Zorlanmış titreşimler. Rezonans. Zorlanmış titreşimler Zorlanmış titreşimler olabilir

Sistemin sönümsüz salınımlar yapabilmesi için dışarıdan sürtünmeden dolayı oluşan salınım enerjisi kaybının telafi edilmesi gerekmektedir. Sistemin salınım enerjisinin azalmamasını sağlamak için genellikle sisteme periyodik olarak etki eden bir kuvvet devreye girer (böyle bir kuvvet zorlaması diyeceğiz ve salınımlar zorlanır).

TANIM: zoraki Bunlar, periyodik olarak değişen harici bir kuvvetin etkisi altında salınımlı bir sistemde meydana gelen salınımlardır.

Bu kuvvet genellikle ikili bir rol oynar:

Öncelikle sistemi sallar ve ona belli miktarda enerji sağlar;

İkincisi, direnç ve sürtünme kuvvetlerinin üstesinden gelmek için enerji kayıplarını (enerji tüketimini) periyodik olarak yeniler.

Kanuna göre itici gücün zamanla değişmesine izin verin:

Böyle bir kuvvetin etkisi altında salınan bir sistemin hareket denklemini oluşturalım. Sistemin aynı zamanda yarı elastik bir kuvvetten ve ortamın direnç kuvvetinden de etkilendiğini varsayıyoruz (bu, küçük salınımlar varsayımı altında doğrudur).

O zaman sistemin hareket denklemi şöyle görünecektir:

Veya .

Sistemin salınımlarının doğal frekansının değiştirilmesini yaptıktan sonra, 2. dereceden homojen olmayan bir doğrusal diferansiyel denklem elde ederiz:

Diferansiyel denklemler teorisinden, homojen olmayan bir denklemin genel çözümünün, homojen bir denklemin genel çözümünün ve homojen olmayan bir denklemin özel çözümünün toplamına eşit olduğu bilinmektedir.

Homojen denklemin genel çözümü bilinmektedir:

Nerede ; A 0 ve A- keyfi yapı.

Bir vektör diyagramı kullanarak bu varsayımın doğru olduğunu doğrulayabilir ve ayrıca “” değerlerini belirleyebilirsiniz. A" Ve " J”.

Salınımların genliği aşağıdaki ifadeyle belirlenir:

Anlam " J”, zorlanmış salınımın faz gecikmesinin büyüklüğüdür onu belirleyen itici güçten de vektör diyagramından belirlenir ve şu tutarlara ulaşır:

Son olarak, homojen olmayan denklemin özel bir çözümü şu şekli alacaktır:

(8.18)

Bu işlev, aşağıdakilerle birleştirilir:

(8.19)

Bir sistemin zorlanmış salınımlar altındaki davranışını tanımlayan homojen olmayan bir diferansiyel denklemin genel çözümünü verir. (8.19) terimi, salınımların sözde kurulması sırasında sürecin ilk aşamasında önemli bir rol oynar (Şekil 8.10).

Zamanla, üstel faktör nedeniyle, ikinci terimin (8.19) rolü giderek azalır ve yeterli süre sonra, çözümde yalnızca (8.18) terimi tutularak ihmal edilebilir.

Dolayısıyla fonksiyon (8.18), kararlı durum zorlanmış salınımlarını açıklar. İtici kuvvetin frekansına eşit frekansa sahip harmonik salınımları temsil ederler. Zorlanmış salınımların genliği, itici kuvvetin genliği ile orantılıdır. Belirli bir salınım sistemi için (w 0 ve b ile tanımlanır), genlik, itici kuvvetin frekansına bağlıdır. Zorunlu salınımlar, faz olarak itici kuvvetin gerisinde kalır ve “j” gecikmesinin büyüklüğü de itici kuvvetin frekansına bağlıdır.

Zorla salınımların genliğinin itici kuvvetin frekansına bağımlılığı, belirli bir sistem için belirlenen belirli bir frekansta salınımların genliğinin maksimum bir değere ulaşması gerçeğine yol açar. Salınım sisteminin bu frekanstaki itici kuvvetin hareketine özellikle duyarlı olduğu ortaya çıktı. Bu olguya rezonans denir ve karşılık gelen frekans rezonans frekansı.

TANIM: Zorunlu salınımların genliğinde keskin bir artışın gözlendiği bir olguya denir rezonans.

Rezonans frekansı, zorunlu salınımların genliği için maksimum koşuldan belirlenir:

. (8.20)

Daha sonra bu değeri genlik ifadesinde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

. (8.21)

Orta düzeyde bir direncin yokluğunda, rezonanstaki salınımların genliği sonsuza dönecektir; aynı koşullar altında (b = 0) rezonans frekansı, salınımların doğal frekansı ile çakışır.

Zorla salınımların genliğinin itici kuvvetin frekansına (veya aynı şekilde salınım frekansına) bağımlılığı grafiksel olarak gösterilebilir (Şekil 8.11). Bireysel eğriler farklı “b” değerlerine karşılık gelir. “b” ne kadar küçük olursa, bu eğrinin maksimumu o kadar yüksekte ve sağda yer alır (teller için ifadeye bakınız). Çok büyük zayıflama ile rezonans gözlenmez - artan frekansla, zorunlu salınımların genliği monoton olarak azalır (Şekil 8.11'deki alt eğri).

Farklı b değerlerine karşılık gelen sunulan grafiklerin kümesine denir rezonans eğrileri.

Notlar rezonans eğrileri ile ilgili olarak:

w®0 eğilim gösterdikçe, tüm eğriler aynı sıfırdan farklı değere, eşit olarak gelir. Bu değer, sabit bir kuvvetin etkisi altında sistemin denge konumundan aldığı yer değiştirmeyi temsil eder. F 0 .

w®¥ için tüm eğriler asimptotik olarak sıfıra yönelir, çünkü yüksek frekanslarda kuvvet yönünü o kadar hızlı değiştirir ki sistemin denge konumundan gözle görülür şekilde kayması için zamanı olmaz.

B ne kadar küçük olursa, rezonansa yakın genlik frekansla o kadar fazla değişir, maksimum "keskin" olur.

Örnekler:

Rezonans olgusunun, özellikle akustik ve radyo mühendisliğinde sıklıkla yararlı olduğu ortaya çıkıyor.

Herhangi bir salınım sisteminde sürtünme kuvvetlerinin varlığı nedeniyle mekanik enerji kaybı kaçınılmazdır, bu nedenle dışarıdan enerji "pompalanmadan" salınımlar sönümlenecektir. Sürekli salınımlardan oluşan salınım sistemleri oluşturmanın temelde farklı birkaç yolu vardır. Gelin daha yakından bakalım harici bir periyodik kuvvetin etkisi altında sönümsüz salınımlar. Bu tür salınımlara zorunlu denir. Harmonik bir sarkacın hareketini incelemeye devam edelim (Şekil 6.9).

Daha önce tartışılan elastikiyet ve viskoz sürtünme kuvvetlerine ek olarak, top, harici bir kuvvet tarafından da etkilenmektedir. zorlayıcı Harmonik bir yasaya göre değişen periyodik kuvvet

sarkacın doğal frekansından farklı olabilecek frekans ω Ö. Bu durumda bu kuvvetin doğası bizim için önemli değil. Böyle bir kuvvet, örneğin topa bir elektrik yükü vererek ve onu harici bir alternatif elektrik alanına yerleştirerek çeşitli şekillerde oluşturulabilir. Söz konusu durumda topun hareket denklemi şu şekildedir:

Bunu topun kütlesine bölelim ve sistem parametreleri için önceki gösterimi kullanalım. Sonuç olarak elde ederiz zorunlu salınım denklemi:

Nerede F Ö = F Ö /M- Dış itici kuvvetin genlik değerinin topun kütlesine oranı. Denklemin (3) genel çözümü oldukça hantaldır ve elbette başlangıç koşullarına bağlıdır. Denklem (3) ile açıklanan topun hareketinin doğası açıktır: itici kuvvetin etkisi altında, genliği artacak salınımlar ortaya çıkacaktır. Bu geçiş rejimi oldukça karmaşıktır ve başlangıç koşullarına bağlıdır. Belirli bir süre sonra salınım modu kurulacak ve genlikleri değişmeyi bırakacaktır. Kesinlikle kararlı salınım durumu, çoğu durumda birincil ilgi alanıdır. Sistemin kararlı duruma geçişini dikkate almayacağız, ancak bu modun özelliklerini tanımlamaya ve incelemeye odaklanacağız. Sorunun bu formülasyonunda başlangıç koşullarını belirtmeye gerek yoktur, çünkü ilgilendiğimiz kararlı durum başlangıç koşullarına bağlı değildir, özellikleri tamamen denklemin kendisi tarafından belirlenir. Sabit bir dış kuvvetin ve viskoz sürtünme kuvvetinin etkisi altındaki bir cismin hareketini incelerken benzer bir durumla karşılaştık.

