Funktsiyaning juft yoki toq ekanligini qanday tushunish mumkin. Funktsiya pariteti. Funktsiyaning intervaldagi eng katta va eng kichik qiymati
Funktsiya har qanday va tenglik uchun juft (toq) deb ataladi 
.
Juft funksiya grafigi o‘qga nisbatan simmetrikdir 
.
Toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir.
6.2-misol. Funktsiyaning juft yoki toq ekanligini tekshiring
1)
;
2)
;
3)
.
Yechim.
1) Funktsiya qachon aniqlanadi 
. Biz topamiz 
.
Bular. 
. Bu shuni anglatadiki, bu funktsiya tengdir.
2) Funktsiya qachon aniqlanadi 
Bular. 
. Shunday qilib, bu funktsiya g'alati.
3) funksiya uchun aniqlangan, ya'ni. Uchun
,
. Shuning uchun funksiya juft ham, toq ham emas. Uni umumiy shakl funksiyasi deb ataymiz.
3. Monotonlik uchun funksiyani o'rganish.
Funktsiya 
Agar bu oraliqda argumentning har bir katta qiymati funktsiyaning kattaroq (kichik) qiymatiga to'g'ri kelsa, ma'lum bir oraliqda ortish (kamayish) deb ataladi.
Muayyan oraliqda ortib boruvchi (kamayuvchi) funksiyalar monotonik deyiladi.
Agar funktsiya 
oraliqda differensiallanadi 
va ijobiy (salbiy) hosilaga ega 
, keyin funksiya 
bu oraliqda ortadi (kamayadi).
6.3-misol. Funksiyalarning monotonlik intervallarini toping
1)
;
3)
.
Yechim.
1) Bu funksiya butun son qatorida aniqlanadi. Keling, hosilani topamiz.
Agar hosilasi nolga teng 
Va 
. Ta'rif sohasi nuqtalar bilan bo'lingan raqamlar o'qidir 
,
intervallarda. Har bir intervaldagi hosila belgisini aniqlaymiz.
Intervalda 
hosila manfiy, funksiya shu intervalda kamayadi.
Intervalda 
hosila ijobiy, shuning uchun funktsiya bu oraliqda ortadi.
2) Bu funksiya agar aniqlanadi 
yoki
.
Har bir oraliqda kvadratik uchlik belgisini aniqlaymiz.
Shunday qilib, funksiyani aniqlash sohasi
Keling, hosilani topamiz 
,
, Agar 
, ya'ni. 
, Lekin 
. Intervallardagi hosila belgisini aniqlaymiz 
.
Intervalda 
hosila manfiy, shuning uchun funksiya intervalda kamayadi 
. Intervalda 
hosilasi musbat, funksiya intervalda ortadi 
.
4. Ekstremumdagi funktsiyani o'rganish.
Nuqta 
funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasi deb ataladi 
, agar nuqtaning bunday mahallasi mavjud bo'lsa 
bu hamma uchun 
bu mahalladan tengsizlik mavjud 
.
Funksiyaning maksimal va minimal nuqtalari ekstremum nuqtalar deyiladi.
Agar funktsiya 
nuqtada 
ekstremumga ega bo'lsa, bu nuqtada funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart).
Hosil nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar kritik deyiladi.
5. Ekstremumning mavjudligi uchun etarli shartlar.
1-qoida. Agar o'tish paytida (chapdan o'ngga) tanqidiy nuqta orqali 
hosila 
belgisini "+" dan "-" ga, so'ngra nuqtaga o'zgartiradi 
funktsiyasi 
maksimal darajaga ega; agar "-" dan "+" gacha bo'lsa, minimal; Agar 
belgisini o'zgartirmaydi, keyin ekstremum yo'q.
2-qoida. Nuqtaga ruxsat bering 
funktsiyaning birinchi hosilasi 
nolga teng 
, va ikkinchi hosila mavjud va noldan farq qiladi. Agar 
, Bu 
- maksimal nuqta, agar 
, Bu 
– funksiyaning minimal nuqtasi.
Misol 6.4 . Maksimal va minimal funktsiyalarni o'rganing:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Yechim.
1) Funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz 
.
Keling, hosilani topamiz 
va tenglamani yeching 
, ya'ni. 
.Bu yerdan 
- tanqidiy nuqtalar.
oraliqlarda hosila belgisini aniqlaymiz, 
.
Nuqtalardan o'tayotganda 
Va 
lotin belgisi "-" dan "+" ga o'zgaradi, shuning uchun 1-qoidaga muvofiq 
- minimal ball.
Bir nuqtadan o'tayotganda 
lotin belgisi "+" dan "-" ga o'zgaradi, shuning uchun 
- maksimal nuqta.
,
.
2) funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz 
. Keling, hosilani topamiz 
.
Tenglamani yechgandan keyin 
, topamiz 
Va 
- tanqidiy nuqtalar. Agar maxraj bo'lsa 
, ya'ni. 
