uning o'rtacha qiymati har qanday sezilarli og'ish.
Ehtimollikning klassik ta'rifining yana bir kamchiligi ( 1.1 ) uning qo'llanilishini cheklash shundaki, u cheklangan miqdordagi mumkin bo'lgan test natijalarini qabul qiladi. Ba'zi hollarda, ehtimollikning geometrik ta'rifi yordamida bu kamchilikni bartaraf etish mumkin, ya'ni. nuqtaning ma'lum bir sohaga (segment, tekislikning bir qismi va boshqalar) tushishi ehtimolini topish.
Yassi shaklga ruxsat bering g tekis figuraning bir qismini tashkil qiladi G(1.1-rasm). Fit G nuqta tasodifiy tashlanadi. Bu shuni anglatadiki, mintaqadagi barcha nuqtalar G Otilgan tasodifiy nuqta unga tegadimi yoki yo'qmi, "teng huquqlar". Hodisa yuzaga kelishi ehtimolini nazarda tutgan holda A– tashlangan nuqta raqamga tegadi g- bu raqamning maydoniga mutanosib va uning joylashgan joyiga nisbatan bog'liq emas G, na shakldan g, topamiz
Iqtisodiyotda, inson faoliyatining boshqa sohalarida yoki tabiatda bo'lgani kabi, biz doimo aniq bashorat qilib bo'lmaydigan hodisalar bilan shug'ullanishimiz kerak. Shunday qilib, mahsulotni sotish hajmi sezilarli darajada farq qilishi mumkin bo'lgan talabga va hisobga olish deyarli mumkin bo'lmagan bir qator boshqa omillarga bog'liq. Shuning uchun, ishlab chiqarishni tashkil qilish va sotishni amalga oshirishda siz o'zingizning oldingi tajribangiz yoki boshqa odamlarning o'xshash tajribasi yoki ko'p jihatdan eksperimental ma'lumotlarga tayanadigan sezgi asosida bunday faoliyat natijalarini bashorat qilishingiz kerak.
Ko'rib chiqilayotgan voqeani qandaydir tarzda baholash uchun ushbu hodisa qayd etilgan shartlarni hisobga olish yoki maxsus tashkil qilish kerak.
Ko'rib chiqilayotgan hodisani aniqlash uchun muayyan shartlar yoki harakatlarni amalga oshirish deyiladi tajriba yoki tajriba.
Tadbir deyiladi tasodifiy, agar tajriba natijasida bu sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin.
Tadbir deyiladi ishonchli, agar u albatta berilgan tajriba natijasida paydo bo'lsa va imkonsiz, agar u ushbu tajribada ko'rinmasa.
Misol uchun, 30-noyabr kuni Moskvada qor yog'ishi tasodifiy hodisa. Kundalik quyosh chiqishini ishonchli hodisa deb hisoblash mumkin. Ekvatorda qor yog'ishini imkonsiz hodisa deb hisoblash mumkin.
Ehtimollar nazariyasining asosiy vazifalaridan biri voqea sodir bo'lish ehtimolining miqdoriy o'lchovini aniqlash vazifasidir.
Hodisalar algebrasi
Hodisalarni bir xil tajribada birgalikda kuzatish mumkin bo'lmasa, ular mos kelmaydigan deb ataladi. Shunday qilib, bir vaqtning o'zida sotiladigan bitta do'konda ikkita va uchta mashinaning mavjudligi ikkita mos kelmaydigan hodisadir.
Miqdori hodisalar - bu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa
Hodisalar yig'indisiga misol sifatida do'konda ikkita mahsulotdan kamida bittasi mavjudligini ko'rsatish mumkin.
Ish hodisalar - bu barcha hodisalarning bir vaqtning o'zida sodir bo'lishidan iborat hodisa
Bir vaqtning o'zida do'konda ikkita tovarning paydo bo'lishidan iborat bo'lgan voqea hodisalarning mahsulidir: - bir mahsulotning ko'rinishi, - boshqa mahsulotning paydo bo'lishi.
Voqealar, agar ulardan kamida bittasi tajribada ro'y berishi aniq bo'lsa, hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.
Misol. Portda kemalarni qabul qilish uchun ikkita to'xtash joyi mavjud. Uchta hodisani ko'rib chiqish mumkin: - to'xtash joylarida kemalarning yo'qligi, - to'xtash joylaridan birida bitta kemaning mavjudligi, - ikkita to'xtash joyida ikkita kemaning mavjudligi. Ushbu uchta hodisa to'liq hodisalar guruhini tashkil qiladi.