Bir süre sonra vücut sabit bir hızla hareket etmeye başlar. v = F Ö /β başlangıç koşullarına bağlı değildir ve tamamen hareket denklemi ile belirlenir. Başlangıç koşulları, rejimin sürekli harekete geçişini belirler. Sağduyuya dayalı olarak, sabit bir salınım modunda topun dış itici kuvvetin frekansında salınacağını varsaymak mantıklıdır. Bu nedenle denklem (3)'ün çözümü, itici kuvvetin frekansı ile uyumlu bir fonksiyonda aranmalıdır. Öncelikle direnç kuvvetini ihmal ederek denklem (3)'ü çözelim.

Çözümünü harmonik fonksiyon şeklinde bulmaya çalışalım.

Bunu yapmak için, hareket yasasının türevleri olarak vücudun hızının ve ivmesinin zamana bağımlılığını hesaplıyoruz.

ve değerlerini denklem (4)'te yerine koyun

Artık kısaltabilirsiniz maliyet. Sonuç olarak bu ifade, şartın yerine getirilmesi şartıyla her zaman doğru kimliğe dönüşür.

Böylece, denklem (4)'ün (5) formundaki çözümüne ilişkin varsayımımız doğrulandı: salınımların kararlı durumu şu fonksiyonla tanımlanır:

Katsayıya dikkat edin A ortaya çıkan ifadeye göre (6) pozitif olabilir (ile ω < ω Ö) ve negatif (ile ω > ω Ö). İşaretteki değişiklik, salınımların aşamasındaki bir değişikliğe karşılık gelir: π (bu değişikliğin nedeni biraz sonra açıklanacaktır), dolayısıyla salınımların genliği bu katsayının modülüdür |A|. Beklenildiği gibi, kararlı durum salınımlarının genliği, itici kuvvetin büyüklüğü ile orantılıdır. Ayrıca bu genlik karmaşık bir şekilde itici kuvvetin frekansına da bağlıdır. Bu ilişkinin şematik bir grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 6.10

Pirinç. 6.10 Rezonans eğrisi

Formül (6)'dan da anlaşılacağı üzere grafikte açıkça görüldüğü gibi, itici kuvvetin frekansı sistemin doğal frekansına yaklaştıkça genlik keskin bir şekilde artar. Genlikteki bu artışın nedeni açıktır: "sırasında" itici güç topu iter, frekanslar tamamen çakıştığında, belirlenen mod yoktur - genlik sonsuza kadar artar. Elbette pratikte böyle sonsuz bir artışı gözlemlemek imkansızdır: İlk önce, bu salınım sisteminin kendisinin tahrip olmasına yol açabilir, ikinci olarak Büyük salınım genliklerinde ortamın direnç kuvvetleri ihmal edilemez. İtici kuvvetin frekansı sistemin salınımlarının doğal frekansına yaklaştıkça zorlanmış salınımların genliğinde keskin bir artışa rezonans olgusu denir. Şimdi direnç kuvvetini hesaba katarak zorlanmış salınımlar denklemine çözüm aramaya devam edelim.

Doğal olarak bu durumda da çözüm, itici kuvvetin frekansı ile uyumlu bir fonksiyon şeklinde aranmalıdır. Bu durumda (5) numaralı formda çözüm aramanın başarıya götürmeyeceğini görmek kolaydır. Aslında denklem (8), denklem (4)'ten farklı olarak sinüs fonksiyonuyla tanımlanan parçacık hızını içerir. Bu nedenle denklem (8)'deki zaman kısmı azaltılmayacaktır. Bu nedenle, denklem (8)'in çözümü genel bir harmonik fonksiyon biçiminde temsil edilmelidir.

iki parametrenin olduğu A Ö Ve φ denklem (8) kullanılarak bulunmalıdır. Parametre A Ö zorunlu salınımların genliğidir, φ - Değişen koordinat ile değişken itici güç arasındaki faz kayması. Toplamın kosinüsü için trigonometrik formül kullanılarak, fonksiyon (9) eşdeğer formda temsil edilebilir

ayrıca iki parametre içeren B=A Ö çünkü Ve C = −A Ö günah belirlenecek. Fonksiyon (10)'u kullanarak, bir parçacığın hızının ve ivmesinin zamana bağlılığı için açık ifadeler yazarız

ve denklem (8)'de yerine koyun:

Bu ifadeyi formda yeniden yazalım.

Eşitliğin (13) herhangi bir zamanda sağlanması için kosinüs ve sinüs katsayılarının sıfıra eşit olması gerekir. Bu koşula dayanarak, fonksiyonun (10) parametrelerini belirlemek için iki doğrusal denklem elde ederiz:

Bu denklem sisteminin çözümü şu şekildedir:

Formül (10)'a dayanarak, zorunlu salınımların özelliklerini belirleriz: genlik

faz değişimi

Düşük zayıflamada, itici güç frekansı yaklaştıkça bu bağımlılık keskin bir maksimuma ulaşır. ω sistemin doğal frekansına ω Ö. Dolayısıyla bu durumda rezonans da meydana gelebilir; bu nedenle çizilen bağımlılıklara genellikle rezonans eğrisi adı verilir. Zayıf zayıflama dikkate alındığında, genliğin sonsuza kadar artmadığı, maksimum değerinin zayıflama katsayısına bağlı olduğu - ikincisi arttıkça maksimum genliğin hızla azaldığı görülmektedir. Salınım genliğinin itici kuvvetin (16) frekansına olan bağımlılığı çok fazla bağımsız parametre içerir ( F Ö , ω Ö , γ ) tam bir rezonans eğrileri ailesi oluşturmak için. Çoğu durumda olduğu gibi bu ilişki "boyutsuz" değişkenlere geçilerek önemli ölçüde basitleştirilebilir. Formül (16)’yı aşağıdaki forma dönüştürelim

ve belirtmek

- bağıl frekans (itici kuvvetin frekansının sistemin salınımlarının doğal frekansına oranı);

− bağıl genlik (salınım genliğinin sapma değerine oranı) A Ö = f/ω Ö 2 sıfır frekansta);

- Zayıflama miktarını belirleyen boyutsuz parametre. Bu gösterimler kullanılarak fonksiyon (16) önemli ölçüde basitleştirilmiştir

yalnızca bir parametre içerdiğinden – δ . Fonksiyon (16b) tarafından açıklanan tek parametreli bir rezonans eğrileri ailesi, özellikle bilgisayar kullanılarak kolayca oluşturulabilir. Bu yapının sonucu Şekil 2'de gösterilmektedir. 629.

pirinç. 6.11

"Geleneksel" ölçü birimlerine geçişin, yalnızca koordinat eksenlerinin ölçeğini değiştirerek gerçekleştirilebileceğini unutmayın. Zorunlu salınımların genliğinin maksimum olduğu itici kuvvetin frekansının da sönümleme katsayısına bağlı olduğu ve sönüm katsayısı arttıkça hafifçe azaldığı belirtilmelidir. Son olarak sönüm katsayısındaki bir artışın rezonans eğrisinin genişliğinde önemli bir artışa yol açtığını vurguluyoruz. Noktanın salınımları ile itici güç arasında ortaya çıkan faz kayması aynı zamanda salınımların frekansına ve sönümleme katsayılarına da bağlıdır. Zorunlu salınım sürecinde enerji dönüşümünü ele alırken bu faz değişiminin rolüne daha aşina olacağız.

serbest sönümsüz salınımların frekansı doğal frekansla çakışır, sönümlü salınımların frekansı doğal frekanstan biraz daha azdır ve zorlanmış salınımların frekansı, doğal frekansla değil, itici kuvvetin frekansıyla çakışır.

Zorlanmış elektromanyetik salınımlar

Zoraki Bunlar, harici bir periyodik etkinin etkisi altında salınımlı bir sistemde meydana gelen salınımlardır.

Şekil 6.12. Zorunlu elektrik salınımlı devre

Bir elektrik salınım devresinde meydana gelen süreçleri ele alalım ( Şekil 6.12), emf'si harmonik yasasına göre değişen harici bir kaynağa bağlı

Nerede  M– harici EMF'nin genliği,

 – EMF'nin döngüsel frekansı.

ile belirtelim sen C kapasitör üzerindeki voltaj ve Ben - devredeki akım gücü. Bu devrede EMF değişkenine ek olarak  (T) kendiliğinden indüklenen emk de aktiftir  L indüktörde.

Kendi kendine indüksiyon emk'si devredeki akımın değişim hızıyla doğru orantılıdır

Para çekme için Zorlanmış salınımların diferansiyel denklemi böyle bir devrede ortaya çıktığı için Kirchhoff'un ikinci kuralını kullanıyoruz

Aktif direnç boyunca voltaj R Ohm kanununa göre bul

Elektrik akımının gücü, iletkenin kesitinden birim zamanda akan yüke eşittir.

