Dönen cisimlerin hacim alanlarının hesaplanması. Bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır? Not defterlerinde çalışın

Bir devrim cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Formülde sayının integralden önce gelmesi gerekir. Böylece oldu - hayatta dönen her şey bu sabitle bağlantılıdır.

Tamamlanan çizimden “a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceğini tahmin etmenin kolay olduğunu düşünüyorum.

İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düz şekil üstteki parabol grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur.

Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. Bu hiçbir şeyi değiştirmez - formüldeki integralin karesi alınır: dolayısıyla integral her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı.

Bu formülü kullanarak bir dönme cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğim gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevabınızda boyutu - kübik birimleri belirtmelisiniz. Yani dönme gövdemizde yaklaşık 3,35 "küp" vardır. Neden kübik birimler? Çünkü en evrensel formülasyon. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vs. hayal gücünüzün uçan daireye kaç tane yeşil adam koyabileceği budur.

Örnek 2

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun,

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Pratikte de sıklıkla karşılaşılan iki karmaşık sorunu daha ele alalım.

Örnek 3

Çizgilerle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın ve

Çözüm: Denklemin ekseni tanımladığını unutmadan, çizimde ,,, çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Kendi ekseni etrafında döndüğünde dört köşeli gerçeküstü bir çörek haline geliyor.

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark.

Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde kesik koni elde edilir. Bu kesik koninin hacmini ile gösterelim.

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz, sadece biraz daha küçük olan kesik bir koni de elde edersiniz. Hacmini ile gösterelim.

Ve açıkçası, hacimlerdeki fark tam olarak "çörekimizin" hacmidir.

Dönel bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanırız:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen dönme gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda çözümün kesik koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilmesi ilginçtir.

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

Şimdi biraz dinlenelim ve size geometrik illüzyonlardan bahsedelim.

İnsanlar genellikle ciltlerle ilgili yanılsamalar yaşarlar, bu da Perelman'ın (başka biri) kitapta fark ettiği bir şeydir. Eğlenceli geometri. Çözülmüş problemdeki düz şekle bakın - alan olarak küçük görünüyor ve devrimin gövdesinin hacmi 50 kübik birimin biraz üzerinde, bu da çok büyük görünüyor. Bu arada, ortalama bir insan tüm hayatı boyunca bir odanın 18 metrekaresine eşdeğer sıvı içer, bu da tam tersine çok küçük bir hacim gibi görünüyor.

Genel olarak SSCB'deki eğitim sistemi gerçekten en iyisiydi. Perelman'ın 1950'de yayınlanan aynı kitabı, mizahçının dediği gibi, çok iyi gelişiyor, düşünerek size orijinal, standart dışı çözümler aramayı öğretiyor. Geçenlerde bazı bölümleri büyük bir ilgiyle yeniden okudum, tavsiye ederim, hümanistlerin bile okuyabileceği bir kitap. Hayır, boş zaman teklif ettiğim için gülümsemenize gerek yok, iletişimde bilgi ve geniş ufuklar harika bir şey.

Lirik bir incelemeden sonra, yaratıcı bir görevi çözmek tam olarak uygundur:

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanmış düz bir şeklin ekseni etrafında dönmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Lütfen tüm durumların bantta gerçekleştiğini, yani aslında hazır entegrasyon sınırlarının verildiğini unutmayın. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini doğru çizin, size bununla ilgili ders materyalini hatırlatayım grafiklerin geometrik dönüşümleri : eğer argüman ikiye bölünürse: , grafikler eksen boyunca iki kez uzatılır. En az 3-4 puan bulmanız tavsiye edilir trigonometrik tablolara göre Çizimi daha doğru tamamlamak için. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap. Bu arada, görev çok rasyonel değil, rasyonel olarak çözülebilir.

Ders türü: birleştirilmiş.

Dersin amacı:İntegralleri kullanarak dönel cisimlerin hacimlerini hesaplamayı öğrenin.

Görevler:

çeşitli geometrik şekillerden eğrisel yamukları tanımlama yeteneğini pekiştirmek ve eğrisel yamukların alanlarını hesaplama becerisini geliştirmek;
üç boyutlu figür kavramını tanımak;
devrim cisimlerinin hacimlerini hesaplamayı öğrenin;
Mantıksal düşüncenin gelişimini, yetkin matematiksel konuşmayı, çizimleri oluştururken doğruluğu teşvik etmek;
konuya olan ilgiyi geliştirmek, matematiksel kavram ve görsellerle çalışmak, nihai sonuca ulaşmada iradeyi, bağımsızlığı ve azmi geliştirmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

Gruptan selamlar. Ders hedeflerini öğrencilere iletin.