Qarama-qarshi to'liq guruhni tashkil etuvchi ikkita noyob mumkin bo'lgan hodisa deyiladi.
Qarama-qarshi bo'lgan hodisalardan biri bilan belgilansa, qarama-qarshi hodisa odatda bilan belgilanadi.
Hodisa ehtimolining klassik va statistik ta'riflari
Sinovlarning (tajribalarning) teng darajada mumkin bo'lgan natijalarining har biri elementar natija deb ataladi. Ular odatda harflar bilan belgilanadi. Misol uchun, o'lim tashlanadi. Yon tomonlardagi nuqtalar soniga ko'ra jami oltita elementar natija bo'lishi mumkin.
Elementar natijalardan siz murakkabroq hodisani yaratishingiz mumkin. Shunday qilib, juft sonli nuqtalar hodisasi uchta natija bilan aniqlanadi: 2, 4, 6.
Ko'rib chiqilayotgan hodisaning yuzaga kelish ehtimolining miqdoriy o'lchovi ehtimollikdir.
Hodisa ehtimolining eng keng tarqalgan ta'riflari: klassik Va statistik.
Ehtimollikning klassik ta'rifi qulay natija tushunchasi bilan bog'liq.
Natija deyiladi qulay ma'lum bir hodisaga, agar uning sodir bo'lishi ushbu hodisaning sodir bo'lishiga olib keladigan bo'lsa.
Yuqoridagi misolda, ko'rib chiqilayotgan hodisa - o'ralgan tomonda teng miqdordagi nuqtalar - uchta qulay natijaga ega. Bunday holda, general
mumkin bo'lgan natijalar soni. Bu shuni anglatadiki, bu erda hodisa ehtimolining klassik ta'rifidan foydalanish mumkin.
Klassik ta'rif qulay natijalar sonining mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soniga nisbatiga tengdir
hodisaning ehtimoli qayerda, hodisa uchun qulay natijalar soni, mumkin bo'lgan natijalarning umumiy soni.
Ko'rib chiqilgan misolda
Ehtimollikning statistik ta'rifi tajribalarda hodisaning nisbiy chastotasi tushunchasi bilan bog'liq.
Hodisa yuzaga kelishining nisbiy chastotasi formula yordamida hisoblanadi
qayerda - bir qator tajribalar (sinovlar)da hodisaning sodir bo'lish soni.
Statistik ta'rif. Hodisa ehtimoli - bu tajribalar sonining cheksiz ko'payishi bilan nisbiy chastota barqarorlashadigan (to'plamlari) soni.
Amaliy masalalarda hodisaning ehtimoli yetarlicha ko‘p sonli sinovlar uchun nisbiy chastota sifatida qabul qilinadi.
Hodisa ehtimolining bu ta'riflaridan ko'rinib turibdiki, tengsizlik doimo qanoatlantiriladi
Formula (1.1) asosida hodisaning yuzaga kelishi ehtimolini aniqlash uchun ko'pincha kombinatorik formulalar qo'llaniladi, ular qulay natijalar sonini va mumkin bo'lgan natijalarning umumiy sonini topish uchun ishlatiladi.
Hodisa ehtimoli deganda ushbu hodisaning yuzaga kelish ehtimolining ma'lum bir raqamli tavsifi tushuniladi. Ehtimollikni aniqlashning bir necha yondashuvlari mavjud.
Hodisa ehtimoli A Ushbu hodisa uchun qulay natijalar sonining to'liq guruhni tashkil etuvchi barcha teng darajada mumkin bo'lgan mos kelmaydigan elementar natijalarning umumiy soniga nisbati deyiladi. Shunday qilib, hodisaning ehtimoli A formula bilan aniqlanadi
Qayerda m- ijobiy elementar natijalar soni A, n- barcha mumkin bo'lgan elementar test natijalari soni.
3.1-misol. O'limni otish bilan bog'liq tajribada barcha natijalar soni n 6 ga teng va ularning barchasi bir xil darajada mumkin. Tadbirga ruxsat bering A juft sonning ko‘rinishini bildiradi. Keyin bu hodisa uchun qulay natijalar 2, 4, 6 raqamlarining paydo bo'lishi bo'ladi. Ularning soni 3. Shuning uchun hodisaning ehtimoli A ga teng
3.2-misol. Tasodifiy tanlangan ikki xonali sonning bir xil raqamlarga ega bo'lish ehtimoli qanday?