Buradan

Gerilim sen C kapasitör üzerindeki yük, kapasitör plakalarındaki yük ile doğru orantılıdır

Kendi kendine indüksiyon emk'si, yükün zamana göre ikinci türevi ile temsil edilebilir.

Kirchhoff'un ikinci kuralında voltajı ve EMF'yi değiştirmek

Bu ifadenin her iki tarafını da bölerek L ve terimleri türevin azalan derecesine göre dağıtarak ikinci dereceden bir diferansiyel denklem elde ederiz

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım ve elde edelim

– zayıflama katsayısı,

– devrenin doğal salınımlarının döngüsel frekansı.

. (1)

Denklem (1) heterojen ikinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem. Bu tür denklem, geniş bir sınıftaki salınım sistemlerinin (elektrik, mekanik) dış periyodik etkinin (dış emk veya dış kuvvet) etkisi altındaki davranışını tanımlar.

Denklemin (1) genel çözümü genel çözümden oluşur Q 1 homojen diferansiyel denklem (2)

(2)

ve herhangi bir özel çözüm Q 2 heterojen denklemler (1)

Genel çözüm türü homojen denklem (2) zayıflama katsayısının değerine bağlıdır  . Zayıf zayıflama durumuyla ilgileneceğiz  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

Nerede B Ve  0 – başlangıç koşulları tarafından belirlenen sabitler.

Çözüm (3) devredeki sönümlü salınımları açıklamaktadır. (3)’te yer alan değerler:

– sönümlü salınımların döngüsel frekansı;

– sönümlü salınımların genliği;

– sönümlü salınımların fazı.

Frekansa eşit bir frekansla meydana gelen harmonik salınım biçiminde denklem (1)'e özel bir çözüm arıyoruz.  dış periyodik etki - EMF ve aşamalı olarak gecikme  Ondan

Nerede
– frekansa bağlı olarak zorlanmış salınımların genliği.

(1)'de (4)'ü yerine koyalım ve özdeşliği elde edelim.

Salınımların aşamalarını karşılaştırmak için trigonometrik indirgeme formüllerini kullanıyoruz

O zaman denklemimiz şu şekilde yeniden yazılacaktır:

Ortaya çıkan kimliğin sol tarafındaki salınımları formda temsil edelim. vektör diyagramı (pirinç.6.13)..

Kapasitanstaki salınımlara karşılık gelen üçüncü terim İLE, faza sahip (  T –  ) ve genlik
, onu sağa yönlendirilmiş yatay bir vektör olarak temsil ediyoruz.

Şekil 6.13. Vektör diyagramı

Endüktanstaki salınımlara karşılık gelen sol taraftaki ilk terim L, vektör diyagramında yatay olarak sola yönlendirilmiş bir vektör olarak gösterilecektir (genliği
).

Dirençteki salınımlara karşılık gelen ikinci terim R, onu dikey olarak yukarı doğru yönlendirilmiş bir vektör olarak temsil ediyoruz (genliği
), çünkü fazı ilk terimin fazından /2 geridedir.

Eşitlik işaretinin solundaki üç titreşimin toplamı harmonik bir titreşim verdiğinden
, bu durumda diyagramdaki vektör toplamı (dikdörtgenin köşegeni) genlikli bir salınımı gösterir ve faz  T, açık olan  üçüncü terimin salınım aşamasını ilerletir.

Pisagor teoremini kullanarak dik bir üçgenden genliği bulabilirsiniz. A( )

(5)

Ve tg karşı tarafın bitişik tarafa oranı olarak.

. (6)

Sonuç olarak, (5) ve (6) dikkate alınarak çözüm (4) şu şekli alacaktır:

. (7)

Diferansiyel denklemin genel çözümü(1) toplamdır Q 1 ve Q 2

. (8)

Formül (8), bir devre periyodik bir harici EMF'ye maruz kaldığında, içinde iki frekansın salınımlarının ortaya çıktığını gösterir; harici EMF frekansı ile sönümsüz salınımlar  ve frekansla sönümlü salınımlar
. Sönümlü salınımların genliği
Zamanla ihmal edilebilecek kadar küçük hale gelir ve devrede yalnızca genliği zamana bağlı olmayan zorunlu salınımlar kalır. Sonuç olarak, kararlı durum zorlanmış salınımları fonksiyon (4) ile tanımlanır. Yani devrede, dış etkinin frekansına ve genliğine eşit bir frekansta zorlanmış harmonik salınımlar meydana gelir.
, bu frekansa bağlı olarak ( pirinç. 3A) yasaya göre (5). Bu durumda zorlanmış salınımın fazı bir miktar geride kalır.  zorlayıcı etkiden.

İfadenin (4) zamana göre farklılaştırılmasıyla devredeki akım gücünü buluruz.

Nerede
– akım genliği.

Bu ifadeyi mevcut kuvvet için formda yazalım.

, (9)

Nerede
–akım ve harici emk arasındaki faz kayması.

(6)'ya uygun olarak ve pirinç. 2

. (10)

Bu formülden, akım ile dış emk arasındaki faz kaymasının sabit dirençte bağlı olduğu sonucu çıkar. R, sürüş EMF'sinin frekansı arasındaki ilişkiden  ve devrenin doğal frekansı  0 .

Eğer  <  0, ardından akım ile harici EMF arasındaki faz kayması  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

Eğer  >  0 o zaman  > 0. Mevcut dalgalanmalar, fazdaki EMF dalgalanmalarının bir açı kadar gerisinde kalıyor  .

Eğer  =  0 (rezonans frekansı), O  = 0, yani akım gücü ve emf aynı fazda salınır.

Rezonans– bu, dış itici kuvvetin frekansı salınım sisteminin doğal frekansı ile çakıştığında salınımların genliğinde keskin bir artış olgusudur.

Rezonansta  =  0 ve salınım periyodu

Zayıflama katsayısı dikkate alındığında

rezonansta kalite faktörü için ifadeler elde ederiz T = T 0

diğer tarafta

Rezonansta endüktans ve kapasitans boyunca voltaj genlikleri devrenin kalite faktörü ile ifade edilebilir.

, (15)

. (16)

(15) ve (16)'dan açıkça görülüyor ki  =  0, kapasitör boyunca voltaj genliği ve endüktans Q dış emf'nin genliğinden kat kat daha büyüktür. Bu sıralı bir özelliktir RLC Devre belirli bir frekanstaki radyo sinyalini izole etmek için kullanılır
Radyo alıcısını yeniden oluştururken radyo frekansı spektrumundan.

Pratikte RLC devreler, ek zayıflama sağlayan diğer devrelere, ölçüm aletlerine veya yükseltici cihazlara bağlanır. RLC devre. Bu nedenle yüklenen kalite faktörünün gerçek değeri RLC devrenin formülle tahmin edilen kalite faktörünün değerinden daha düşük olduğu ortaya çıkıyor

Kalite faktörünün gerçek değeri şu şekilde tahmin edilebilir:

Şekil 6.14. Rezonans eğrisinden kalite faktörünün belirlenmesi

nerede  F– genliğin maksimum değerin 0,7'si olduğu frekansların bant genişliği ( pirinç. 4).

Kapasitör voltajı sen C, aktif dirençte sen R ve indüktör üzerinde sen L sırasıyla farklı frekanslarda maksimuma ulaşır

,
,
.

Zayıflama düşükse  0 >>  , o zaman tüm bu frekanslar pratik olarak çakışıyor ve şunu varsayabiliriz:

1. Bir yay sarkacının salınımı sırasında hangi enerji dönüşümlerinin meydana geldiğini öğrenelim (bkz. Şekil 80). Bir yay gerildiğinde potansiyel enerjisi artar ve maksimum gerildiğinde şu değere ulaşır: e n = .

Yük denge konumuna doğru ilerledikçe yayın potansiyel enerjisi azalır, yükün kinetik enerjisi artar. Denge konumunda yükün kinetik enerjisi maksimumdur e k = ve yayın potansiyel enerjisi sıfırdır.

Bir yay sıkıştırıldığında potansiyel enerjisi artar ve yükün kinetik enerjisi azalır. Maksimum sıkıştırmada yayın potansiyel enerjisi maksimumdur ve yükün kinetik enerjisi sıfırdır.

Sürtünme kuvvetini ihmal edersek, herhangi bir anda potansiyel ve kinetik enerjilerin toplamı değişmeden kalır.

e = e n + e k = sabit.

Sürtünme kuvvetinin varlığında bu kuvvete karşı iş yapmak için enerji harcanır, salınımların genliği azalır ve salınımlar söner.

Böylece sarkacın başlangıçtaki enerji beslemesinden dolayı meydana gelen serbest salınımları her zaman solma.