Refleks. Sakin melodi.

– Bugünkü derse bir benzetmeyle başlamak istiyorum. “Bir zamanlar her şeyi bilen bilge bir adam yaşarmış. Bir adam bilgenin her şeyi bilmediğini kanıtlamak istedi. Avucunda bir kelebeği tutarak sordu: "Söyle bana adaçayı, ellerimde hangi kelebek var: ölü mü, diri mi?" Kendisi de şöyle düşünüyor: “Yaşayan, onu öldüreceğim derse; ölü, onu serbest bırakırım der.” Bilge düşündükten sonra cevap verdi: "Herşey senin elinde". (Sunum.Slayt)

– Bu nedenle, bugün verimli bir şekilde çalışalım, yeni bir bilgi birikimi edinelim ve edinilen beceri ve yetenekleri gelecekteki yaşamımızda ve pratik faaliyetlerde uygulayalım. "Herşey senin elinde".

II. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı.

– Daha önce çalışılan materyalin ana noktalarını hatırlayalım. Bunu yapmak için görevi tamamlayalım "Fazla kelimeyi ortadan kaldırın."(Slayt.)

(Öğrenci kimlik kartına gider ve fazladan kelimeyi silmek için silgi kullanır.)

- Sağ "Diferansiyel". Kalan kelimeleri ortak bir kelimeyle adlandırmaya çalışın. (Integral hesabı.)

– İntegral hesabıyla ilgili ana aşamaları ve kavramları hatırlayalım..

“Matematiksel grup”.

Egzersiz yapmak. Boşlukları kurtarın. (Öğrenci dışarı çıkar ve gerekli kelimeleri kalemle yazar.)

– Daha sonra integrallerin uygulamasına ilişkin bir özet duyacağız.

Not defterlerinde çalışın.

– Newton-Leibniz formülü İngiliz fizikçi Isaac Newton (1643–1727) ve Alman filozof Gottfried Leibniz (1646–1716) tarafından türetilmiştir. Ve bu şaşırtıcı değil çünkü matematik doğanın kendisinin konuştuğu dildir.

– Bu formülün pratik problemleri çözmek için nasıl kullanıldığını düşünelim.

Örnek 1: Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın

Çözüm: Koordinat düzleminde fonksiyonların grafiklerini oluşturalım . Şeklin bulunması gereken alanını seçelim.

III. Yeni materyal öğrenme.

– Ekrana dikkat edin. İlk resimde ne gösteriliyor? (Slayt) (Şekilde düz bir şekil gösterilmektedir.)

– İkinci resimde ne gösteriliyor? Bu rakam düz mü? (Slayt) (Şekilde üç boyutlu bir şekil gösterilmektedir.)

– Uzayda, yeryüzünde ve günlük yaşamda sadece düz figürlerle değil, üç boyutlu figürlerle de karşılaşıyoruz, peki bu tür cisimlerin hacimlerini nasıl hesaplayabiliriz? Örneğin bir gezegenin, kuyruklu yıldızın, göktaşının vb. hacmi.

– İnsanlar hem ev inşa ederken hem de bir kaptan diğerine su dökerken hacmi düşünüyorlar. Hacimleri hesaplamaya yönelik kural ve tekniklerin ortaya çıkması gerekiyordu; bunların ne kadar doğru ve makul olduğu başka bir konudur.

Bir öğrenciden mesaj. (Tyurina Vera.)

1612 yılı, ünlü gökbilimci Johannes Kepler'in yaşadığı Avusturya'nın Linz kenti sakinleri için özellikle üzüm konusunda oldukça verimli geçti. İnsanlar şarap fıçıları hazırlıyorlardı ve hacimlerini pratik olarak nasıl belirleyeceklerini bilmek istiyorlardı. (Slayt 2)

– Böylece Kepler'in ele alınan çalışmaları, 17. yüzyılın son çeyreğinde doruğa ulaşan tüm bir araştırma akışının temelini attı. I. Newton ve G.V.'nin eserlerinde tasarım. Diferansiyel ve integral hesabının Leibniz'i. O andan itibaren değişkenlerin matematiği, matematiksel bilgi sisteminde öncü bir yer edindi.

– Bugün sen ve ben bu tür pratik faaliyetlerle meşgul olacağız, bu nedenle,

Dersimizin konusu: “Belirli bir integral kullanarak dönel cisimlerin hacimlerini hesaplamak.” (Slayt)

– Aşağıdaki görevi tamamlayarak devrim grubunun tanımını öğreneceksiniz.