Ikki xonali sonlar 10 dan 99 gacha bo'lgan raqamlar bo'lib, jami 90 ta shunday raqamlar mavjud.9 ta raqam bir xil raqamlarga ega (bular 11, 22, ..., 99 raqamlari). Chunki bu holatda m=9, n=90, keyin
Qayerda A– hodisa, “bir xil raqamlarga ega raqam”.
3.3-misol. 10 qismdan iborat to'plamda 7 ta standartdir. Tasodifiy olingan olti qismdan 4 tasi standart bo'lish ehtimolini toping.
Mumkin bo'lgan elementar test natijalarining umumiy soni 10 tadan 6 ta qismni olish mumkin bo'lgan usullar soniga, ya'ni har birida 6 ta elementdan 10 ta elementning kombinatsiyasi soniga teng. Keling, bizni qiziqtirgan voqea uchun qulay natijalar sonini aniqlaylik A(oltita olingan qismdan 4 tasi standart). To'rtta standart qism ettita standart qismdan turli usullar bilan olinishi mumkin; shu bilan birga, qolgan 6-4=2 qism nostandart bo'lishi kerak, lekin siz 10-7=3 nostandart qismdan ikkita nostandart qismni turli usullar bilan olishingiz mumkin. Shuning uchun qulay natijalar soni ga teng.
Keyin kerakli ehtimollik teng bo'ladi
Quyidagi xususiyatlar ehtimollik ta'rifidan kelib chiqadi:
1. Ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng.
Haqiqatan ham, agar voqea ishonchli bo'lsa, testning har bir elementar natijasi voqeani afzal ko'radi. Bu holda m=n, shuning uchun
2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.
Haqiqatan ham, agar biron bir hodisa imkonsiz bo'lsa, unda testning elementar natijalaridan hech biri hodisani yoqtirmaydi. Bunday holda, bu degani
3. Tasodifiy hodisaning ehtimoli nol va bir orasidagi musbat sondir.
Darhaqiqat, testning elementar natijalarining umumiy sonining faqat bir qismi tasodifiy hodisa tomonidan ma'qullanadi. Ushbu holatda< m< n, 0 ni bildiradi < m/n < 1, ya'ni 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
Mantiqiy jihatdan tugallangan ehtimollik nazariyasini qurish tasodifiy hodisa va uning ehtimolini aksiomatik aniqlashga asoslanadi. A. N. Kolmogorov tomonidan taklif qilingan aksiomalar tizimida aniqlanmagan tushunchalar elementar hodisa va ehtimollikdir. Bu erda ehtimollikni belgilaydigan aksiomalar:
1. Har bir voqea A manfiy bo'lmagan haqiqiy raqam tayinlangan P(A). Bu raqam hodisaning ehtimoli deb ataladi A.
2. Ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng.
3. Juftlik mos kelmaydigan hodisalardan kamida bittasining ro'y berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng.
Bu aksiomalar asosida teorema sifatida ehtimollarning xossalari va ular orasidagi bog’liqliklar chiqariladi.
O'z-o'zini tekshirish uchun savollar
1. Voqea sodir bo'lish imkoniyatining son xarakteristikasi qanday nomlanadi?
2. Hodisa yuzaga kelish ehtimoli nimaga teng?
3. Ishonchli hodisa ehtimoli qanday?
4. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nimaga teng?
5. Tasodifiy hodisaning ehtimoli chegaralari qanday?
6. Har qanday hodisaning ehtimollik chegaralari qanday?
7. Ehtimolning qanday ta’rifi klassik deyiladi?
Ehtimollar nazariyasi asoslari
Reja:
1. Tasodifiy hodisalar
2. Ehtimolning klassik ta'rifi
3. Hodisa ehtimoli va kombinatorikasini hisoblash
4. Geometrik ehtimollik
Nazariy ma'lumotlar
Tasodifiy hodisalar.
Tasodifiy hodisa- natijasi aniq belgilanmagan hodisa. Ushbu tushunchani juda keng ma'noda talqin qilish mumkin. Ya'ni: tabiatda hamma narsa tasodifiy, har qanday shaxsning paydo bo'lishi va tug'ilishi tasodifiy hodisa, do'konda mahsulot tanlash ham tasodifiy hodisa, imtihonda baho olish tasodifiy hodisa, kasallik va tiklanish tasodifiy hodisa. , va boshqalar.