2. Zaman içerisinde dalgalanmaların durmaması için ne yapılması gerektiği sorusu ortaya çıkıyor. Açıkçası, sönümsüz salınımlar elde etmek için enerji kayıplarını telafi etmek gerekir. Bu farklı şekillerde yapılabilir. Bunlardan birini ele alalım.

Salıncağı sürekli iterseniz, yani biraz kuvvet uygularsanız salınımın titreşimlerinin kaybolmayacağını çok iyi biliyorsunuz. Bu durumda salınımın titreşimleri artık serbest olmayacak, bir dış kuvvetin etkisi altında oluşacaktır. Bu dış kuvvetin çalışması, sürtünmeden kaynaklanan enerji kaybını tam olarak telafi eder.

Dış gücün ne olması gerektiğini bulalım mı? Kuvvetin büyüklüğünün ve yönünün sabit olduğunu varsayalım. Açıkçası, bu durumda salınımlar duracaktır çünkü denge pozisyonunu geçen vücut ona geri dönmeyecektir. Bu nedenle dış kuvvetin büyüklüğünün ve yönünün periyodik olarak değişmesi gerekir.

Böylece,

Zorla salınımlar, periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin etkisi altında meydana gelen salınımlardır.

Zorlanmış titreşimler, serbest olanların aksine, herhangi bir frekansta meydana gelebilir. Zorlanmış salınımların frekansı, vücuda etki eden kuvvetin değişim frekansına eşittir, bu durumda buna denir zorlamak.

3. Bir deney yapalım. Raflara sabitlenmiş bir ipten farklı uzunluklarda birkaç sarkaç asıyoruz (Şek. 82). Sarkaçın yönünü değiştirelim A denge konumundan çıkarın ve kendi haline bırakın. İp üzerinde periyodik bir kuvvet uygulayarak serbestçe salınacaktır. İp ise kalan sarkaçlara etki edecektir. Sonuç olarak, tüm sarkaçlar, sarkacın salınım frekansı ile zorunlu salınımlar yapmaya başlayacaktır. A.

Tüm sarkacın, sarkacın salınım frekansına eşit bir frekansta salınmaya başlayacağını göreceğiz. A. Ancak sarkaç dışındaki salınımların genlikleri C, sarkaç salınımlarının genliğinden daha az olacaktır A. Sarkaç C uzunluğu sarkacın uzunluğuna eşit olan A, çok güçlü bir şekilde sallanacak. Sonuç olarak, sarkaç, salınımların doğal frekansı itici kuvvetin frekansı ile çakışan en büyük salınım genliğine sahiptir. Bu durumda gözlemlendiğini söylüyorlar rezonans.

Rezonans, itici kuvvetin frekansı salınım sisteminin (sarkaç) doğal frekansı ile çakıştığında, zorlanmış salınımların genliğinde keskin bir artış olgusudur.

Salınım salındığında rezonans gözlemlenebilir. Artık salıncağın kendi titreşimleriyle zamanında itilmesi durumunda daha güçlü sallanacağını açıklayabilirsiniz. Bu durumda dış kuvvetin frekansı salınımın salınım frekansına eşittir. Salınımın hareketine karşı herhangi bir itme genliğinde bir azalmaya neden olacaktır.

4 * . Rezonans sırasında hangi enerji dönüşümlerinin meydana geldiğini öğrenelim.

İtici kuvvetin frekansı, cismin doğal titreşim frekansından farklıysa, itici kuvvet ya cismin hareket yönüne doğru ya da ona karşı yönlendirilecektir. Buna göre bu kuvvetin işi ya negatif ya da pozitif olacaktır. Genel olarak, bu durumda itici kuvvetin çalışması sistemin enerjisini biraz değiştirir.

Şimdi dış kuvvetin frekansının cismin salınımlarının doğal frekansına eşit olmasına izin verin. Bu durumda itici kuvvetin yönü cismin hızının yönü ile çakışır ve direnç kuvveti bir dış kuvvet tarafından telafi edilir. Vücut yalnızca iç kuvvetlerin etkisi altında titreşir. Başka bir deyişle direnç kuvvetine karşı yapılan negatif iş, dış kuvvetin pozitif işine eşittir. Bu nedenle salınımlar maksimum genlikte meydana gelir.

5. Rezonans olgusu pratikte dikkate alınmalıdır. Özellikle takım tezgahları ve makineler çalışma sırasında hafif titreşimlere maruz kalır. Bu titreşimlerin frekansı, makinelerin ayrı ayrı parçalarının doğal frekansıyla örtüşüyorsa, titreşimlerin genliği çok büyük olabilir. Makine veya üzerinde durduğu destek çökecektir.

Rezonans nedeniyle bir uçağın havada parçalandığı, gemi pervanelerinin kırıldığı ve demiryolu raylarının çöktüğü bilinen durumlar vardır.

Rezonans, sistemin doğal frekansı veya salınımlara neden olan kuvvetin frekansı değiştirilerek önlenebilir. Bu amaçla örneğin bir köprüden geçen askerler adım adım değil, serbest adımlarla yürürler. Aksi takdirde adımlarının frekansı köprünün doğal frekansına denk gelebilir ve köprü çökebilir. Bu, 1750 yılında Fransa'da, bir müfrezenin zincirlere asılı 102 m uzunluğunda bir köprüden geçmesiyle gerçekleşti. Benzer bir olay 1906'da St. Petersburg'da meydana geldi. Bir süvari filosu Fontanka Nehri üzerindeki Mısır Köprüsü'nü geçtiğinde, atların net adımlarının frekansı köprünün titreşim frekansıyla çakışıyordu.

Rezonansı önlemek için trenler köprülerden yavaş veya çok yüksek hızlarda geçer, böylece ray bağlantı noktaları üzerindeki tekerlek darbelerinin frekansı köprünün doğal frekansından önemli ölçüde daha az veya önemli ölçüde daha fazla olur.

Rezonans olgusu her zaman zararlı değildir. Bazen küçük bir kuvvetin yardımıyla titreşim genliğinde büyük bir artış elde etmenize izin verdiği için yararlı olabilir.

Salınımların sıklığını ölçmenizi sağlayan cihazın hareketi, rezonans olgusuna dayanmaktadır. Bu cihazın adı frekans ölçer. Çalışması aşağıdaki deneyle örneklendirilebilir. Santrifüj makinesine, farklı uzunluklarda bir dizi plakadan (dil) oluşan bir frekans ölçer modeli takılmıştır (Şekil 83). Plakaların uçlarında beyaz boya ile kaplanmış teneke bayraklar bulunmaktadır. Makine kolunun dönüş hızını değiştirdiğinizde farklı plakaların titreşmeye başladığını fark edebilirsiniz. Doğal frekansı dönme frekansına eşit olan plakalar titreşmeye başlar.

Kendi kendine test soruları

1. Bir yay sarkacının serbest salınımlarının genliğini ne belirler?

2. Sürtünme kuvvetlerinin varlığında sarkacın salınımlarının genliği sabit mi tutuluyor?

3. Yaylı bir sarkacın salınımı sırasında hangi enerji dönüşümleri meydana gelir?

4. Serbest salınımlar neden sönümleniyor?

5. Hangi titreşimlere zorlanmış denir? Zorlanmış salınımlara örnekler verin.

6. Rezonans nedir?

7. Rezonansın zararlı belirtilerine örnekler verin. Rezonansı önlemek için ne yapılması gerekiyor?

8. Rezonans olgusunun kullanımına örnekler verin.

Görev 26

1. Tablo 14'ü doldurun ve serbest veya zorlanmış salınımlar gerçekleştiriyorsa salınım sistemine hangi kuvvetin etki ettiğini yazın; bu salınımların frekansı ve genliği nedir; sönümlü olup olmadıkları.

Tablo 14

Salınım özellikleri	Titreşim türü
	Mevcut	Zoraki
Hareket gücü
Sıklık
Genlik
zayıflama

2 e.Zorlanmış salınımları gözlemlemek için bir deney önerin.

3 e.Yaptığınız matematiksel sarkaçları kullanarak rezonans olgusunu deneysel olarak inceleyin.

4. Dikiş makinesi tekerleğinin belirli bir dönme hızında, üzerinde durduğu masa bazen kuvvetli bir şekilde sallanır. Neden?

Zorunlu salınımlar, bir sistemde, itici güç olarak adlandırılan periyodik olarak değişen bir dış kuvvetin etki etmesi durumunda meydana gelen salınımlardır.

İtici gücün doğası (zamana bağlılık) farklı olabilir. Bu harmonik kanuna göre değişen bir kuvvet olabilir. Örneğin kaynağı diyapozon olan bir ses dalgası kulak zarına veya mikrofon zarına çarpar. Uyumlu bir şekilde değişen hava basıncı kuvveti membran üzerinde etkili olmaya başlar.