, keyin hosila mavjud emas. Shunday qilib, 
- uchinchi muhim nuqta. Hosilaning ishorasini intervallarda aniqlaylik.
Demak, funksiya nuqtada minimumga ega 
, maksimal ball 
Va 
.
3) Funktsiya aniqlangan va uzluksiz bo'lsa 
, ya'ni. da 
.
Keling, hosilani topamiz 
.
Kritik nuqtalarni topamiz: 
Nuqtalarning qo'shnilari 
ta'rif sohasiga tegishli emas, shuning uchun ular ekstremal emas. Shunday qilib, keling, tanqidiy fikrlarni ko'rib chiqaylik 
Va 
.
4) Funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz 
. 2-qoidadan foydalanamiz. Hosilni toping 
.
Kritik nuqtalarni topamiz:
Keling, ikkinchi hosilani topamiz 
nuqtalarda uning belgisini aniqlang 
Nuqtalarda 
funktsiya minimal qiymatga ega.
Nuqtalarda 
funktsiya maksimalga ega.
Hatto funktsiya.
Hatto ishorasi o‘zgarganda belgisi o‘zgarmaydigan funksiyadir x.
x tenglik amal qiladi f(–x) = f(x). Imzo x belgisiga ta'sir qilmaydi y.
Juft funksiya grafigi koordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir (1-rasm).
Juft funksiyaga misollar:
y=cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Tushuntirish:
Funktsiyani olaylik y = x 2 yoki y = –x 2 .
Har qanday qiymat uchun x funktsiya ijobiydir. Imzo x belgisiga ta'sir qilmaydi y. Grafik koordinata o'qiga nisbatan simmetrikdir. Bu teng funksiya.
G'alati funktsiya.
G'alati ishorasi oʻzgarganda belgisi oʻzgaradigan funksiya x.
Boshqacha qilib aytganda, har qanday qiymat uchun x tenglik amal qiladi f(–x) = –f(x).
Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir (2-rasm).
G'alati funktsiyaga misollar:
y= gunoh x
y = x 3
y = –x 3
Tushuntirish:
y = – funksiyasini olaylik. x 3 .
Barcha ma'nolar da u minus belgisiga ega bo'ladi. Bu belgi x belgisiga ta'sir qiladi y. Agar mustaqil o'zgaruvchi musbat son bo'lsa, funktsiya musbat, agar mustaqil o'zgaruvchi manfiy son bo'lsa, funktsiya manfiy bo'ladi: f(–x) = –f(x).
Funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrikdir. Bu g'alati funktsiya.
Juft va toq funksiyalarning xossalari:
ESLATMA:
Barcha funktsiyalar juft yoki toq emas. Bunday gradatsiyaga bo'ysunmaydigan funktsiyalar mavjud. Masalan, ildiz funktsiyasi da = √X juft yoki toq funksiyalarga taalluqli emas (3-rasm). Bunday funktsiyalarning xususiyatlarini sanab o'tishda tegishli tavsif berilishi kerak: na juft, na toq.
Davriy funktsiyalar.
Ma'lumki, davriylik - muayyan jarayonlarning ma'lum bir vaqt oralig'ida takrorlanishi. Ushbu jarayonlarni tavsiflovchi funktsiyalar deyiladi davriy funktsiyalar. Ya'ni, bu grafiklarida ma'lum sonli intervallarda takrorlanadigan elementlar mavjud bo'lgan funktsiyalardir.
Qaysi biri sizga u yoki bu darajada tanish edi. Shuningdek, u yerda funksiya xossalari zaxirasi bosqichma-bosqich to‘ldirilishi qayd etildi. Ushbu bo'limda ikkita yangi xususiyat muhokama qilinadi.
Ta'rif 1.
y = f(x), x ê X funksiyasi, agar X to'plamdagi har qanday x qiymat uchun f (-x) = f (x) tenglik bajarilgan taqdirda ham chaqiriladi.
Ta'rif 2.
y = f(x), x ê X funksiyasi toq deyiladi, agar X to'plamdagi har qanday x qiymat uchun f (-x) = -f (x) tenglik bajarilsa.
y = x 4 juft funksiya ekanligini isbotlang.
Yechim. Bizda: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Lekin(-x) 4 = x 4. Demak, har qanday x uchun f(-x) = f(x) tenglik amal qiladi, ya'ni. funksiyasi teng.
Xuddi shunday, y - x 2, y = x 6, y - x 8 funktsiyalari juft ekanligini isbotlash mumkin.
y = x 3 ~ toq funksiya ekanligini isbotlang.
Yechim. Bizda: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Lekin (-x) 3 = -x 3. Bu shuni anglatadiki, har qanday x uchun f (-x) = -f (x) tenglik amal qiladi, ya'ni. funksiya g'alati.