Tasodifiy hodisalarga misollar:
~ Otishma gorizontalga berilgan burchak ostida o'rnatilgan quroldan amalga oshiriladi. Nishonga zarba berish tasodifiy, ammo snaryadning ma'lum bir "vilka" ga tegishi naqshdir. Siz snaryad qaysi masofaga yaqinroq va undan uzoqroqda uchmasligini belgilashingiz mumkin. Siz qandaydir "snana dispersiyasi vilkasini" olasiz
~ Xuddi shu tana bir necha marta tortiladi. To'g'ri aytganda, har safar siz turli xil natijalarga erishasiz, hatto ular ahamiyatsiz miqdorda farq qilsa ham, lekin ular boshqacha bo'ladi.
~ Xuddi shu marshrut bo'ylab uchayotgan samolyot ma'lum bir parvoz yo'lagiga ega bo'lib, uning ichida samolyot manevr qilishi mumkin, lekin u hech qachon qat'iy bir xil marshrutga ega bo'lmaydi.
~ Sportchi hech qachon bir vaqtning o'zida bir xil masofani bosib o'ta olmaydi. Uning natijalari ham ma'lum bir raqamli diapazonda bo'ladi.
Tajriba, tajriba, kuzatish sinovdir
Sinov- bir xil ketma-ketlikda, davomiylikda va boshqa bir xil parametrlarga muvofiq ravishda takroriy va muntazam takrorlanadigan muayyan shartlar majmuasini kuzatish yoki bajarish.
Keling, sportchining nishonga o'q otayotganini ko'rib chiqaylik. Uni amalga oshirish uchun sportchini tayyorlash, qurolga o'rnatish, nishonga olish va hokazo shartlarni bajarish kerak. "Ur" va "o'tkazib yuborilgan" - otishni o'rganish natijasida sodir bo'lgan voqealar.
Tadbir- yuqori sifatli sinov natijasi.
Voqea sodir bo'lishi yoki sodir bo'lmasligi mumkin.Hodisalar bosh harflar bilan ko'rsatilgan. Masalan: D = "Otuvchi nishonga tegdi." S="Oq to'p chizilgan." K="Yutishsiz tasodifiy olingan lotereya chiptasi.".
Tanga tashlash - bu sinov. Uning "gerbi" ning qulashi bitta voqea, "raqamli" ning qulashi ikkinchi voqea.
Har qanday test bir nechta hodisalarning yuzaga kelishini o'z ichiga oladi. Ulardan ba'zilari ma'lum bir vaqtda tadqiqotchi uchun zarur bo'lishi mumkin, boshqalari esa kerak bo'lmasligi mumkin.
Hodisa tasodifiy deb ataladi, agar, muayyan shartlar to'plami bajarilganda S bu sodir bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Keyinchalik, "S shartlari to'plami bajarildi" deyish o'rniga, biz qisqacha aytamiz: "sinov o'tkazildi". Shunday qilib, voqea test natijasi sifatida qabul qilinadi.
~ Otuvchi to'rtta hududga bo'lingan nishonga o'q uzadi. Otishma sinovdir. Nishonning ma'lum bir joyiga zarba berish - bu hodisa.
~ Idishda rangli sharlar bor. Bitta to'p urnadan tasodifiy ravishda olinadi. To'pni urnadan olish - bu sinov. Muayyan rangdagi to'pning paydo bo'lishi hodisadir.
Tasodifiy hodisalarning turlari
1. Hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi agar ulardan birining sodir bo'lishi xuddi shu sud muhokamasida boshqa hodisalarning sodir bo'lishini istisno qilsa.
~ Bir qism ehtiyot qismlar qutisidan tasodifiy chiqariladi. Standart qismning ko'rinishi nostandart qismning ko'rinishini yo'q qiladi. Voqealar € standart qism paydo bo'ldi" va nostandart qism paydo bo'ldi" - mos kelmaydi.
~ Tanga tashlandi. "Gerb" ning ko'rinishi yozuvning ko'rinishini istisno qiladi. "Gerb paydo bo'ldi" va "yozuv paydo bo'ldi" voqealari bir-biriga mos kelmaydi.
Bir nechta hodisalar shakllanadi to'liq guruh, agar ulardan kamida bittasi test natijasida paydo bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, to'liq guruh hodisalaridan kamida bittasining sodir bo'lishi ishonchli hodisadir.