"Labirent".

Labirent (Yunanca kelime) yeraltına inmek anlamına gelir. Labirent, yollar, geçitler ve birbirine bağlı odalardan oluşan karmaşık bir ağdır.

Ancak tanım "bozuldu" ve geriye ok şeklinde ipuçları kaldı.

Egzersiz yapmak. Kafa karıştırıcı durumdan bir çıkış yolu bulun ve tanımını yazın.

Slayt. “Harita talimatı” Hacimlerin hesaplanması.

Belirli bir integral kullanarak belirli bir cismin, özellikle de bir devrim cismin hacmini hesaplayabilirsiniz.

Bir devrim gövdesi, kavisli bir yamuğun tabanı etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir gövdedir (Şekil 1, 2)

Dönen cismin hacmi aşağıdaki formüllerden biri kullanılarak hesaplanır:

1. OX ekseni etrafında.

2. , eğer kavisli bir yamuğun dönüşü op-amp'in ekseni etrafında.

Her öğrenciye bir talimat kartı verilir. Öğretmen ana noktaları vurgular.

– Öğretmen tahtadaki örneklerin çözümlerini açıklar.

A. S. Puşkin'in "Çar Saltan'ın, şanlı ve güçlü oğlu Prens Guidon Saltanovich'in ve güzel Prenses Kuğu'nun Hikayesi" adlı ünlü masalından bir alıntıyı ele alalım. (Slayt 4):

…..
Ve sarhoş haberci getirdi
Aynı gün sıralama şu şekildedir:
“Kral boyarlarına emir veriyor,
Vakit kaybetmeden,
Ve kraliçe ve yavruları
Gizlice suyun derinliklerine at.”
Yapacak bir şey yok: boyarlar,
Hükümdar için endişeleniyorum
Ve genç kraliçeye,
Yatak odasına bir kalabalık geldi.
Kralın vasiyetini açıkladılar -
O ve oğlunun kötü bir payı var,
Kararnameyi yüksek sesle okuduk.
Ve kraliçe aynı saatte
Beni oğlumla birlikte fıçıya koydular.
Katran döktüler ve uzaklaştılar
Ve beni okiyan'a soktular -
Çar Saltan'ın emri buydu.

Kraliçe ve oğlunun sığabilmesi için varilin hacmi ne kadar olmalıdır?

– Aşağıdaki görevleri göz önünde bulundurun

1. Çizgilerle sınırlanan eğrisel bir yamuğun ordinat ekseni etrafında döndürülerek elde edilen cismin hacmini bulun: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Cevap: 1163 santimetre 3 .

Parabolik bir yamuğun apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun y = , x = 4, y = 0.

IV. Yeni malzemenin konsolidasyonu

Örnek 2. Taç yaprağının x ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini hesaplayın y = x 2 , y 2 = x.

Fonksiyonun grafiklerini oluşturalım. y = x 2 , y 2 = x. Takvim y2 = x forma dönüştür sen= .

Sahibiz V = V 1 – V 2 Her fonksiyonun hacmini hesaplayalım

– Şimdi Moskova'daki radyo istasyonunun Shabolovka'daki kulesine, dikkat çekici Rus mühendis, fahri akademisyen V. G. Shukhov'un tasarımına göre inşa edilmiş olan kuleye bakalım. Parçalardan oluşur - dönme hiperboloitleri. Ayrıca her biri bitişik daireleri birbirine bağlayan düz metal çubuklardan yapılmıştır (Şekil 8, 9).

- Sorunu ele alalım.

Hiperbol yaylarının döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun Şekil 2'de gösterildiği gibi hayali ekseni etrafında. 8, nerede

küp birimler

Grup ödevleri. Öğrenciler görevlerle kura çeker, Whatman kağıdına çizimler yapar ve grup temsilcilerinden biri çalışmayı savunur.

1. grup.

Vurmak! Vurmak! Bir darbe daha!
Top kaleye doğru uçuyor - TOP!
Ve bu bir karpuz topu
Yeşil, yuvarlak, lezzetli.
Daha iyi bakın - ne top!
Dairelerden başka hiçbir şeyden yapılmamıştır.
Karpuzu daireler halinde kesin
Ve onları tadın.

Sınırlı fonksiyonun OX ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun

Hata! Yer imi tanımlanmadı.

– Lütfen bana bu rakamla nerede karşılaştığımızı söyleyin?