İtici güç, sarsıntılar veya kısa darbeler niteliğinde olabilir. Örneğin, bir yetişkin bir çocuğu salıncakta sallar ve salıncağın en uç konumlarından birine ulaştığı anda onu periyodik olarak iter.

Görevimiz, salınım sisteminin periyodik olarak değişen itici gücün etkisine nasıl tepki verdiğini bulmaktır.

§ 1 İtici güç harmonik kanuna göre değişir

F direnç = - rv x ve zorlayıcı güç F dışarı = F 0 günah ağırlık.

Newton'un ikinci yasası şu şekilde yazılacaktır:

Denklem (1)'in çözümü şu şekilde aranır: Denklem (1)'in sağ tarafı yoksa çözümü nerededir? Sağ taraf olmadan denklemin, çözümünü zaten bildiğimiz, iyi bilinen sönümlü salınımlar denklemine dönüştüğü görülebilir. Yeterince uzun bir süre boyunca, sistem denge konumundan çıkarıldığında sistemde ortaya çıkan serbest salınımlar pratikte yok olacak ve denklemin çözümünde yalnızca ikinci terim kalacaktır. Bu çözümü formda arayacağız
Terimleri farklı şekilde gruplayalım:

Bu eşitlik herhangi bir t anında sağlanmalıdır; bu ancak sinüs ve kosinüs katsayılarının sıfıra eşit olması durumunda mümkündür.

Yani harmonik kanuna göre değişen bir itici kuvvetin etki ettiği cisim, itici kuvvetin frekansında salınım hareketi yapar.

Zorunlu salınımların genliği sorusunu daha ayrıntılı olarak inceleyelim:

1 Kararlı durum zorlanmış salınımlarının genliği zamanla değişmez. (Serbest sönümlü salınımların genliğiyle karşılaştırın).

2 Zorunlu salınımların genliği, itici kuvvetin genliği ile doğru orantılıdır.

3 Genlik, sistemdeki sürtünmeye bağlıdır (A, d'ye bağlıdır ve sönümleme katsayısı d, sürükleme katsayısı r'ye bağlıdır). Sistemdeki sürtünme ne kadar büyük olursa, zorlanmış salınımların genliği de o kadar küçük olur.

4 Zorunlu salınımların genliği, itici kuvvet w'nin frekansına bağlıdır. Nasıl? A(w) fonksiyonunu inceleyelim.

w = 0'da (salınım sistemine sabit bir kuvvet etki eder), cismin yer değiştirmesi zaman içinde sabittir (bunun, doğal salınımların neredeyse tükendiği sabit bir durumu ifade ettiği akılda tutulmalıdır).

· w ® ¥ olduğunda, görülmesi kolay olduğu gibi, A genliği sıfıra yönelir.

· İtici gücün belirli bir frekansında, zorlanmış salınımların genliğinin (belirli bir d için) en büyük değeri alacağı açıktır. İtici kuvvetin frekansının belirli bir değerinde zorunlu salınımların genliğinde keskin bir artış olgusuna mekanik rezonans denir.

Bu durumda salınım sisteminin kalite faktörünün, rezonans genliğinin, sabit bir F 0 kuvvetinin etkisi altında vücudun denge konumundan yer değiştirmesini kaç kez aştığını göstermesi ilginçtir.

Hem rezonans frekansının hem de rezonans genliğinin sönümleme katsayısı d'ye bağlı olduğunu görüyoruz. d sıfıra düştükçe rezonans frekansı artar ve w0 sisteminin doğal salınım frekansına yönelir. Bu durumda rezonans genliği artar ve d = 0'da sonsuza gider. Elbette pratikte salınımların genliği sonsuz olamaz çünkü gerçek salınımlı sistemlerde direnç kuvvetleri her zaman etki eder. Sistemin zayıflaması düşükse, rezonansın kendi salınımlarının frekansında meydana geldiğini yaklaşık olarak varsayabiliriz:

söz konusu durumda, itici kuvvet ile vücudun denge konumundan yer değiştirmesi arasındaki faz kayması söz konusudur.

Kuvvet ve yer değiştirme arasındaki faz kaymasının sistemdeki sürtünmeye ve dış itici kuvvetin frekansına bağlı olduğunu görmek kolaydır. Bu bağımlılık şekilde gösterilmektedir. Açıktır ki ne zaman< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- pozitif.

Açıya olan bağımlılığı bilerek, itici kuvvetin frekansına olan bağımlılığı elde edebiliriz.

Doğal kuvvetten önemli ölçüde düşük olan dış kuvvet frekanslarında, yer değiştirme, fazdaki itici kuvvetin biraz gerisinde kalır. Dış kuvvetin frekansı arttıkça bu faz gecikmesi artar. Rezonansta (eğer küçükse), faz kayması eşit olur. >> Yer değiştirme ve kuvvet salınımları antifazda meydana geldiğinde. Bu bağımlılık ilk bakışta garip görünebilir. Bu gerçeği anlamak için zorlanmış salınımlar sürecindeki enerji dönüşümlerine dönelim.

§ 2 Enerji dönüşümleri

Zaten bildiğimiz gibi salınımların genliği, salınım sisteminin toplam enerjisi tarafından belirlenir. Zorunlu salınımların genliğinin zaman içinde değişmeden kaldığı daha önce gösterilmişti. Bu, salınım sisteminin toplam mekanik enerjisinin zamanla değişmediği anlamına gelir. Neden? Sonuçta sistem kapalı değil! İki kuvvet - periyodik olarak değişen dış kuvvet ve direnç kuvveti - sistemin toplam enerjisini değiştirmesi gereken iş yapar.

Neler olduğunu anlamaya çalışalım. Dış itici kuvvetin gücü şu şekilde bulunabilir:

Salınım sistemini enerji ile besleyen dış kuvvetin gücünün, salınım genliği ile orantılı olduğunu görüyoruz.

Direnç kuvvetinin çalışması nedeniyle salınım sisteminin enerjisi azalarak iç enerjiye dönmelidir. Direnç kuvveti gücü:

Açıkçası, direnç kuvvetinin gücü genliğin karesiyle orantılıdır. Her iki bağımlılığı da bir grafik üzerinde çizelim.

Salınımların sabit olması için (genlik zamanla değişmez), dış kuvvetin periyot boyunca yaptığı işin, direnç kuvvetinin çalışmasından dolayı sistemin enerji kaybını telafi etmesi gerekir. Güç grafiklerinin kesişme noktası tam olarak bu rejime karşılık gelmektedir. Bir nedenden dolayı zorunlu salınımların genliğinin azaldığını hayal edelim. Bu durum dış gücün anlık gücünün kayıpların gücünden daha büyük olmasına yol açacaktır. Bu, salınım sisteminin enerjisinde bir artışa yol açacak ve salınımların genliği önceki değerine geri dönecektir.

Benzer şekilde, salınımların genliğindeki rastgele bir artışla güç kayıplarının dış kuvvetin gücünü aşacağına, bunun da sistemin enerjisinde bir azalmaya yol açacağına ve dolayısıyla genlikte bir azalma.

Yer değiştirme ile rezonansta itici güç arasındaki faz kayması sorununa dönelim. Yer değiştirmenin geride kaldığını ve dolayısıyla kuvvetin yer değiştirmeye 0 kadar yol açtığını zaten göstermiştik. Öte yandan, harmonik salınımlar sürecinde hız projeksiyonu her zaman koordinatın önündedir. Bu, rezonans sırasında harici itici kuvvetin ve hızın aynı fazda salındığı anlamına gelir. Bu, herhangi bir zamanda ortak yönlendirildikleri anlamına gelir! Bu durumda dış kuvvetin işi her zaman pozitiftir. Tümü salınım sistemini enerjiyle doldurmaya gider.

§ 3 Sinüzoidal olmayan periyodik etki

Osilatörün zorlanmış salınımları yalnızca sinüzoidal değil, herhangi bir periyodik dış etki altında da mümkündür. Bu durumda, yerleşik salınımlar genel olarak sinüsoidal olmayacak, ancak dış etkinin periyoduna eşit bir periyoda sahip periyodik bir hareketi temsil edeceklerdir.

Dış etki, örneğin ardışık şoklar olabilir (bir yetişkinin salıncakta oturan bir çocuğu nasıl "salladığını" hatırlayın). Dış şokların periyodu doğal salınım periyoduna denk gelirse sistemde rezonans meydana gelebilir. Salınımlar neredeyse sinüzoidal olacaktır. Her itişte sisteme verilen enerji, sistemin sürtünmeden dolayı kaybettiği toplam enerjiyi yeniler. Bu durumda seçeneklerin mümkün olduğu açıktır: Bir itme sırasında verilen enerji, periyot başına sürtünme kayıplarına eşitse veya bu kayıpları aşarsa, o zaman salınımlar ya sabit olacak ya da kapsamları artacaktır. Bu, faz diyagramında açıkça görülmektedir.