Xususan, agar to‘liq guruhni tashkil etuvchi hodisalar juft-juft bir-biriga mos kelmasa, u holda test shu hodisalardan bittasi va faqat bittasiga olib keladi.Bu alohida holat biz uchun eng katta qiziqish uyg‘otadi, chunki u bundan keyin ham qo‘llaniladi.
~ Ikkita pul va kiyim-kechak lotereyasi chiptalari sotib olindi. Quyidagi hodisalardan biri va faqat bittasi albatta sodir bo'ladi:
1. “yutuq birinchi chiptaga tushdi, ikkinchisiga tushmadi”,
2. “yutuq birinchi chiptaga tushmadi, ikkinchisiga tushdi”,
3. “yutuq ikkala chiptaga ham tushdi”,
4. “Ikkala chipta ham yutilmadi”.
Ushbu hodisalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi,
~ Otuvchi nishonga qarata o'q uzdi. Quyidagi ikkita voqeadan biri albatta sodir bo'ladi: urish, miss. Bu ikki mos kelmaydigan hodisa ham to'liq guruhni tashkil qiladi.
2. Voqealar deyiladi teng darajada mumkin, agar ularning hech biri boshqasidan ko'ra mumkin emasligiga ishonish uchun asos bo'lsa.
~ Tanga otishda "gerb" ning paydo bo'lishi va yozuvning paydo bo'lishi bir xil darajada mumkin bo'lgan hodisalardir. Darhaqiqat, tanga bir hil materialdan tayyorlangan, muntazam silindrsimon shaklga ega, zarbning mavjudligi tanganing u yoki bu tomonining yo'qolishiga ta'sir qilmaydi, deb taxmin qilinadi.
~ Otilgan zarda bir yoki bir nechta nuqtalarning paydo bo'lishi bir xil darajada mumkin bo'lgan hodisalardir. Haqiqatan ham, matritsa bir hil materialdan tayyorlangan, muntazam ko'pburchak shakliga ega va nuqtalarning mavjudligi hech qanday yuzning yo'qolishiga ta'sir qilmaydi deb taxmin qilinadi.
3. Voqea deyiladi ishonchli, agar bu sodir bo'lishi mumkin bo'lmasa
4. Voqea deyiladi ishonchsiz, agar bu sodir bo'lmasa.
5. Voqea chaqiriladi qarama-qarshi ba'zi bir hodisaga, agar u ushbu hodisaning sodir bo'lmasligidan iborat bo'lsa. Qarama-qarshi hodisalar bir-biriga mos kelmaydi, lekin ulardan biri albatta sodir bo'lishi kerak. Qarama-qarshi hodisalar odatda inkorlar sifatida belgilanadi, ya'ni. Harf tepasida chiziqcha yozilgan. Qarama-qarshi hodisalar: A va Ā; U va Ū va boshqalar. .
Ehtimollikning klassik ta'rifi
Ehtimollik - ehtimollik nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri.
Ushbu kontseptsiyaning bir nechta ta'riflari mavjud. Keling, klassik deb ataladigan ta'rifni beraylik. Keyinchalik, biz ushbu ta'rifning zaif tomonlarini ko'rsatamiz va klassik ta'rifning kamchiliklarini bartaraf etishga imkon beradigan boshqa ta'riflarni beramiz.
Vaziyatni ko'rib chiqing: qutida 6 ta bir xil to'p bor, 2 tasi qizil, 3 tasi ko'k va 1 tasi oq. Shubhasiz, urnadan tasodifiy rangli (ya'ni, qizil yoki ko'k) to'pni chizish imkoniyati oq to'pni chizish imkoniyatidan kattaroqdir. Bu imkoniyat hodisaning ehtimoli (rangli to'pning paydo bo'lishi) deb ataladigan raqam bilan tavsiflanishi mumkin.
Ehtimollik- voqea sodir bo'lish ehtimoli darajasini tavsiflovchi raqam.
Ko'rib chiqilayotgan vaziyatda biz quyidagilarni belgilaymiz:
A hodisasi = "Rangli to'pni tortib olish."
Sinovning mumkin bo'lgan natijalarining har biri (sinov urnadan to'pni olib tashlashdan iborat) chaqiriladi. elementar (mumkin) natija va hodisa. Elementar natijalar quyidagi indekslar bilan harflar bilan belgilanishi mumkin, masalan: k 1, k 2.