Ev. 1 grup için görev. SİLİNDİR (slayt) .

"Silindir - nedir bu?" – Babama sordum.
Baba güldü: Silindir şapka bir şapkadır.
Doğru bir fikre sahip olmak için,
Diyelim ki silindir bir teneke kutudur.
Vapur borusu - silindir,
Çatımızdaki boru da

Tüm borular silindire benzer.
Ve şöyle bir örnek verdim:
Sevgili kaleydoskopum,
Gözlerini ondan alamıyorsun
Ayrıca bir silindire benziyor.

- Egzersiz yapmak. Ödev: fonksiyonun grafiğini çizin ve hacmi hesaplayın.

2. grup. KONİ (slayt).

Annem dedi ki: Ve şimdi
Hikayem koni hakkında olacak.
Yüksek şapkalı yıldız gözlemcisi
Tüm yıl boyunca yıldızları sayar.
CONE - hayalperest şapkası.
İşte böyle biri. Anlaşıldı? Bu kadar.
Annem masada duruyordu.
Şişelere yağ döktüm.
- Huni nerede? Huni yok.
I aramak. Kenarda durmayın.
- Anne, kıpırdamayacağım.
Bana koni hakkında daha fazla bilgi ver.
– Huni sulama kabı konisi şeklindedir.
Hadi, onu benim için çabuk bul.
Huniyi bulamadım
Ama annem bir çanta yaptı.
Kartonu parmağıma sardım
Ve ustaca bir ataşla sabitledi.
Petrol akıyor, anne mutlu,
Koni tam olarak ortaya çıktı.

Egzersiz yapmak. Apsis ekseni etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın

Ev. 2. grup için görev. PİRAMİT(slayt).

Resmi gördüm. Bu resimde
Kumlu çölde bir PİRAMİT var.
Piramitteki her şey olağanüstü,
İçinde bir çeşit gizem ve gizem var.
Ve Kızıl Meydan'daki Spasskaya Kulesi
Hem çocuklara hem de yetişkinlere çok tanıdık geliyor.
Kuleye baktığınızda sıradan görünüyor.
Üstünde ne var? Piramit!

Egzersiz yapmak.Ödev: Fonksiyonun grafiğini çizin ve piramidin hacmini hesaplayın

– Çeşitli cisimlerin hacimlerini, cisimlerin hacimlerine ilişkin temel formüle dayanarak bir integral kullanarak hesapladık.

Bu, belirli integralin matematik çalışmaları için bir temel oluşturduğunun bir başka kanıtıdır.

- Peki, şimdi biraz dinlenelim.

Bir çift bulun.

Matematiksel domino melodisi çalıyor.

“Aradığım yol hiçbir zaman unutulmayacak...”

Araştırma çalışması. İntegralin ekonomi ve teknolojide uygulanması.

Güçlü öğrenciler ve matematiksel futbol için testler.

Matematik simülatörü.

2. Belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin kümesine denir

A) belirsiz bir integral,

B) fonksiyon,

B) farklılaşma.

7. Çizgilerle sınırlanan eğrisel bir yamuğun apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulun:

D/Z. Dönen cisimlerin hacimlerini hesaplayın.

Refleks.

Formda yansımanın alınması senkron şarap(beş satır).

1. satır – konu adı (bir isim).

2. satır – konunun iki kelimeyle, iki sıfatla açıklaması.

3. satır – bu konudaki eylemin üç kelimeyle açıklaması.

4. satır, konuya yönelik tutumu gösteren dört kelimeden oluşan bir cümledir (tüm cümle).

5. satır konunun özünü tekrarlayan bir eşanlamlıdır.

Hacim.
Belirli integral, integrallenebilir fonksiyon.
İnşa ediyoruz, döndürüyoruz, hesaplıyoruz.
Kavisli bir yamuğun (tabanı etrafında) döndürülmesiyle elde edilen bir gövde.
Dönme gövdesi (hacimsel geometrik gövde).

Çözüm (slayt).

Belirli bir integral, matematik çalışması için belirli bir temeldir ve pratik problemlerin çözümüne yeri doldurulamaz bir katkı sağlar.
“İntegral” konusu matematik ile fizik, biyoloji, ekonomi ve teknoloji arasındaki bağlantıyı açıkça göstermektedir.
Modern bilimin gelişimi integral kullanılmadan düşünülemez. Bu bakımdan ortaöğretim uzmanlık eğitimi çerçevesinde çalışmaya başlamak gerekir!