Şokların tekrarlanma periyodunun doğal salınım periyodunun katı olması durumunda da rezonansın mümkün olduğu açıktır. Dış etkinin sinüzoidal doğası nedeniyle bu imkansızdır.

Öte yandan şok frekansı doğal frekansla örtüşse bile rezonans gözlenemeyebilir. Sadece periyottaki sürtünme kayıpları, sistemin itme sırasında aldığı enerjiyi aşarsa, sistemin toplam enerjisi azalacak ve salınımlar sönecektir.

§ 4 Parametrik rezonans

Salınım sistemi üzerindeki dış etki, salınım sisteminin kendi parametrelerindeki periyodik değişikliklere indirgenebilir. Bu şekilde uyarılan salınımlara parametrik denir ve mekanizmanın kendisine de denir. parametrik rezonans .

Öncelikle şu soruyu cevaplamaya çalışacağız: Sistemin bazı parametrelerini belirli bir şekilde periyodik olarak değiştirerek sistemde mevcut olan küçük salınımları sarsmak mümkün müdür?

Örnek olarak salıncakta sallanan bir kişiyi düşünün. Bacaklarını "doğru" anlarda büküp düzleştirerek aslında sarkacın uzunluğunu değiştiriyor. Aşırı pozisyonlarda, kişi çömelir, böylece salınım sisteminin ağırlık merkezini hafifçe düşürür; orta pozisyonda, kişi sistemin ağırlık merkezini yükselterek düzelir.

Bir kişinin neden aynı anda sallandığını anlamak için, salıncaktaki bir kişinin son derece basitleştirilmiş bir modelini düşünün - sıradan bir küçük sarkaç, yani hafif ve uzun bir iplik üzerinde küçük bir ağırlık. Ağırlık merkezinin yükselmesini ve alçalmasını simüle etmek için ipliğin üst ucunu küçük bir delikten geçireceğiz ve sarkacın denge pozisyonunu geçtiği anlarda ipliği çekeceğiz ve ipliği aynı miktarda indireceğiz. sarkaç aşırı konumu geçer.

İplik gerdirme kuvvetinin periyot başına işi (yükün periyot başına iki kez kaldırılıp indirildiği ve D ben << ben):

Lütfen parantez içinde salınım sisteminin enerjisinin üç katından fazla bir şeyin bulunmadığını unutmayın. Bu arada, bu miktar pozitiftir, dolayısıyla çekme kuvvetinin işi (bizim işimiz) pozitiftir, sistemin toplam enerjisinde bir artışa ve dolayısıyla sarkacın salınımına yol açar.

İlginç bir şekilde, bir periyot boyunca enerjideki göreceli değişim, sarkacın zayıf ya da güçlü salınımına bağlı değildir. Bu çok önemli ve nedeni şu. Sarkaç enerjiyle "pompalanmazsa", sürtünme kuvveti nedeniyle her periyotta enerjisinin belirli bir kısmını kaybedecek ve salınımlar sönecektir. Salınım aralığının artması için, kazanılan enerjinin sürtünmeyi yenmek için kaybedilen enerjiden fazla olması gerekir. Ve bu koşulun aynı olduğu ortaya çıktı - hem küçük genlik hem de büyük genlik için.

Örneğin, bir periyotta serbest salınımların enerjisi% 6 azalırsa, 1 m uzunluğundaki bir sarkacın salınımlarının sönmemesi için orta pozisyonda uzunluğunu 1 cm azaltmak ve artırmak yeterlidir. aşırı konumda aynı miktarda.

Salınmaya dönersek: Sallanmaya başlarsanız, daha derin çömelmenize gerek kalmaz - her zaman aynı şekilde çömelin ve daha yükseğe uçacaksınız!

*** Yine kalite!

Daha önce de söylediğimiz gibi, salınımların parametrik oluşumu için, periyot başına sürtünmenin DE > A koşulunun karşılanması gerekir.

Sürtünme kuvvetinin periyotta yaptığı işi bulalım.

Sarkacın sallanması için gereken göreceli kaldırma miktarının sistemin kalite faktörü tarafından belirlendiği görülebilir.

§ 5 Rezonansın anlamı

Zorlanmış salınımlar ve rezonans teknolojide, özellikle akustik, elektrik mühendisliği ve radyo mühendisliğinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Rezonans öncelikle, farklı frekanslardaki geniş bir salınım kümesinden belirli bir frekanstaki salınımları izole etmek istendiğinde kullanılır. Rezonans aynı zamanda çok zayıf, periyodik olarak tekrarlanan niceliklerin incelenmesinde de kullanılır.

Ancak bazı durumlarda rezonans istenmeyen bir olgudur çünkü büyük deformasyonlara ve yapıların tahrip olmasına neden olabilir.

§ 6 Problem çözme örnekleri

Problem 1 Bir dış sinüzoidal kuvvetin etkisi altında bir yay sarkacının zorlanmış salınımları.

m = 10 g kütleli bir yük, sertliği k = 10 N/m olan bir yay üzerine asıldı ve sistem, direnç katsayısı r = 0,1 kg/s olan viskoz bir ortama yerleştirildi. Sistemin doğal ve rezonans frekanslarını karşılaştırın. F 0 = 20 mN genlikli sinüzoidal bir kuvvetin etkisi altında rezonansta sarkacın salınımlarının genliğini belirleyin.

Çözüm:

1 Salınımlı bir sistemin doğal frekansı, sürtünme olmadığında serbest titreşimlerin frekansıdır. Doğal döngüsel frekans, salınım frekansına eşittir.

2 Rezonans frekansı, zorlanmış salınımların genliğinin keskin bir şekilde arttığı harici bir itici kuvvetin frekansıdır. Rezonans döngüsel frekansı eşittir ve sönümleme katsayısı eşittir.

Bu nedenle rezonans frekansı . Rezonans frekansının doğal frekanstan daha az olduğunu görmek kolaydır! Sistemdeki sürtünme (r) ne kadar düşük olursa rezonans frekansının doğal frekansa o kadar yakın olacağı da açıktır.

3 Rezonans genliği

Görev 2 Salınım sisteminin rezonans genliği ve kalite faktörü

m = 100 g kütleli bir yük, sertliği k = 10 N/m olan bir yay üzerine asıldı ve sistem, direnç katsayısına sahip viskoz bir ortama yerleştirildi.

r = 0,02 kg/sn. Salınım sisteminin kalite faktörünü ve F 0 = 10 mN genlikli sinüzoidal bir kuvvetin etkisi altında rezonansta sarkacın salınımlarının genliğini belirleyin. F 0 = 20 mN sabit kuvvetinin etkisi altında rezonans genliğinin statik yer değiştirmeye oranını bulun ve bu oranı kalite faktörüyle karşılaştırın.

Çözüm:

1 Salınım sisteminin kalite faktörü eşittir, burada logaritmik sönüm azalmasıdır.

Logaritmik sönüm azalması eşittir.

Salınım sisteminin kalite faktörünün bulunması.

2 Rezonans genliği

3 Sabit bir kuvvetin etkisi altında statik yer değiştirme F 0 = 10 mN'ye eşittir.

4 Sabit bir F 0 kuvvetinin etkisi altında rezonans genliğinin statik yer değiştirmeye oranı şuna eşittir:

Bu oranın salınım sisteminin kalite faktörüyle örtüştüğünü görmek kolaydır.

Problem 3 Bir kirişin rezonans titreşimleri

Elektrik motorunun ağırlığının etkisi altında üzerine monte edildiği konsol tankı bükülür. Motor armatürünün hangi hızında rezonans tehlikesi olabilir?

Çözüm:

1 Motor mahfazası ve üzerine monte edildiği kiriş, motorun dönen armatüründen periyodik şoklara maruz kalır ve bu nedenle şokların frekansında zorlanmış salınımlar gerçekleştirir.

Şokların frekansı, kirişin motorla doğal titreşim frekansıyla çakıştığında rezonans gözlemlenecektir. Kiriş-motor sisteminin salınımlarının doğal frekansını bulmak gerekir.

2 Kiriş-motor salınım sisteminin bir analogu, kütlesi motorun kütlesine eşit olan dikey yaylı bir sarkaç olabilir. Bir yay sarkacının doğal salınım frekansı eşittir. Ancak yayın sertliği ve motorun kütlesi bilinmiyor! Ne yapmalıyım?

3 Yay sarkacının denge konumunda, yükün yer çekimi kuvveti yayın elastik kuvveti ile dengelenir

4 Motor armatürünün dönüşünü bulun; şok frekansı

Problem 4 Periyodik şokların etkisi altında bir yay sarkacının zorlanmış salınımları.