Xuddi shunday, y = x, y = x 5, y = x 7 funksiyalarning toq ekanligini isbotlash mumkin.
Siz va men bir necha bor amin bo'lganmizki, matematikadagi yangi atamalar ko'pincha "er yuzida" kelib chiqadi, ya'ni. ularni qandaydir tarzda tushuntirish mumkin. Bu juft va toq funksiyalarda ham shunday. Qarang: y - x 3, y = x 5, y = x 7 toq funksiyalar, y = x 2, y = x 4, y = x 6 esa juft funksiyalardir. Va umuman olganda, y = x" ko'rinishidagi har qanday funktsiya uchun (quyida biz ushbu funktsiyalarni maxsus o'rganamiz), bu erda n - natural son, biz xulosa qilishimiz mumkin: agar n toq son bo'lsa, u holda y = x" funktsiyasi g'alati; agar n juft son bo‘lsa, u holda y = xn funksiya juft bo‘ladi.
Juft ham, toq ham bo‘lmagan funksiyalar ham bor. Masalan, y = 2x + 3 funksiyasi shundaydir. Darhaqiqat, f(1) = 5 va f (-1) = 1. Ko'rib turganingizdek, bu erda f(-x) = o'ziga xoslik ham emas. f ( x), na f(-x) = -f(x) identifikatori.
Demak, funktsiya juft, toq yoki hech biri bo'lmasligi mumkin.
Berilgan funksiyaning juft yoki toq ekanligini oʻrganish odatda paritetni oʻrganish deb ataladi.
1 va 2 ta'riflar funksiyaning x va -x nuqtalaridagi qiymatlariga ishora qiladi. Bu funksiya x nuqtada ham, -x nuqtada ham aniqlangan deb faraz qiladi. Demak, -x nuqta x nuqta bilan bir vaqtda funksiyaning aniqlanish sohasiga tegishli. Agar X sonli to'plam o'zining har bir elementi x bilan birga qarama-qarshi element -xni ham o'z ichiga olsa, X simmetrik to'plam deyiladi. Aytaylik, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simmetrik to'plamlar, while ; (∞;∞) simmetrik toʻplamlar, , [–5;4] esa assimetrik toʻplamlardir.
– Hatto funksiyalar ham nosimmetrik to‘plam bo‘lgan ta’rif sohasiga egami? G'alatilarmi?
– Agar D( f) assimetrik to‘plam bo‘lsa, u holda funksiya nima?
– Shunday qilib, agar funktsiya da = f(X) – juft yoki toq, u holda uning aniqlanish sohasi D( f) simmetrik to‘plamdir. Qarama-qarshi gap to'g'rimi: agar funktsiyaning aniqlanish sohasi simmetrik to'plam bo'lsa, u juft yoki toqmi?
- Bu shuni anglatadiki, ta'rif sohasining nosimmetrik to'plamining mavjudligi zaruriy shart, ammo etarli emas.
– Xo‘sh, funksiyani paritet uchun qanday tekshirasiz? Keling, algoritm yaratishga harakat qilaylik.
Slayd
Paritet uchun funktsiyani o'rganish algoritmi
1. Funksiyaning aniqlanish sohasi simmetrik ekanligini aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, u holda funktsiya juft ham, toq ham emas. Ha bo'lsa, algoritmning 2-bosqichiga o'ting.
2. uchun ifoda yozing f(–X).
3. Taqqoslash f(–X).Va f(X):
- Agar f(–X).= f(X), u holda funksiya juft bo‘ladi;
- Agar f(–X).= – f(X), u holda funksiya toq bo'ladi;
- Agar f(–X) ≠ f(X) Va f(–X) ≠ –f(X), u holda funksiya juft ham, toq ham emas.
Misollar:
a) funksiyani paritet uchun tekshiring da= x 5 +; b) da= ; V) da= .
Yechim.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simmetrik toʻplam.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => funksiya h(x)= x 5 + toq.
b) y =,
da = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), assimetrik to'plam, ya'ni funktsiya juft ham, toq ham emas.
V) f(X) =, y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Variant 2
1. Berilgan to‘plam simmetrikmi: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Funktsiyaning grafigini chizing da = f(X), Agar da = f(X) juft funksiyadir.
Funktsiyaning grafigini chizing da = f(X), Agar da = f(X) g‘alati funksiyadir.
O'zaro tekshirish slayd.
6. Uyga vazifa: №11.11, 11.21,11.22;
Paritet xossasining geometrik ma’nosini isbotlash.
***(Yagona davlat imtihonini topshirish varianti).
1. y = f(x) toq funksiya butun sonlar qatorida aniqlangan. x o'zgaruvchining har qanday manfiy bo'lmagan qiymati uchun bu funktsiyaning qiymati g() funktsiyasining qiymatiga to'g'ri keladi. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( funksiyaning qiymatini toping. X) = da X = 3.
7. Xulosa qilish