Bizning misolimizda 6 ta to'p bor, shuning uchun 6 ta mumkin bo'lgan natijalar mavjud: oq to'p paydo bo'ladi; qizil to'p paydo bo'ldi; ko'k to'p paydo bo'ldi va hokazo. Ko'rinib turibdiki, bu natijalar juftlik mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi (faqat bitta to'p paydo bo'ladi) va ular teng darajada mumkin (to'p tasodifiy chizilgan, to'plar bir xil va yaxshilab aralashtiriladi).
Bizni qiziqtirgan voqea sodir bo'ladigan elementar natijalarni chaqiraylik qulay natijalar bu voqea. Bizning misolimizda tadbir afzal ko'riladi A(rangli to'pning ko'rinishi) quyidagi 5 ta natija:
Shunday qilib, voqea A elementar natijalardan biri qulay bo'lsa kuzatiladi A. Bu qutida 5 ta bo'lgan har qanday rangli to'pning ko'rinishi
Ko'rib chiqilayotgan misolda 6 ta elementar natija mavjud; Ulardan 5 tasi tadbirni ma'qullaydi A. Demak, P(A)= 5/6. Bu raqam rangli to'pning paydo bo'lish ehtimoli darajasining miqdoriy bahosini beradi.
Ehtimollik ta'rifi:
A hodisasining ehtimoli Ushbu hodisa uchun qulay natijalar sonining to'liq guruhni tashkil etuvchi barcha teng darajada mumkin bo'lgan mos kelmaydigan elementar natijalarning umumiy soniga nisbati deyiladi.
P(A)=m/n yoki P(A)=m: n, bu yerda:
m - qulay elementar natijalar soni A;
P- barcha mumkin bo'lgan elementar test natijalari soni.
Bu erda elementar natijalar mos kelmaydigan, bir xil darajada mumkin va to'liq guruhni tashkil qiladi deb taxmin qilinadi.
Quyidagi xususiyatlar ehtimollik ta'rifidan kelib chiqadi:
1. Ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng.
Haqiqatan ham, agar voqea ishonchli bo'lsa, testning har bir elementar natijasi voqeani afzal ko'radi. Ushbu holatda m = n shuning uchun p=1
2. Mumkin bo'lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng.
Haqiqatan ham, agar biron bir hodisa imkonsiz bo'lsa, unda testning elementar natijalaridan hech biri hodisani yoqtirmaydi. Bu holda m=0, demak, p=0.
3.Tasodifiy hodisaning ehtimoli noldan birgacha bo'lgan ijobiy sondir. 0
Keyingi mavzularda ba'zi hodisalarning ma'lum ehtimollaridan foydalangan holda boshqa hodisalarning ehtimollarini topish imkonini beruvchi teoremalar beriladi.
O'lchov. Talabalar guruhida 6 nafar qiz va 4 nafar o‘g‘il bola bor. Tasodifiy tanlangan talabaning qiz bo'lish ehtimoli qanday? yigit bo'ladimi?
p dev = 6/10 =0,6 p yun = 4/10 = 0,4
Zamonaviy qat'iy ehtimollar nazariyasi kurslarida "ehtimollik" tushunchasi to'plam-nazariy asosda qurilgan. Keling, ushbu yondashuvning ba'zi jihatlarini ko'rib chiqaylik.
Sinov natijasida hodisalarning faqat bittasi sodir bo'lsin: w i(i=1, 2, .... n). Voqealar w i- chaqirdi elementar hodisalar (elementar natijalar). HAQIDA shundan kelib chiqadiki, elementar hodisalar juftlik mos kelmaydi. Sinovda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan barcha elementar hodisalar to'plami deyiladi elementar hodisalar maydoniũ (yunoncha bosh harf omega) va elementar hodisalarning o'zi bu bo'shliqning nuqtalari..
Tadbir A kichik to'plam bilan aniqlangan (Ō bo'sh joy), uning elementlari elementar natijalar ijobiydir A; voqea IN Elementlari ijobiy natijalarga ega bo'lgan Ō kichik to'plamdir IN, Shunday qilib, testda sodir bo'lishi mumkin bo'lgan barcha hodisalar to'plami Ō ning barcha kichik to'plamlari to'plamidir.Ō ning o'zi testning har qanday natijasi uchun sodir bo'ladi, shuning uchun Ō ishonchli hodisadir; fazoning bo'sh kichik to'plami Ō - bu mumkin bo'lmagan hodisa (u sinovning hech qanday natijasi ostida sodir bo'lmaydi).