Kütlesi m = 0,5 kg olan bir ağırlık, sertliği k = 20 N/m olan bir spiral yay üzerine asılmaktadır. Salınım sisteminin logaritmik sönüm azalması eşittir. Ağırlığı kısa itmelerle sallamak, ağırlığa F = 100 mN kuvvetiyle τ = 0,01 s süre boyunca etki etmek istiyorlar. Ağırlığın genliğinin en büyük olması için vuruşların sıklığı ne olmalıdır? Kettlebell'i hangi noktalarda ve hangi yöne itmelisiniz? Ağırlığı bu şekilde hangi genliğe kadar sallamak mümkün olacak?

Çözüm:

1 Herhangi bir periyodik etki altında zorlanmış titreşimler meydana gelebilir. Bu durumda, dış etkinin frekansı ile kararlı durum salınımı meydana gelecektir. Dış şokların periyodu doğal salınımların frekansı ile çakışıyorsa, sistemde rezonans meydana gelir - salınımların genliği en yüksek olur. Bizim durumumuzda rezonansın oluşması için şokların periyodunun yay sarkacının salınım periyoduna denk gelmesi gerekir.

Logaritmik sönümleme düşüşü küçüktür, bu nedenle sistemde çok az sürtünme vardır ve bir sarkacın viskoz bir ortamdaki salınım periyodu pratik olarak bir sarkacın bir vakumdaki salınım periyoduyla çakışır:

2 Açıkçası, itmelerin yönü ağırlığın hızıyla örtüşmelidir. Bu durumda sistemi enerji ile yenileyen dış kuvvetin işi pozitif olacaktır. Ve titreşimler sallanacak. Çarpma işlemi sırasında sistem tarafından alınan enerji

Yük denge pozisyonunu geçtiğinde en büyük olacaktır çünkü bu pozisyonda sarkacın hızı maksimumdur.

Böylece sistem, denge konumundan geçerken yükün hareket yönünde şokların etkisi altında en hızlı şekilde sallanacaktır.

3 Çarpma işlemi sırasında sisteme verilen enerji, aşağıdaki süre boyunca sürtünmeden kaynaklanan enerji kaybına eşit olduğunda salınımların genliği büyümeyi durdurur: .

Salınım sisteminin kalite faktörü aracılığıyla bir süre boyunca enerji kaybını bulacağız

burada E, salınım sisteminin toplam enerjisidir ve şu şekilde hesaplanabilir.

Kayıp enerjinin yerine, çarpma sırasında sistemin aldığı enerjiyi yerine koyarız:

Salınım işlemi sırasında maksimum hız . Bunu dikkate alarak şunu elde ederiz.

§7 Bağımsız çözüm için görevler

"Zorlamalı titreşimleri" test edin

1 Hangi salınımlara zorlanmış denir?

A) Periyodik olarak değişen dış kuvvetlerin etkisi altında meydana gelen salınımlar;

B) Dışarıdan gelen bir şok sonrasında sistemde meydana gelen salınımlar;

2 Aşağıdaki salınımlardan hangisi zorlanır?

A) Bir yay üzerinde asılı duran bir yükün, denge konumundan bir kez sapmasından sonra salınımı;

B) Alıcının çalışması sırasında hoparlör konisinin salınımı;

B) Denge konumundaki yüke tek bir darbe sonrasında yaydan asılı yükün salınımı;

D) Çalışması sırasında elektrik motoru gövdesinin titreşimi;

D) Müzik dinleyen kişinin kulak zarının titreşimi.

3 Kendi frekansına sahip bir salınım sistemi, yasaya göre değişen bir dış itici güç tarafından etkilenmektedir. Salınım sistemindeki sönüm katsayısı eşittir. Bir cismin koordinatları hangi yasaya göre zamanla değişir?

C) Sürtünme nedeniyle sistem tarafından kaybedilen enerji, harici itici kuvvetin çalışmasından kaynaklanan enerji kazancıyla telafi edileceğinden, zorlanmış salınımların genliği değişmeden kalacaktır.

5 Sistem sinüzoidal bir kuvvetin etkisi altında zorlanmış salınımlar gerçekleştirir. Belirt Tüm Bu salınımların genliğinin bağlı olduğu faktörler.

A) Dış itici kuvvetin genliğinden;

B) Dış kuvvetin harekete geçmeye başladığı anda salınım sisteminde enerjinin varlığı;

C) Salınım sisteminin kendisinin parametreleri;

D) Salınım sistemindeki sürtünme;

D) Dış kuvvetin etki etmeye başladığı anda sistemdeki doğal salınımların varlığı;

E) Salınımların oluşma zamanı;

G) Dış itici gücün frekansları.

6 Kütlesi m olan bir blok, periyodu T ve genliği A olan yatay bir düzlem boyunca zorlanmış harmonik salınımlar gerçekleştirir. Sürtünme katsayısı μ. T periyoduna eşit bir sürede dış itici kuvvet tarafından hangi iş yapılır?

A) 4μmgA; B) 2μmgA; B) μmgA; D) 0;

D) Dış itici kuvvetin büyüklüğü bilinmediğinden cevap vermek imkansızdır.

7 Doğru bir ifadede bulunun

Rezonans bir olgudur...

A) Dış kuvvetin frekansının salınım sisteminin doğal frekansı ile çakışması;

B) Zorunlu salınımların genliğinde keskin bir artış.

Bu koşul altında rezonans gözlemlenir

A) Salınım sistemindeki sürtünmenin azaltılması;

B) Dış itici kuvvetin genliğinin arttırılması;

C) Dış kuvvetin frekansının salınım sisteminin doğal frekansı ile çakışması;

D) Dış kuvvetin frekansı rezonans frekansıyla çakıştığında.

8 Rezonans olgusu şu şekilde gözlemlenebilir:

A) Herhangi bir salınımlı sistemde;

B) Serbest salınım yapan bir sistemde;

B) Kendiliğinden salınan bir sistemde;

D) Zorunlu salınımlara maruz kalan bir sistemde.

9 Şekil, zorunlu salınımların genliğinin itici kuvvetin frekansına bağımlılığının bir grafiğini göstermektedir. Rezonans belirli bir frekansta meydana gelir...

10 Farklı viskoz ortamlarda bulunan üç özdeş sarkaç zorlanmış salınımlar gerçekleştirir. Şekil bu sarkaçların rezonans eğrilerini göstermektedir. Hangi sarkaç salınım sırasında viskoz ortamdan en büyük direnci görür?

A) 1; B) 2; 3'TE;

D) Dış kuvvetin frekansına ek olarak zorlanmış salınımların genliği de genliğine bağlı olduğundan bir cevap vermek imkansızdır. Koşul, dış itici gücün genliği hakkında hiçbir şey söylemez.

11 Salınım sisteminin doğal salınım periyodu T 0'a eşittir. Salınımların genliğinin keskin bir şekilde artması, yani sistemde bir rezonans oluşması için şokların periyodu ne olabilir?

A) T 0; B) T 0, 2 T 0, 3 T 0,…;

C) Salınım herhangi bir frekanstaki itmelerle sallanabilir.

12 Küçük kardeşiniz salıncakta oturuyor, onu kısa itmelerle sallıyorsunuz. Sürecin en verimli şekilde gerçekleşmesi için şokların art arda periyodu ne olmalıdır? Salınımın doğal salınım periyodu T 0.

D) Salınım herhangi bir frekanstaki itmelerle sallanabilir.

13 Küçük kardeşiniz salıncakta oturuyor, onu kısa itmelerle sallıyorsunuz. İşlemin en verimli şekilde gerçekleşmesi için itme salınımın hangi pozisyonunda ve itme hangi yönde yapılmalıdır?

A) Salınımın en üst konumunu denge konumuna doğru itin;

B) Salınımın en üst pozisyonunu denge pozisyonu yönünde itin;

B) Salınımın hareket yönünde dengeli bir pozisyonda itin;

D) Herhangi bir pozisyonda itebilirsiniz, ancak her zaman salınımın hareket yönünde.

14 Görünüşe göre köprüdeki bir sapandan kendi titreşimleriyle zamanında ateş ederek ve çok sayıda atış yaparak, onu güçlü bir şekilde sallayabilirsiniz, ancak bunun başarılı olması pek olası değildir. Neden?

A) Köprünün kütlesi (atalet) bir sapandan gelen “merminin” kütlesine kıyasla büyüktür; köprü bu tür darbelerin etkisi altında hareket edemeyecek;

B) Bir sapandan çıkan "merminin" darbe kuvveti o kadar küçüktür ki köprü bu tür darbelerin etkisi altında hareket edemeyecek;

C) Köprüye tek darbede verilen enerji, süre boyunca sürtünmeden dolayı kaybedilen enerjiden çok daha azdır.