Derecelendirme. (Yorumlu olarak.)

Büyük Ömer Hayyam - matematikçi, şair, filozof. Bizi kendi kaderimizin efendisi olmaya teşvik ediyor. Eserinden bir alıntıyı dinleyelim:

Diyeceksiniz ki bu hayat bir an.
Onu takdir edin, ondan ilham alın.
Harcadıkça geçecek.
Unutmayın: o sizin eseriniz.

Hariç Belirli bir integral kullanarak düzlemsel bir şeklin alanını bulma (bkz. 7.2.3.) konunun en önemli uygulaması dönen bir cismin hacminin hesaplanması. Materyal basittir ancak okuyucunun hazırlıklı olması gerekir: çözebilmeniz gerekir. belirsiz integraller orta karmaşıklık ve Newton-Leibniz formülünü uygulayın belirli integral, n Ayrıca güçlü çizim becerilerine de ihtiyacınız var. Genel olarak integral hesabında pek çok ilginç uygulama vardır; belirli bir integrali kullanarak bir şeklin alanını, bir cismin dönme hacmini, bir yayın uzunluğunu, bir cismin yüzey alanını hesaplayabilirsiniz. ve daha fazlası. Koordinat düzleminde düz bir şekil hayal edin. Tanıtıldı mı? ... Artık bu şekil iki şekilde de döndürülebilir ve döndürülebilir:

– x ekseni etrafında ;

– ordinat ekseni etrafında .

Her iki duruma da bakalım. İkinci döndürme yöntemi özellikle ilginçtir; en fazla zorluğa neden olur, ancak aslında çözüm, daha yaygın olarak x ekseni etrafında döndürmeyle hemen hemen aynıdır. En popüler rotasyon türüyle başlayalım.

Düz bir figürün bir eksen etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacminin hesaplanması ÖKÜZ

örnek 1

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Alanı bulma probleminde olduğu gibi, çözüm düz bir şekil çizmekle başlar. Yani uçakta XOYçizgilerle sınırlanmış bir şekil oluşturmak gerekir ve denklemin ekseni belirlediğini unutmayın. Buradaki çizim oldukça basit:

İstenilen düz şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir; eksen etrafında dönen şekildir. Döndürmenin bir sonucu olarak, eksen üzerinde iki keskin tepe noktasına sahip, hafif oval bir uçan daire elde edilir. ÖKÜZ, eksene göre simetrik ÖKÜZ. Aslında vücudun matematiksel bir adı var, referans kitabına bakın.

Bir devrim cismin hacmi nasıl hesaplanır? Bir eksen etrafında dönme sonucu bir cisim oluşuyorsaÖKÜZ zihinsel olarak küçük kalınlıktaki paralel katmanlara bölünmüştür dx eksene dik olan ÖKÜZ. Tüm vücudun hacmi açıkça bu tür temel katmanların hacimlerinin toplamına eşittir. Her katman, yuvarlak bir limon dilimi gibi, alçak bir silindir yüksekliğindedir dx ve taban yarıçaplı F(X). O zaman bir katmanın hacmi taban alanı π'nin çarpımıdır. F Silindir yüksekliği başına 2 ( dx) veya π∙ F 2 (X)∙dx. Ve tüm dönme gövdesinin alanı, temel hacimlerin toplamı veya karşılık gelen belirli integraldir. Bir devrim cismin hacmi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

“a” ve “be” entegrasyon sınırlarının nasıl belirleneceği tamamlanmış çizimden kolayca tahmin edilebilir. İşlev... nedir bu işlev? Çizime bakalım. Düzlem şekli üstteki parabolün grafiğiyle sınırlanmıştır. Formülde ima edilen fonksiyon budur. Pratik görevlerde bazen eksenin altına düz bir şekil yerleştirilebilir. ÖKÜZ. Bu hiçbir şeyi değiştirmez; formüldeki fonksiyonun karesi alınır: F 2 (X), Böylece, bir devrim cismin hacmi her zaman negatif değildir ki bu çok mantıklı. Bu formülü kullanarak bir dönme cismin hacmini hesaplayalım:

Daha önce de belirttiğimiz gibi, integral neredeyse her zaman basit çıkıyor, asıl önemli olan dikkatli olmaktır.

Cevap:

Cevabınızda boyutu - kübik birimleri belirtmelisiniz. Yani dönme gövdemizde yaklaşık 3,35 "küp" vardır. Neden kübik birimler? Çünkü bu en evrensel formülasyondur. Santimetreküp olabilir, metreküp olabilir, kilometreküp olabilir vs. hayal gücünüzün uçan daireye kaç tane yeşil adam koyabileceği budur.

Örnek 2

Bir eksen etrafında döndürülerek oluşturulan bir cismin hacmini bulun ÖKÜZçizgilerle sınırlanmış bir şekil , , .

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Örnek 3

, , çizgileriyle sınırlanan şeklin apsis ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini hesaplayın.

Çözüm: Denklemi unutmadan, çizimde , , , çizgileriyle sınırlanmış düz bir şekil çizelim. X= 0 ekseni belirtir OY:

İstenilen şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir. Bir eksen etrafında döndüğünde ÖKÜZ sonuç düz, köşeli bir çörektir (iki konik yüzeye sahip bir rondela).

Dönen cismin hacmini şu şekilde hesaplayalım: cisimlerin hacimleri arasındaki fark. Öncelikle kırmızı daire içine alınmış şekle bakalım. Bir eksen etrafında döndüğünde ÖKÜZ sonuç kesik bir konidir. Bu kesik koninin hacmini şu şekilde gösterelim: V 1 .

Yeşil daire içine alınmış şekli düşünün. Bu şekli eksen etrafında döndürürseniz ÖKÜZ, o zaman aynı kesik koniyi elde edersiniz, sadece biraz daha küçük. Hacmini şu şekilde gösterelim: V 2 .

Hacim farkı çok açık V = V 1 - V 2, “çörek”imizin hacmidir.

Dönel bir cismin hacmini bulmak için standart formülü kullanırız:

1) Kırmızıyla daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

2) Yeşil daire içine alınmış şekil yukarıdan düz bir çizgiyle sınırlanmıştır, bu nedenle:

3) İstenilen devir gövdesinin hacmi:

Cevap:

Bu durumda çözümün kesik koninin hacmini hesaplamak için okul formülü kullanılarak kontrol edilebilmesi ilginçtir.

Kararın kendisi genellikle daha kısa yazılır, şöyle bir şey:

I. Ciltlerce devrim organı. G. M. Fikhtengolts'un ders kitabından Bölüm XII, paragraf 197, 198'i ön olarak inceleyin. * Paragraf 198'de verilen örnekleri ayrıntılı olarak analiz edin.

508. Bir elipsin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan bir cismin hacmini hesaplayın.

Böylece,

530. X = 0 noktasından X = It noktasına kadar sinüzoidal yayın y = sin x ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzey alanını bulun.

531. Yüksekliği h ve yarıçapı r olan bir koninin yüzey alanını hesaplayın.

532. Oluşan yüzey alanını hesaplayın

x3 -)- y* - a3 asteroitinin Ox ekseni etrafında dönüşü.

533. 18 ug - x (6 - x) z eğrisinin halkasının Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzey alanını hesaplayın.

534. X2 - j - (y-3)2 = 4 çemberinin Ox ekseni etrafında dönmesiyle oluşan torusun yüzeyini bulun.

535. X = a maliyet, y = asint dairesinin Ox ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzey alanını hesaplayın.

536. x = 9t2, y = St - 9t3 eğrisinin döngüsünün Ox ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzey alanını hesaplayın.

537. x = e*sint, y = el cost eğrisinin yayının Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzey alanını bulun

t = 0'dan t = —'ye.

538. Sikloid yayın x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ)'nin Oy ekseni etrafında dönmesiyle oluşan yüzeyin 16 u2 o2'ye eşit olduğunu gösterin.

539. Kardioidin kutup ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen yüzeyi bulun.

540. Lemniskatın dönmesiyle oluşan yüzey alanını bulun Kutup ekseni çevresinde.

Bölüm IV için ek görevler

Düzlem figürlerin alanları

541. Eğrinin sınırladığı bölgenin tüm alanını bulun Ve eksen Öküz.

542. Eğrinin sınırladığı bölgenin alanını bulun

Ve eksen Öküz.

543. Birinci çeyrekte yer alan ve eğri ile sınırlanan bölgenin alanının kısmını bulun

Eksenleri koordine ediyorum.

544. İçeride bulunan bölgenin alanını bulun

döngüler:

545. Eğrinin bir halkasıyla sınırlanan bölgenin alanını bulun:

546. Döngünün içindeki bölgenin alanını bulun:

547. Eğrinin sınırladığı bölgenin alanını bulun

Ve eksen Öküz.

548. Eğrinin sınırladığı bölgenin alanını bulun

Ve eksen Öküz.

549. Oxr ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulun

düz ve eğri