Boshlang'ich voqealar barcha mavzu voqealari orasidan ajralib turadi, "ularning har biri faqat bitta Ō elementni o'z ichiga oladi.
Har bir elementar natija w i ijobiy raqamga mos keladi p i- bu natijaning ehtimoli va barchasining yig'indisi p i 1 ga teng yoki yig'indi belgisi bilan bu fakt ifoda shaklida yoziladi:
Ta'rifga ko'ra, ehtimollik P(A) voqealar A ijobiy elementar natijalar ehtimoli yig'indisiga teng A. Shuning uchun ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng, imkonsiz hodisa nolga teng, ixtiyoriy hodisa esa noldan birgacha.
Barcha natijalar teng darajada mumkin bo'lgan muhim maxsus holatni ko'rib chiqaylik.Natijalar soni n ga, barcha natijalar ehtimoli yig'indisi bittaga teng; shuning uchun har bir natijaning ehtimoli 1/p. Tadbirga ruxsat bering A m natijalarni qo'llab-quvvatlaydi.
Hodisa ehtimoli A ijobiy natijalar ehtimoli yig'indisiga teng A:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Ehtimollikning klassik ta'rifi olinadi.
Shuningdek bor aksiomatik"ehtimollik" tushunchasiga yondashuv. Taklif etilayotgan aksiomalar tizimida. Kolmogorov A.N., aniqlanmagan tushunchalar elementar hodisa va ehtimollikdir. Mantiqiy jihatdan tugallangan ehtimollik nazariyasini qurish tasodifiy hodisa va uning ehtimolini aksiomatik aniqlashga asoslanadi.
Bu erda ehtimollikni belgilaydigan aksiomalar:
1. Har bir voqea A manfiy bo'lmagan haqiqiy raqam tayinlangan R(A). Bu raqam hodisaning ehtimoli deb ataladi A.
2. Ishonchli hodisaning ehtimoli birga teng:
3. Juftlik mos kelmaydigan hodisalardan kamida bittasining ro'y berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng.
Bu aksiomalar asosida teorema sifatida ehtimollarning xossalari va ular orasidagi bog’liqlik chiqariladi.
Ehtimollar nazariyasi - tasodifiy hodisalarning qonuniyatlarini o'rganadigan matematik fan. Ehtimoliy eksperiment (test, kuzatish) natijasini oldindan bashorat qilib bo‘lmaydigan tajribadir. Ushbu tajribada har qanday natija (natija) hisoblanadi voqea.
Hodisa bo'lishi mumkin ishonchli(har doim sinov natijasida yuzaga keladi); imkonsiz(sinov paytida aniq bo'lmaydi); tasodifiy(ushbu tajriba sharoitida sodir bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin).
Oddiyroq hodisalarga bo'linib bo'lmaydigan hodisa deyiladi boshlang'ich. Bir nechta elementar hodisalarning birikmasi sifatida taqdim etilgan hodisa deyiladi murakkab(kompaniya zarar ko'rmadi - foyda ijobiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin).
Bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydigan ikkita hodisa (soliqlarning ko'payishi - ixtiyoriy daromadning ko'payishi; investitsiyalarning ko'payishi - xavfning pasayishi) deyiladi. mos kelmaydigan.
Boshqacha qilib aytganda, ikkita hodisa mos kelmaydi, agar ulardan birining paydo bo'lishi ikkinchisining paydo bo'lishini istisno qilsa. Aks holda ular qo'shma(sotish hajmining oshishi - foydaning oshishi). Voqealar deyiladi qarama-qarshi, agar ulardan biri sodir bo'lsa va faqat ikkinchisi sodir bo'lmasa (mahsulot sotilgan - mahsulot sotilmaydi).
Voqea ehtimoli - Bu hodisalarni yuzaga kelish ehtimoli darajasiga ko'ra taqqoslash uchun kiritilgan raqamli o'lchovdir.
Ehtimollikning klassik ta'rifi. Ehtimollik R(A) hodisalar A son nisbati deyiladi m hodisaning yuzaga kelishi uchun qulay bo'lgan teng darajada mumkin bo'lgan elementar hodisalar (natijalar). A, umumiy songa n Ushbu tajribaning barcha mumkin bo'lgan elementar natijalari:
Yuqoridagilardan ehtimollikning quyidagi asosiy xususiyatlari kelib chiqadi:
1,0 £ R(A) £ 1.
2. Muayyan hodisaning ehtimoli A 1 ga teng: R(A) = 1.
3. A imkonsiz hodisaning ehtimoli 0 ga teng: R(A) = 0.
4. Agar hodisalar A Va IN bir-biriga mos kelmaydi R(A + IN) = R(A) + R(IN); voqealar bo'lsa A Va IN demak, qo'shma R(A + IN) = R(A) + R(IN) - R(A . B).(R(A . B) bu hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli).
5. Agar A va qarama-qarshi hodisalar, keyin R() = 1 - R(A).
Agar bir hodisaning sodir bo'lish ehtimoli boshqa bir hodisaning sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, bunday hodisalar deyiladi mustaqil.
Ko'p sonli natijalar bilan tavsiflangan hodisalarning ehtimolini to'g'ridan-to'g'ri hisoblashda kombinatorik formulalardan foydalanish kerak. Hodisalar guruhini o'rganish (gipotezalar)
umumiy ehtimollik formulalari, Bayes va Bernulli qo'llaniladi ( n mustaqil testlar - tajribalarni takrorlash).
Da ehtimollikni statistik aniqlash voqealar A ostida n voqea sodir bo'lgan haqiqatda o'tkazilgan testlarning umumiy sonini bildiradi A aniq uchrashdi m bir marta. Bu holda munosabat m/n nisbiy chastota (chastota) deb ataladi Wn(A) hodisaning sodir bo'lishi A V n testlar o'tkazildi.
tomonidan ehtimollikni aniqlashda ekspert baholash usuli ostida n voqea sodir bo'lish ehtimoli bo'yicha suhbatdan o'tgan ekspertlar (ma'lum bir sohadagi mutaxassislar) soniga ishora qiladi. A. Qayerda m qaysi voqea ular da'vo A sodir bo'ladi.
Raqamli ifodaga ega bo'lgan miqdorlarni kuzatish natijalarini tasvirlash uchun tasodifiy hodisa tushunchasi etarli emas. Masalan, korxonaning moliyaviy natijasini tahlil qilishda ularni birinchi navbatda uning hajmi qiziqtiradi. Shuning uchun tasodifiy hodisa tushunchasi tasodifiy miqdor tushunchasi bilan to'ldiriladi.
ostida tasodifiy o'zgaruvchi(SV) - kuzatish (sinov) natijasida oldindan noma'lum va tasodifiy holatlarga bog'liq bo'lgan o'z qiymatlarining mumkin bo'lgan to'plamidan birini qabul qiladigan miqdor tushuniladi. Har bir elementar hodisa uchun SV bitta ma'noga ega.
Diskret va uzluksiz SVlar mavjud. Uchun diskret SV uning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami cheklangan yoki hisoblanishi mumkin, ya'ni SV ma'lum bir ehtimollik bilan oldindan sanab o'tilishi mumkin bo'lgan alohida ajratilgan qiymatlarni oladi. Uchun davomiy SV, uning mumkin bo'lgan qiymatlari to'plami cheksiz va sanab bo'lmaydigan, masalan, berilgan intervalning barcha raqamlari, ya'ni. SV ning mumkin bo'lgan qiymatlarini oldindan sanab bo'lmaydi va doimiy ravishda ma'lum bir bo'shliqni to'ldiradi.
Tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: X- supermarketdagi mijozlarning kunlik soni (diskret SV); Y- ma'lum bir ma'muriy markazda kun davomida tug'ilgan bolalar soni (diskret SV); Z- artilleriya snaryadining ta'sir qilish nuqtasining koordinatasi (uzluksiz SH).
Iqtisodiyotda ko'rib chiqilgan ko'plab SVlar shunchalik ko'p mumkin bo'lgan qiymatlarga egaki, ularni uzluksiz SV ko'rinishida ko'rsatish qulayroqdir. Masalan, valyuta kurslari, uy xo'jaliklarining daromadlari va boshqalar.
SVni tavsiflash uchun SV ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi munosabatni o'rnatish kerak. Bu nisbat chaqiriladi SV ning tarqalish qonuni. Diskret SV uchun uni jadvalli, analitik (formula ko'rinishida) yoki grafik ko'rsatish mumkin. Masalan, SV uchun jadval X