15 Bir kova su taşıyorsun. Kovadaki su sallanıyor ve dışarı çıkıyor. Bunun olmasını önlemek için ne yapılabilir?

A) Kovanın bulunduğu eli yürüme ritmiyle sallayın;

B) Adımların uzunluğunu değiştirmeden hareket hızını değiştirin;

C) Periyodik olarak durun ve su titreşimlerinin sakinleşmesini bekleyin;

D) Hareket sırasında kepçeli elin kesinlikle dikey konumda olduğundan emin olun.

Görevler

1 Sistem 1000 Hz frekansında sönümlü salınımlar gerçekleştirir. Frekansı Belirle v 0 rezonans frekansı ise doğal titreşimler

2 Hangi D değerine göre belirleyin v Rezonans frekansı doğal frekanstan farklıdır v 0= 1000 Hz salınım sistemi, sönümleme katsayısı d = 400s -1 ile karakterize edilir.

3 Sertliği 10 N/m olan bir yay üzerinde asılı duran 100 g kütleli bir yük, r = 0,02 kg/s direnç katsayısına sahip viskoz bir ortamda zorlanmış salınımlar gerçekleştirmektedir. Sönümleme katsayısını, rezonans frekansını ve genliğini belirleyin. İtici kuvvetin genlik değeri 10 mN'dir.

4 w 1 = 400 s -1 ve w 2 = 600 s -1 frekanslarındaki zorlanmış harmonik salınımların genlikleri eşittir. Rezonans frekansını belirleyin.

5 Kamyonlar bir taraftan toprak yol boyunca tahıl ambarına giriyor, boşaltıyor ve ambardan aynı hızla ama diğer taraftan çıkıyor. Deponun hangi tarafında diğer tarafa göre daha fazla çukur var? Yolun durumuna göre deponun hangi tarafından giriş, hangi taraftan çıkış olduğunu nasıl belirleyebilirsiniz? Cevabı gerekçelendirin

Zorlanmış titreşimler

değişken bir dış kuvvetin etkisi altında herhangi bir sistemde meydana gelen titreşimler (örneğin, alternatif bir manyetik alanın etkisi altında bir telefon zarının titreşimleri, değişken bir yükün etkisi altında mekanik bir yapının titreşimleri, vb.). Askeri sistemin doğası hem dış kuvvetlerin doğası hem de sistemin kendi özellikleri tarafından belirlenir. Periyodik bir dış kuvvetin eyleminin başlangıcında, V.c'nin doğası zamanla değişir (özellikle V.c. periyodik değildir) ve ancak bir süre sonra periyodik V.c. periyodu dış kuvvetin periyoduna eşit olan sistem (kararlı durum VC.). Salınımlı bir sistemde voltajın oluşumu ne kadar hızlı gerçekleşirse, bu sistemdeki salınımların sönümlenmesi de o kadar büyük olur.

Özellikle doğrusal salınımlı sistemlerde (bkz. Salınımlı sistemler), harici bir kuvvet çalıştırıldığında, sistemde eşzamanlı olarak serbest (veya doğal) salınımlar ve salınımlar ortaya çıkar ve bu salınımların başlangıç anındaki genlikleri eşittir ve fazlar zıttır ( pirinç. ). Serbest salınımların kademeli olarak zayıflamasından sonra sistemde yalnızca kararlı durum salınımları kalır.

VK'nın genliği, etki eden kuvvetin genliği ve sistemdeki zayıflama ile belirlenir. Zayıflama küçükse, voltaj dalgasının genliği önemli ölçüde etki eden kuvvetin frekansı ile sistemin doğal salınımlarının frekansı arasındaki ilişkiye bağlıdır. Dış kuvvetin frekansı sistemin doğal frekansına yaklaştıkça VK'nın genliği keskin bir şekilde artar ve rezonans meydana gelir. Doğrusal olmayan sistemlerde (Doğrusal olmayan sistemlere bakınız), serbest ve VK'ya bölünme her zaman mümkün değildir.

Aydınlatılmış.: Khaikin S.E., Mekaniğin fiziksel temelleri, M., 1963.

Büyük Sovyet Ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. 1969-1978 .

Diğer sözlüklerde "Zorunlu salınımlar"ın ne olduğuna bakın:

Zorlanmış titreşimler- Zorlanmış titreşimler. Genliklerinin farklı zayıflamalardaki dış etkinin frekansına bağımlılığı: 1 zayıf zayıflama; 2 güçlü zayıflama; 3 kritik zayıflama. ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER, herhangi bir sistemde meydana gelen salınımlardır... ... Resimli Ansiklopedik Sözlük

zorunlu salınımlar- Dış genelleştirilmiş bir kuvvetin periyodik etkisi altında meydana gelen salınımlar. [Tahribatsız muayene sistemi. Tahribatsız muayene türleri (yöntemleri) ve teknolojisi. Terimler ve tanımlar (referans kitabı). Moskova 2003] zorla... ... Teknik Çevirmen Kılavuzu

Zorlanmış salınımlar, zamanla değişen dış kuvvetlerin etkisi altında meydana gelen salınımlardır. Kendi kendine salınımlar, zorunlu salınımlardan farklıdır, çünkü ikincisi periyodik dış etkilerden kaynaklanır ve bunun sıklığında meydana gelir ... Vikipedi

ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER, periyodik olarak değişen dış etkenlerin bir sonucu olarak herhangi bir sistemde meydana gelen titreşimlerdir: mekanik sistemdeki kuvvet, salınım devresindeki voltaj veya akım. Zorunlu salınımlar her zaman şu şekilde meydana gelir... ... Modern ansiklopedi

Kozmik l'de ortaya çıkan salınımlar. Periyodik etki altındaki sistem dahili kuvvetler (örneğin, alternatif bir manyetik alanın etkisi altında telefon zarının titreşimleri, alternatif bir yükün etkisi altında mekanik bir yapının titreşimleri). Har r V. k dış olarak tanımlanır. zorla... Fiziksel ansiklopedi

Kozmik l'de ortaya çıkan salınımlar. Sistem alternatiflerin etkisi altında dahili etkiler (örneğin, alternatif emk'nin neden olduğu bir elektrik devresinde voltaj ve akımdaki dalgalanmalar; alternatif yükün neden olduğu mekanik bir sistemin titreşimleri). V. K.'nin karakteri şunlar tarafından belirlenir: ... ... Büyük Ansiklopedik Politeknik Sözlüğü

Periyodik dış etkilerin etkisi altındaki bir sistemde ortaya çıkarlar (örneğin, periyodik bir kuvvetin etkisi altında bir sarkacın zorunlu salınımları, periyodik bir elektromotor kuvvetin etkisi altında bir salınım devresindeki zorunlu salınımlar). Eğer… … Büyük Ansiklopedik Sözlük

Zorlanmış titreşimler- (titreşim) – sistemin kuvvet ve/veya kinematik uyarımın neden olduğu ve desteklediği salınımlar (titreşim). [GOST 24346 80] Zorlanmış titreşimler, zamanla değişen yüklerin etkisinden kaynaklanan sistem titreşimleridir. [Sanayi... ... Yapı malzemelerinin terimleri, tanımları ve açıklamaları ansiklopedisi

- (Kısıtlanmış titreşimler, zorlanmış titreşimler) periyodik olarak etki eden bir dış kuvvetin neden olduğu vücut titreşimleri. Zorla salınım periyodu vücudun doğal salınım periyoduyla çakışırsa rezonans olgusu meydana gelir. Samoilov K.I.... ...Deniz Sözlüğü

ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER- (bkz.), dış değişken etkinin etkisi altındaki herhangi bir sistemde ortaya çıkan; karakterleri hem dış etkinin özellikleri hem de sistemin özellikleri tarafından belirlenir. Dış etkinin frekansı kendi frekansına yaklaştıkça... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

Periyodik dış etkilerin etkisi altındaki bir sistemde ortaya çıkarlar (örneğin, periyodik bir kuvvetin etkisi altında bir sarkacın zorunlu salınımları, periyodik bir emf'nin etkisi altında bir salınım devresindeki zorunlu salınımlar). Eğer frekans... ... ansiklopedik sözlük

Kitabın

Sönümleme dikkate alındığında şaft burulmasının zorlanmış titreşimleri, A.P. Filippov, Orijinal yazarın 1934 baskısının yazımıyla çoğaltılmıştır (SSCB Bilimler Akademisi İzvestia yayınevi). İÇİNDE… Kategori: Matematik Yayıncı: YOYO Medya, Üretici: Yoyo Medya,
Sönümleme dikkate alınarak çubukların zorlanmış enine titreşimleri, A.P. Filippov, Orijinal yazarın 1935 baskısının yazımıyla çoğaltılmıştır ("SSCB Bilimler Akademisi İzvestia yayınevi")... Kategori: