Olasılık teorisinin temel formülleri hakkında. Olasılık teorisinin gelişim tarihi. Olasılık teorisi nedir

Bölüm 12. Olasılık teorisi.

1. Giriş

2. Olasılık teorisinin en basit kavramları

3. Olayların cebiri

4. Rastgele bir olayın olasılığı

5. Geometrik olasılıklar

6. Klasik olasılıklar. Kombinatorik formüller.

7. Koşullu olasılık. Olayların bağımsızlığı.

8. Toplam olasılık formülü ve Bayes formülü

9. Tekrarlanan test şeması. Bernoulli formülü ve asimptotikleri

10. Rastgele değişkenler (RV)

11. DSV dağıtım serisi

12. Kümülatif dağılım fonksiyonu

13. NSV dağıtım işlevi

14. NSV'nin olasılık yoğunluğu

15. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

16. Önemli SV dağılımlarına örnekler

16.1. DSV'nin binom dağılımı.

16.2. Poisson Dağılımı

16.3. NSV'nin düzgün dağılımı.

16.4. Normal dağılım.

17. Olasılık teorisinin limit teoremleri.

giriiş

Olasılık teorisi, diğer birçok matematik disiplini gibi, uygulamanın ihtiyaçlarından doğmuştur. Aynı zamanda gerçek bir süreci incelerken gerçek sürecin soyut bir matematiksel modelini oluşturmak gerekiyordu. Genellikle, gerçek bir sürecin ana, en önemli itici güçleri dikkate alınır ve rastgele adı verilen ikincil olanlar dikkate alınmaz. Elbette neyin asıl sayıldığı, neyin ikincil olduğu ayrı bir görevdir. Bu sorunun çözümü matematiksel modelin soyutluk düzeyini, basitliğini veya karmaşıklığını ve modelin gerçek sürece uygunluk düzeyini belirler. Özünde, herhangi bir soyut model iki karşıt isteğin sonucudur: basitlik ve gerçekliğe uygunluk.

Örneğin atış teorisinde, bir noktada bulunan bir silahtan çıkan merminin uçuş yolunu belirlemek için oldukça basit ve kullanışlı formüller geliştirilmiştir (Şekil 1).

Belirli koşullar altında, söz konusu teori, örneğin büyük topçu hazırlıkları sırasında yeterlidir.

Ancak aynı koşullar altında tek bir silahla birden fazla atış yapılması durumunda yörüngelerin yakın da olsa yine de farklı olacağı açıktır. Ve eğer hedef boyutu saçılma alanıyla karşılaştırıldığında küçükse, o zaman özellikle önerilen modelde dikkate alınmayan faktörlerin etkisiyle ilgili spesifik sorular ortaya çıkar. Aynı zamanda ek faktörlerin dikkate alınması, kullanılması neredeyse imkansız olan aşırı karmaşık bir modele yol açacaktır. Ayrıca bu rastgele faktörlerin birçoğu vardır ve bunların doğası çoğunlukla bilinmemektedir.

Yukarıdaki örnekte, deterministik modelin ötesine geçen bu tür spesifik sorular, örneğin şunlardır: Hedefin belirli bir kesinlikle vurulmasını garanti etmek için (örneğin, üzerinde) kaç atış yapılması gerekir? Hedefi vurmak için en az mermiyi kullanmak amacıyla sıfırlama nasıl yapılmalıdır? ve benzeri.

Daha sonra göreceğimiz gibi "rastgele" ve "olasılık" kelimeleri katı matematik terimleri haline gelecektir. Aynı zamanda sıradan konuşma dilinde de çok yaygındırlar. "Rastgele" sıfatının "doğal" kelimesinin zıttı olduğuna inanılıyor. Ancak durum böyle değildir, çünkü doğa, rastgele süreçlerin örüntüleri ortaya çıkaracağı şekilde tasarlanmıştır, ancak belirli koşullar altında.

Ana koşul denir kitlesel karakter.

Mesela parayı attığınızda ne çıkacağını tahmin edemezsiniz, arma mı, sayı mı, sadece tahmin edebilirsiniz. Ancak bu para çok sayıda atılırsa, armanın düşme oranı 0,5'e yakın belirli bir sayıdan pek farklı olmayacaktır (ileride bu sayıya olasılık adını vereceğiz). Üstelik atış sayısının artmasıyla bu sayıdan sapma azalacaktır. Bu özelliğe denir istikrar ortalama göstergeler (bu durumda armaların payı). Olasılık teorisinin ilk adımlarında, pratikte kararlılık özelliğinin varlığını doğrulamak gerektiğinde, büyük bilim adamlarının bile kendi doğrulamalarını gerçekleştirmenin zor olduğunu düşünmedikleri söylenmelidir. Bu nedenle, 4040 kez yazı tura atan ve arması 2048 kez ortaya çıkan Buffon'un ünlü deneyinde, armanın kaybolma oranı (veya göreceli sıklığı) 0,508'dir ve bu sezgisel orana yakındır. beklenen sayı 0,5.

Bu nedenle genellikle tanım verilir. Kütlesel rastgele süreçlerin kalıplarını inceleyen bir matematik dalı olarak olasılık teorisinin konusu.

Olasılık teorisinin en büyük başarılarının geçen yüzyılın başlarına dayanmasına rağmen, özellikle A.N.'nin çalışmalarındaki teorinin aksiyomatik yapısı sayesinde söylenmelidir. Kolmogorov'a (1903-1987) göre kaza araştırmalarına ilgi uzun zaman önce ortaya çıktı.

İlk ilgi alanları kumara sayısal bir yaklaşım uygulamaya çalışmaktı. Olasılık teorisinin oldukça ilginç ilk sonuçları genellikle L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) ve N. Tartaglia'nın (1556) çalışmalarıyla ilişkilendirilir.

Daha sonra B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) klasik olasılık teorisinin temellerini attılar. 18. yüzyılın başında J. Bernoulli (1654-1705), uygun şansların sayısının tüm olası şansların sayısına oranı olarak rastgele bir olayın olasılığı kavramını oluşturdu. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) teorilerini kümenin ölçü kavramının kullanımı üzerine kurdular.

Küme kuramı bakış açısı en eksiksiz haliyle 1933'te sunuldu. BİR. Kolmogorov "Olasılık Teorisinin Temel Kavramları" monografisinde. Bu andan itibaren olasılık teorisi katı bir matematik bilimi haline gelir.

Rus matematikçiler P.L. olasılık teorisinin gelişimine büyük katkı yaptı. Çebyşev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) ve diğerleri.

Olasılık teorisi günümüzde hızla gelişmektedir.

Olasılık teorisinin en basit kavramları

Herhangi bir matematik disiplini gibi olasılık teorisi de tanımlanmayan, yalnızca açıklanan en basit kavramların tanıtılmasıyla başlar.

Temel temel kavramlardan biri deneyim. Deneyim, sınırsız sayıda yeniden üretilebilen belirli bir koşullar dizisi olarak anlaşılmaktadır. Bu kompleksin her uygulanmasına bir deneyim veya test diyeceğiz. Deneyin sonuçları farklı olabilir ve şans unsurunun ortaya çıktığı yer burasıdır. Bir deneyimin çeşitli sonuçları veya sonuçları denir. olaylar(daha doğrusu rastgele olaylar). Böylece deneyin uygulanması sırasında şu veya bu olay meydana gelebilir. Başka bir deyişle, rastgele bir olay, deneyin uygulanması sırasında meydana gelebilecek (ortaya çıkabilecek) veya oluşmayabilecek bir deneyin sonucudur.

Deneyim harfle gösterilir ve rastgele olaylar genellikle büyük harflerle gösterilir.

Çoğu zaman bir deneyde, en basit olarak adlandırılabilecek ve daha basit olanlara ayrıştırılamayan sonuçlarını önceden belirlemek mümkündür. Bu tür olaylara denir temel olaylar(veya durumlarda).

Örnek 1. Yazı tura atalım. Deneyin sonuçları şunlardır: armanın kaybı (bu olayı harfle belirtiyoruz); sayı kaybı ( ile gösterilir). O zaman şunu yazabiliriz: deneyim = (yazı-tura), sonuçlar: Bu deneydeki temel olayların olduğu açıktır. Başka bir deyişle, deneyimin tüm temel olaylarını listelemek onu tamamen açıklar. Bu bakımdan deneyimin temel olayların mekanı olduğunu söyleyeceğiz ve bizim durumumuzda deneyim kısaca şu şekilde yazılabilir: = (yazı-tura) = (G; C).

Örnek 2. =(para iki kez atılıyor)= İşte deneyimin sözlü bir açıklaması ve tüm temel olayların bir listesi: Bu, ilk olarak, ilk yazı tura atıldığında bir arma düştüğü, ikincisinde arma da düştüğü anlamına gelir; armanın ilk atışta, sayının ikinci atışta geldiği anlamına gelir, vb.

Örnek 3. Koordinat sisteminde noktalar bir kareye atılır. Bu örnekte temel olaylar, verilen eşitsizlikleri karşılayan koordinatlara sahip noktalardır. Kısaca şu şekilde yazılmıştır:

Kıvrımlı parantez içindeki iki nokta üst üste, noktalardan oluştuğu anlamına gelir, ancak herhangi bir noktayı değil, yalnızca iki nokta üst üsteden sonra belirtilen koşulu (veya koşulları) karşılayan noktalardan oluşur (örneğimizde bunlar eşitsizliklerdir).

Örnek 4.İlk arması görünene kadar para atılır. Başka bir deyişle yazı tura atılana kadar yazı tura atılır. Bu örnekte, sayıları sonsuz olmasına rağmen temel olaylar listelenebilir:

Örnek 3 ve 4'te temel olaylar uzayının sonsuz sayıda sonuca sahip olduğuna dikkat edin. Örnek 4'te bunlar listelenebilir; yeniden hesapla. Böyle bir kümeye sayılabilir denir. Örnek 3'te boşluk sayılamaz.

Herhangi bir deneyimde mevcut olan ve büyük teorik öneme sahip iki olayı daha tanıtalım.

Hadi olayı çağıralım imkansız, deneyimin bir sonucu olarak mutlaka meydana gelmediği sürece. Bunu boş kümenin işaretiyle göstereceğiz. Tam tersine, yaşanmışlıklar sonucunda meydana geleceği kesin olan olaya denir. güvenilir. Güvenilir bir olay, temel olayların alanıyla aynı şekilde - harfle - belirtilir.

Örneğin, zar atarken olay (toplanan 9 puandan az) güvenilirdir, ancak olay (toplanan tam 9 puan) imkansızdır.

Dolayısıyla, temel olayların uzayı sözlü bir tanımla, tüm temel olayların bir listesiyle ve tüm temel olayların elde edildiği kuralların veya koşulların belirlenmesiyle belirlenebilir.

Olayların cebiri

Şu ana kadar yalnızca deneyimin doğrudan sonuçları olan temel olaylardan bahsettik. Ancak tecrübe çerçevesinde temel olayların yanı sıra başka rastgele olaylardan da bahsedebiliriz.

Örnek 5. Zar atarken sırasıyla bir, iki,..., altı gibi temel olaylara ek olarak başka olaylardan da bahsedebiliriz: (çift sayı), (tek sayı), (üçün katı), (4'ten küçük bir sayı). ) vb. Bu örnekte, sözlü göreve ek olarak belirtilen olaylar, temel olayların listelenmesiyle belirtilebilir:

Temel olaylardan ve diğer olaylardan yeni olayların oluşumu, olaylar üzerindeki işlemler (veya eylemler) kullanılarak gerçekleştirilir.

Tanım.İki olayın çarpımı, bir deney sonucunda gerçekleşmesinden oluşan bir olaydır. Ve etkinlik , Ve olay, yani her iki olay da birlikte (aynı anda) meydana gelecektir.

Ürün işareti (nokta) sıklıkla atlanır:

Tanım.İki olayın toplamı, deney sonucunda gerçekleşmesinden oluşan bir olaydır. veya etkinlik , veya etkinlik , veya ikisi birlikte (aynı anda).

Her iki tanımda da bağlaçları bilinçli olarak vurguladık Ve Ve veya- Sorunları çözerken okuyucunun dikkatini konuşmanıza çekmek için. Eğer “ve” bağlacını telaffuz edersek olayların üretiminden bahsediyoruz demektir; Eğer “veya” bağlacı telaffuz ediliyorsa olayların eklenmesi gerekir. Aynı zamanda, günlük konuşmada "veya" bağlacının sıklıkla şu ikisinden birini dışlamak anlamında kullanıldığını da not ediyoruz: "yalnızca veya yalnızca". Olasılık teorisinde böyle bir istisna varsayılmaz: ve , ve , ve bir olayın meydana geldiği anlamına gelir

Temel olaylar numaralandırılarak verilirse, karmaşık olaylar belirtilen işlemler kullanılarak kolayca elde edilebilir. Elde etmek için, her iki olaya ait tüm temel olayları bulmanız gerekir; eğer hiçbiri yoksa, o zaman Olayların Toplamını oluşturmak da kolaydır: iki olaydan herhangi birini alıp buna aşağıdaki temel olayları eklemeniz gerekir: birincisine dahil olmayan diğer olay.

Örnek 5'te elde ettiğimiz, özellikle

Tanıtılan işlemlere ikili denir çünkü iki olay için tanımlandı. Aşağıdaki tekli işlem (tek bir olay için tanımlanmış) büyük önem taşımaktadır: olaya denir zıt Belirli bir deneyimde olayın meydana gelmediği gerçeğinden oluşuyorsa olay. Tanımdan her olayın ve onun karşıtının aşağıdaki özelliklere sahip olduğu açıktır: Tanıtılan işleme denir. ek olaylarA.

Buradan, eğer temel olayların bir listesi verilirse, olayın özellikleri bilinerek, uzaya ait olmayan tüm temel olaylardan oluştuğunu elde etmek kolaydır. Özellikle, örneğin 5. olay

Parantez yoksa, işlemleri gerçekleştirirken aşağıdaki öncelik belirlenir: toplama, çarpma, toplama.

Böylece, tanıtılan operasyonların yardımıyla, temel olayların alanı, sözde olayları oluşturan diğer rastgele olaylarla doldurulur. olayların cebiri.

Örnek 6. Atıcı hedefe üç el ateş etti. Olayları göz önünde bulundurun = (atıcı i'inci atışla hedefi vurdu), i = 1,2,3.

Bu olaylardan bazı olaylar oluşturalım (karşıt olanları da unutmayalım). Uzun yorumlar yapmıyoruz; Okuyucunun bunları bağımsız olarak yürüteceğine inanıyoruz.

Olay B = (üç atışın tümü hedefi vurdu). Daha fazla ayrıntı: B = ( Ve Birinci, Ve ikinci, Veüçüncü atış hedefi vurdu). Kullanılan rakor Ve, bu nedenle olaylar çoğalır:

Aynı şekilde:

C = (atışların hiçbiri hedefe isabet etmedi)

E = (bir atış hedefe ulaştı)

D = (ikinci atışta hedefin vurulması) = ;

F = (iki atışla vurulan hedef)

N = (en az bir vuruş hedefi vuracaktır)

Bilindiği gibi matematikte analitik nesnelerin, kavramların ve formüllerin geometrik yorumu büyük önem taşımaktadır.

Olasılık teorisinde, deneyimi, rastgele olayları ve bunlar üzerindeki işlemleri sözde (geometrik yorumlama) görsel olarak temsil etmek uygundur. Euler-Venn diyagramları. İşin özü, her deneyimin belirli bir kareye puan atılmasıyla özdeşleştirilmesi (yorumlanması). Noktalar rastgele atılır, böylece tüm noktaların o karenin herhangi bir yerine düşme şansı eşit olur. Kare söz konusu deneyimin çerçevesini tanımlar. Deneyimin içindeki her olay, meydanın belirli bir alanıyla özdeşleşiyor. Yani bir olayın meydana gelmesi, harfle gösterilen alana rastgele bir noktanın düşmesi anlamına gelir ve olaylar üzerinde yapılan işlemler geometrik olarak kolaylıkla yorumlanır (Şekil 2).

A + B: herhangi biri

Kuluçka

Şekil 2 a)'da, netlik sağlamak amacıyla, A olayı dikey gölgelemeyle, B olayı ise yatay gölgelemeyle vurgulanmıştır. Daha sonra çarpma işlemi çift taramaya karşılık gelir - olay, karenin çift taramayla kaplanan kısmına karşılık gelir. Üstelik o zaman bunlara uyumsuz olaylar denir. Buna göre, ekleme işlemi herhangi bir tarama işlemine karşılık gelir - olay, karenin herhangi bir tarama işlemiyle gölgelenen bir kısmı anlamına gelir - dikey, yatay ve çift. Şekil 2 b)'de olay gösterilmektedir; karenin gölgeli kısmına karşılık gelir - alana dahil olmayan her şey. Tanıtılan operasyonlar, bazıları aynı isimdeki operasyonlar için geçerli olan aşağıdaki temel özelliklere sahiptir. sayılar üzerinde, ancak belirli olanlar da var.

10. çarpımın değişme özelliği;

20. toplamanın değişmezliği;

otuz. çarpmanın ilişkilendirilebilirliği;

4 0. ek ilişkisellik,

50. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı,

6 0. toplamanın çarpmaya göre dağılımı;

9 0 . de Morgan'ın dualite yasaları,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Örnek 7. Ivan ve Peter T saatlik bir zaman aralığında, örneğin (0, T) buluşmaya karar verdiler. Aynı zamanda toplantıya gelirken her birinin diğerini bir saatten fazla beklemeyeceği konusunda anlaştılar.

Bu örneğe geometrik bir yorum verelim. Şunu belirtelim: İvan'ın toplantıya geliş zamanı; Peter'ın toplantıya varış zamanı. Kararlaştırıldığı gibi: 0 . O zaman koordinat sisteminde şunu elde ederiz: = Örneğimizde temel olayların uzayının bir kare olduğunu fark etmek kolaydır. 1

0 x karenin bu çizginin üzerinde kalan kısmına karşılık gelir Benzer şekilde ikinci eşitsizlik y≤x+ ve; ve eğer tüm öğeler çalışmıyorsa çalışmaz; .Böylece de Morgan'ın ikinci dualite yasası: elemanlar paralel olarak bağlandığında uygulanır.

Yukarıdaki örnek, olasılık teorisinin neden fizikte, özellikle de gerçek teknik cihazların güvenilirliğinin hesaplanmasında yaygın olarak kullanıldığını göstermektedir.

“Kazalar tesadüfi değildir”... Kulağa bir filozofun söylediği gibi gelebilir ama aslında rastlantısallığı incelemek büyük matematik biliminin kaderidir. Matematikte şans konusu olasılık teorisiyle ele alınır. Makalede formüller ve görev örnekleri ile bu bilimin temel tanımları sunulacaktır.

Olasılık teorisi nedir?

Olasılık teorisi rastgele olayları inceleyen matematik disiplinlerinden biridir.

Konuyu biraz daha açık hale getirmek için küçük bir örnek verelim: Eğer bir parayı havaya atarsanız, yazı veya tura gelebilir. Madeni para havadayken bu olasılıkların her ikisi de mümkündür. Yani olası sonuçların olasılığı 1:1'dir. 36 kartlık bir desteden bir kart çekilirse olasılık 1:36 olarak gösterilecektir. Burada, özellikle matematiksel formüllerin yardımıyla keşfedilecek ve tahmin edilecek hiçbir şey yok gibi görünüyor. Bununla birlikte, belirli bir eylemi birçok kez tekrarlarsanız, belirli bir modeli tanımlayabilir ve buna dayanarak diğer koşullardaki olayların sonucunu tahmin edebilirsiniz.

Yukarıdakilerin hepsini özetlemek gerekirse, klasik anlamda olasılık teorisi, olası olaylardan birinin sayısal bir değerde meydana gelme olasılığını inceler.

Tarihin sayfalarından

Olasılık teorisi, formüller ve ilk görevlerin örnekleri, kart oyunlarının sonucunu tahmin etme girişimlerinin ilk ortaya çıktığı uzak Orta Çağ'da ortaya çıktı.

Başlangıçta olasılık teorisinin matematikle hiçbir ilgisi yoktu. Pratikte yeniden üretilebilecek bir olayın ampirik gerçekleri veya özellikleriyle gerekçelendirildi. Bir matematik disiplini olarak bu alanda ilk çalışmalar 17. yüzyılda ortaya çıkmıştır. Kurucuları Blaise Pascal ve Pierre Fermat'tı. Uzun süre kumar üzerine çalıştılar ve belli kalıpları gördüler ve bunları halka anlatmaya karar verdiler.

Aynı teknik, Pascal ve Fermat'ın araştırmalarının sonuçlarına aşina olmamasına rağmen Christiaan Huygens tarafından icat edildi. Disiplinin tarihinde ilk sayılan “olasılık teorisi” kavramı, formülleri ve örnekleri onun tarafından ortaya atılmıştır.

Jacob Bernoulli'nin çalışmaları, Laplace ve Poisson teoremlerinin önemi de azımsanmayacak düzeydedir. Olasılık teorisini daha çok bir matematik disiplini haline getirdiler. Olasılık teorisi, formüller ve temel görev örnekleri Kolmogorov'un aksiyomları sayesinde bugünkü halini aldı. Tüm değişikliklerin sonucunda olasılık teorisi matematiğin dallarından biri haline geldi.

Olasılık teorisinin temel kavramları. Olaylar

Bu disiplinin ana kavramı “olay”dır. Üç tür olay vardır:

Güvenilir. Zaten olacak olanlar (para düşecek).
İmkansız. Hiçbir koşulda gerçekleşmeyecek olaylar (paranın havada asılı kalması).
Rastgele. Olacakları veya olmayacakları. Tahmin edilmesi çok zor olan çeşitli faktörlerden etkilenebilirler. Bir madeni paradan bahsedersek, sonucu etkileyebilecek rastgele faktörler vardır: madalyonun fiziksel özellikleri, şekli, orijinal konumu, atış kuvveti vb.

Örneklerdeki tüm olaylar, farklı bir role sahip olan P hariç, büyük Latin harfleriyle gösterilmiştir. Örneğin:

A = “öğrenciler derse geldi.”
Ā = “öğrenciler derse gelmedi.”

Pratik görevlerde olaylar genellikle kelimelerle yazılır.

Olayların en önemli özelliklerinden biri olasılıklarının eşit olmasıdır. Yani, eğer bir parayı atarsanız, düşene kadar ilk düşüşün tüm çeşitleri mümkündür. Ancak olaylar da aynı derecede mümkün değildir. Bu, birisi kasıtlı olarak bir sonucu etkilediğinde meydana gelir. Örneğin, ağırlık merkezinin kaydırıldığı "işaretli" oyun kartları veya zarlar.

Etkinlikler aynı zamanda uyumlu ve uyumsuz olabilir. Uyumlu olaylar birbirinin oluşumunu dışlamaz. Örneğin:

A = “öğrenci derse geldi.”
B = “öğrenci derse geldi.”

Bu olaylar birbirinden bağımsızdır ve birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemez. Uyumsuz olaylar, birinin meydana gelmesinin diğerinin meydana gelmesini dışlaması gerçeğiyle tanımlanır. Aynı madeni paradan bahsedersek, "yazı" kaybı aynı deneyde "tura" çıkmasını imkansız hale getirir.

Etkinliklerle ilgili eylemler

Olaylar çoğaltılabilir ve toplanabilir; buna göre disiplinde mantıksal bağlaçlar “AND” ve “OR” tanıtılmıştır.

Tutar, A veya B olayının ya da ikisinin aynı anda meydana gelebilmesi gerçeğine göre belirlenir. Eğer uyumsuzlarsa son seçenek imkansızdır; ya A ya da B atılacaktır.

Olayların çoğalması A ve B'nin aynı anda ortaya çıkmasından ibarettir.

Artık temelleri, olasılık teorisini ve formülleri daha iyi hatırlamak için birkaç örnek verebiliriz. Aşağıda problem çözme örnekleri.

1. Egzersiz: Şirket üç tür iş için sözleşme almak üzere bir yarışmaya katılmaktadır. Meydana gelebilecek olası olaylar:

A = “Firma ilk sözleşmeyi alacak.”
A 1 = “Firma ilk sözleşmeyi alamayacak.”
B = “firma ikinci bir sözleşme alacak.”
B 1 = “firma ikinci bir sözleşme alamayacak”
C = “firma üçüncü bir sözleşme alacak.”
C 1 = “firma üçüncü bir sözleşme alamayacak.”

Olaylara ilişkin eylemleri kullanarak aşağıdaki durumları ifade etmeye çalışacağız:

K = “şirket tüm sözleşmeleri alacak.”

Matematiksel formda denklem şu forma sahip olacaktır: K = ABC.

M = “şirket tek bir sözleşme alamayacak.”

M = A 1 B 1 C 1.

Görevi karmaşıklaştıralım: H = “şirket bir sözleşme alacak.” Şirketin hangi sözleşmeyi (birinci, ikinci veya üçüncü) alacağı bilinmediğinden, olası olayların tamamının kaydedilmesi gerekir:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Ve MÖ 1 1, firmanın birinci ve üçüncü sözleşmeyi almadığı, ancak ikinciyi aldığı bir dizi olaydır. Diğer olası olaylar uygun yöntem kullanılarak kaydedildi. Disiplindeki υ sembolü “OR” bağlacı anlamına gelir. Yukarıdaki örneği insan diline çevirirsek, şirket ya üçüncü sözleşmeyi ya ikinciyi ya da birinciyi alacaktır. Benzer şekilde “Olasılık Teorisi” disiplinindeki diğer koşulları da yazabilirsiniz. Yukarıda sunulan formüller ve problem çözme örnekleri, bunu kendi başınıza yapmanıza yardımcı olacaktır.

Aslında olasılık

Belki de bu matematik disiplininde bir olayın olasılığı merkezi kavramdır. Olasılığın 3 tanımı vardır:

klasik;
istatistiksel;
geometrik.

Her birinin olasılık çalışmasında yeri vardır. Olasılık teorisi, formüller ve örnekler (9. sınıf) esas olarak şuna benzeyen klasik tanımı kullanır:

A durumunun olasılığı, onun gerçekleşmesini destekleyen sonuçların sayısının tüm olası sonuçların sayısına oranına eşittir.

Formül şuna benzer: P(A)=m/n.

A aslında bir olaydır. A'nın tersi bir durum ortaya çıkarsa Ā veya A 1 olarak yazılabilir.

m olası olumlu durumların sayısıdır.

n - gerçekleşebilecek tüm olaylar.

Örneğin, A = “kalp renginden bir kart çek.” Standart bir destede 36 kart vardır ve bunların 9'u kupadır. Buna göre sorunu çözme formülü şöyle görünecektir:

P(A)=9/36=0,25.

Sonuç olarak desteden kalp renginde bir kartın çekilme olasılığı 0,25 olacaktır.

Yüksek matematiğe doğru

Artık olasılık teorisinin ne olduğu, okul müfredatında karşılaşılan problem çözme formülleri ve örnekleri çok az biliniyor. Ancak üniversitelerde öğretilen yüksek matematikte olasılık teorisine de rastlanmaktadır. Çoğunlukla teorinin geometrik ve istatistiksel tanımları ve karmaşık formüllerle çalışırlar.

Olasılık teorisi çok ilginçtir. Olasılığın istatistiksel (veya frekans) tanımıyla formülleri ve örnekleri (yüksek matematik) küçük çapta çalışmaya başlamak daha iyidir.

İstatistiksel yaklaşım klasik yaklaşımla çelişmez ancak onu biraz genişletir. İlk durumda bir olayın hangi olasılıkla meydana geleceğini belirlemek gerekliyse, bu yöntemde olayın ne sıklıkta gerçekleşeceğini belirtmek gerekir. Burada Wn(A) ile gösterilebilecek yeni bir “göreceli frekans” kavramı tanıtılmaktadır. Formül klasik olandan farklı değil:

Tahmin için klasik formül hesaplanırsa, deney sonuçlarına göre istatistiksel formül hesaplanır. Örneğin küçük bir görevi ele alalım.

Teknolojik kontrol departmanı ürünleri kalite açısından kontrol eder. 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. Kaliteli bir ürünün sıklık olasılığı nasıl bulunur?

A = “kaliteli bir ürünün görünümü.”

Wn(A)=97/100=0,97

Yani kaliteli bir ürünün frekansı 0,97’dir. 97'yi nereden buldun? Kontrol edilen 100 üründen 3'ünün kalitesiz olduğu tespit edildi. 100'den 3 çıkarıp 97 elde ediyoruz, bu kaliteli mal miktarıdır.

Kombinatorik hakkında biraz

Olasılık teorisinin başka bir yöntemine kombinatorik denir. Temel prensibi şudur: Eğer belirli bir A seçimi m farklı şekilde yapılabiliyorsa ve bir B seçimi de n farklı şekilde yapılabiliyorsa, o zaman A ve B'nin seçimi çarpma yoluyla yapılabilir.

Örneğin A şehrinden B şehrine giden 5 yol vardır. B şehrinden C şehrine 4 yol vardır. A şehrinden C şehrine kaç farklı yoldan gidebilirsiniz?

Çok basit: 5x4=20 yani A noktasından C noktasına yirmi farklı yoldan ulaşabilirsiniz.

Görevi karmaşıklaştıralım. Solitaire'de kartları yerleştirmenin kaç yolu vardır? Destede 36 kart var; bu başlangıç noktasıdır. Yol sayısını bulmak için, başlangıç noktasından her seferinde bir kartı "çıkarmanız" ve çarpmanız gerekir.

Yani 36x35x34x33x32...x2x1= sonuç hesap makinesi ekranına sığmadığından basitçe 36! olarak belirtilebilir. İmza "!" sayının yanındaki sayı dizisinin tamamının birbiriyle çarpıldığını gösterir.

Kombinatorikte permütasyon, yerleştirme ve kombinasyon gibi kavramlar vardır. Her birinin kendine has formülü var.

Bir kümenin elemanlarının sıralı bir kümesine düzenleme denir. Yerleştirmeler tekrarlanabilir, yani bir öğe birkaç kez kullanılabilir. Ve tekrarlanmadan, öğeler tekrarlanmadığında. n tüm öğelerdir, m yerleştirmeye katılan öğelerdir. Tekrarlama olmadan yerleştirme formülü şöyle görünecektir:

A n m =n!/(n-m)!

Yalnızca yerleştirme sırası farklılık gösteren n elemanın bağlantılarına permütasyon denir. Matematikte şöyle görünür: P n = n!

M'nin n elementinin kombinasyonları, hangi elementlerin olduğu ve toplam sayılarının ne olduğunun önemli olduğu bileşiklerdir. Formül şöyle görünecek:

a n m =n!/m!(n-m)!

Bernoulli'nin formülü

Olasılık teorisinde, her disiplinde olduğu gibi, kendi alanında onu yeni bir seviyeye taşıyan seçkin araştırmacıların çalışmaları bulunmaktadır. Bu çalışmalardan biri, belirli bir olayın bağımsız koşullar altında meydana gelme olasılığını belirlemenizi sağlayan Bernoulli formülüdür. Bu, bir deneyde A'nın ortaya çıkmasının, aynı olayın daha önceki veya sonraki denemelerde meydana gelip gelmemesine bağlı olmadığını göstermektedir.

Bernoulli denklemi:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

(A) olayının gerçekleşme olasılığı (p) her deneme için sabittir. N sayıda deneyde durumun tam olarak m kez ortaya çıkma olasılığı yukarıda sunulan formülle hesaplanacaktır. Buna göre q sayısının nasıl bulunacağı sorusu ortaya çıkıyor.

A olayı p sayıda meydana gelirse, buna göre gerçekleşmeyebilir. Birim, bir disiplindeki bir durumun tüm sonuçlarını belirtmek için kullanılan bir sayıdır. Bu nedenle q, bir olayın gerçekleşmeme olasılığını gösteren bir sayıdır.

Artık Bernoulli'nin formülünü (olasılık teorisi) biliyorsunuz. Aşağıda problem çözme örneklerini (birinci seviye) ele alacağız.

Görev 2: Bir mağaza ziyaretçisi 0,2 olasılıkla satın alma işlemi gerçekleştirecektir. Mağazaya bağımsız olarak 6 ziyaretçi girdi. Bir ziyaretçinin satın alma yapma olasılığı nedir?

Çözüm: Kaç ziyaretçinin (biri veya altısı) alışveriş yapması gerektiği bilinmediğinden, olası tüm olasılıkları Bernoulli formülünü kullanarak hesaplamak gerekir.

A = “ziyaretçi alışveriş yapacak.”

Bu durumda: p = 0,2 (görevde belirtildiği gibi). Buna göre q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (mağazada 6 müşteri olduğu için). m sayısı 0'dan (tek bir müşteri satın alma işlemi yapmayacak) 6'ya (mağazaya gelen tüm ziyaretçiler bir şey satın alacak) kadar değişecektir. Sonuç olarak çözüme ulaşıyoruz:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Hiçbir alıcı 0,2621 olasılıkla alım yapmayacak.

Bernoulli'nin formülü (olasılık teorisi) başka nasıl kullanılır? Aşağıda problem çözme örnekleri (ikinci seviye) yer almaktadır.

Yukarıdaki örnekten sonra C ve r'nin nereye gittiğine dair sorular ortaya çıkıyor. P'ye göre, 0'ın üssü bir sayı bire eşit olacaktır. C'ye gelince, aşağıdaki formülle bulunabilir:

C n m = n! /m!(n-m)!

İlk örnekte sırasıyla m = 0 olduğundan, prensipte sonucu etkilemeyen C = 1'dir. Yeni formülü kullanarak iki ziyaretçinin ürün satın alma olasılığının ne olduğunu bulmaya çalışalım.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Olasılık teorisi o kadar da karmaşık değil. Örnekleri yukarıda sunulan Bernoulli formülü bunun doğrudan kanıtıdır.

Poisson formülü

Poisson denklemi düşük olasılıklı rastgele durumları hesaplamak için kullanılır.

Temel formül:

Pn(m)=λm/m! × e (-λ) .

Bu durumda λ = n x p. İşte basit bir Poisson formülü (olasılık teorisi). Aşağıda problem çözme örneklerini ele alacağız.

Görev 3: Fabrika 100.000 parça üretti. Arızalı parçanın meydana gelmesi = 0,0001. Bir partide 5 adet hatalı parça olma olasılığı nedir?

Gördüğünüz gibi evlilik pek olası olmayan bir olaydır ve bu nedenle hesaplama için Poisson formülü (olasılık teorisi) kullanılır. Bu tür problemleri çözme örnekleri disiplindeki diğer görevlerden farklı değildir; gerekli verileri verilen formüle koyarız:

A = “Rastgele seçilen bir parça kusurlu olacaktır.”

p = 0,0001 (görev koşullarına göre).

n = 100000 (parça sayısı).

m = 5 (kusurlu parçalar). Verileri formülde değiştiririz ve şunu elde ederiz:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Tıpkı yukarıda yazılan çözüm örnekleri olan Bernoulli formülü (olasılık teorisi) gibi, Poisson denkleminin de bilinmeyen bir e değeri vardır.Aslında aşağıdaki formülle bulunabilir:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Ancak e'nin hemen hemen tüm değerlerini içeren özel tablolar vardır.

De Moivre-Laplace teoremi

Bernoulli şemasında deneme sayısı yeterince büyükse ve A olayının tüm şemalarda meydana gelme olasılığı aynıysa, o zaman A olayının bir dizi testte belirli sayıda meydana gelme olasılığı şu şekilde bulunabilir: Laplace'ın formülü:

n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Laplace formülünü (olasılık teorisi) daha iyi hatırlamak için aşağıda sorun örnekleri verilmiştir.

Öncelikle X m'yi bulalım, verileri (hepsi yukarıda listelenmiştir) formülde yerine koyalım ve 0,025 elde edelim. Tabloları kullanarak değeri 0,3988 olan ϕ(0,025) sayısını buluruz. Artık tüm verileri formülde değiştirebilirsiniz:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Yani uçucunun tam olarak 267 kez çalışma olasılığı 0,03'tür.

Bayes formülü

Aşağıda yardımı ile problem çözme örnekleri verilecek olan Bayes formülü (olasılık teorisi), bir olayın olasılığını, onunla ilişkilendirilebilecek koşullara göre tanımlayan bir denklemdir. Temel formül aşağıdaki gibidir:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A ve B kesin olaylardır.

P(A|B) koşullu bir olasılıktır, yani B olayının doğru olması koşuluyla A olayı gerçekleşebilir.

P (B|A) - B olayının koşullu olasılığı.

Dolayısıyla, “Olasılık Teorisi” adlı kısa dersin son kısmı Bayes formülüdür, aşağıda problemlerin çözüm örnekleri yer almaktadır.

Görev 5: Depoya 3 firmadan telefon getirildi. Aynı zamanda ilk tesiste üretilen telefonların payı %25, ikinci tesiste %60, üçüncü tesiste ise %15'tir. Ayrıca ilk fabrikada kusurlu ürün oranının ortalama %2, ikinci fabrikada %4 ve üçüncü fabrikada %1 olduğu da bilinmektedir. Rastgele seçilen bir telefonun arızalı olma olasılığını bulmanız gerekiyor.

A = “rastgele seçilen telefon.”

B 1 - ilk fabrikanın ürettiği telefon. Buna göre tanıtım B 2 ve B 3 görünecektir (ikinci ve üçüncü fabrikalar için).

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

P(B1) = %25/%100 = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - böylece her seçeneğin olasılığını bulduk.

Şimdi istenen olayın koşullu olasılıklarını, yani şirketlerdeki kusurlu ürün olasılığını bulmanız gerekiyor:

P(A/B1) = %2/%100 = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P(A/B3) = 0,01.

Şimdi verileri Bayes formülünde yerine koyalım ve şunu elde edelim:

P(A) = 0,25x0,2 + 0,6x0,4 + 0,15x0,01 = 0,0305.

Makale olasılık teorisini, formülleri ve problem çözme örneklerini sunuyor, ancak bu geniş bir disiplinin buzdağının yalnızca görünen kısmı. Ve yazılanlardan sonra hayatta olasılık teorisine ihtiyaç olup olmadığı sorusunu sormak mantıklı olacaktır. Sıradan bir insanın cevap vermesi zordur; ikramiyeyi birden fazla kez kazanmak için kullanan birine sormak daha iyidir.

Olasılık teorisi, rastgele olayların kalıplarını inceleyen bir matematik dalıdır: rastgele olaylar, rastgele değişkenler, bunların özellikleri ve bunlar üzerindeki işlemler.

Uzun bir süre olasılık teorisinin net bir tanımı yoktu. Sadece 1929'da formüle edildi. Olasılık teorisinin bir bilim olarak ortaya çıkışı Orta Çağ'a ve kumarın (pul, zar, rulet) matematiksel analizine yönelik ilk girişimlere kadar uzanır. 17. yüzyılın Fransız matematikçileri Blaise Pascal ve Pierre Fermat, kumarda kazanç tahminlerini incelerken, zar atıldığında ortaya çıkan ilk olasılıksal kalıpları keşfettiler.

Olasılık teorisi, kitlesel rastgele olayların belirli kalıplara dayandığı inancından bir bilim olarak doğmuştur. Olasılık teorisi bu kalıpları inceler.

Olasılık teorisi, oluşumu kesin olarak bilinmeyen olayların incelenmesiyle ilgilidir. Bazı olayların diğerleriyle karşılaştırıldığında ortaya çıkma olasılık derecesini yargılamanıza olanak tanır.

Örneğin: bir madeni paranın atılması sonucunda "tura" veya "yazı" sonucunu kesin olarak belirlemek imkansızdır, ancak tekrar tekrar atıldığında yaklaşık olarak aynı sayıda "tura" ve "yazı" ortaya çıkar, bu da şu anlama gelir: “tura” veya “yazı”nın düşme olasılığı %50'ye eşittir.

Ölçek bu durumda belirli bir dizi koşulun uygulanmasına, yani bu durumda yazı tura atılması denir. Mücadele sınırsız sayıda oynanabilir. Bu durumda koşullar kümesi rastgele faktörleri içerir.

Test sonucu: etkinlik. Olay şöyle olur:

Güvenilir (her zaman test sonucunda ortaya çıkar).
İmkansız (asla olmaz).
Rastgele (test sonucunda oluşabilir veya oluşmayabilir).

Örneğin, bir parayı atarken imkansız bir olay - paranın kenarına düşmesi, rastgele bir olay - "tura" veya "yazı" görünümü. Spesifik test sonucu denir temel olay. Test sonucunda yalnızca temel olaylar meydana gelir. Tüm olası, farklı, spesifik test sonuçlarının kümesine ne ad verilir? temel olayların alanı.

Teorinin temel kavramları

Olasılık- Bir olayın meydana gelme olasılığının derecesi. Bazı olası olayların gerçekte meydana gelmesinin nedenleri karşıt nedenlerden daha ağır bastığında, bu olaya olası, aksi takdirde olası olmayan veya olasılık dışı denir.

Rastgele değer- bu, test sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisinin önceden bilinmediği bir miktardır. Örneğin: itfaiye istasyonu başına günlük sayı, 10 atışla isabet sayısı vb.

Rastgele değişkenler iki kategoriye ayrılabilir.

Ayrık rassal değişken test sonucunda belirli bir olasılıkla belirli değerleri alabilen, sayılabilir bir küme (elemanları numaralandırılabilen bir küme) oluşturan bir niceliktir. Bu küme sonlu veya sonsuz olabilir. Örneğin hedefe ilk vuruştan önceki atış sayısı ayrık bir rastgele değişkendir çünkü bu nicelik sayılabilir de olsa sonsuz sayıda değer alabilir.
Sürekli rastgele değişken sonlu veya sonsuz bir aralıktan herhangi bir değer alabilen bir niceliktir. Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Olasılık alanı- A.N. tarafından tanıtılan konsept. Kolmogorov'un 20. yüzyılın 30'lu yıllarında olasılık kavramını resmileştirmesi, olasılık teorisinin katı bir matematik disiplini olarak hızlı bir şekilde gelişmesine yol açtı.

Bir olasılık uzayı üçlüdür (bazen açılı parantez içine alınır: , burada

Bu, öğeleri temel olaylar, sonuçlar veya noktalar olarak adlandırılan keyfi bir kümedir;
- (rastgele) olaylar olarak adlandırılan alt kümelerin sigma cebiri;
- olasılık ölçüsü veya olasılık, yani. sigma-toplamlı sonlu ölçü öyle ki .

De Moivre-Laplace teoremi- Laplace tarafından 1812'de kurulan olasılık teorisinin limit teoremlerinden biri. Aynı rastgele deneyi iki olası sonuçla tekrar tekrar tekrarladığınızda elde edilen başarı sayısının yaklaşık olarak normal dağıldığını belirtir. Yaklaşık bir olasılık değeri bulmanızı sağlar.

Bağımsız denemelerin her biri için, bazı rastgele olayların meydana gelme olasılığı ()'ye eşitse ve bu olayın gerçekten meydana geldiği denemelerin sayısı ise, o zaman eşitsizliğin doğru olma olasılığı (büyük değerler için) şuna yakındır: Laplace integralinin değeri.

Olasılık teorisinde dağılım fonksiyonu- rastgele bir değişkenin veya rastgele vektörün dağılımını karakterize eden bir fonksiyon; bir rastgele değişken X'in x'ten küçük veya ona eşit bir değer alma olasılığı; burada x, isteğe bağlı bir gerçek sayıdır. Bilinen koşullar karşılanırsa tamamen rastgele değişkeni belirler.

Beklenen değer- rastgele bir değişkenin ortalama değeri (bu, olasılık teorisinde dikkate alınan rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır). İngiliz edebiyatında Rusça'da - ile gösterilir. İstatistiklerde gösterim sıklıkla kullanılır.

Bir olasılık uzayı ve onun üzerinde tanımlı bir rastgele değişken verilsin. Bu, tanımı gereği ölçülebilir bir fonksiyondur. Daha sonra, eğer uzay üzerinde bir Lebesgue integrali varsa, buna matematiksel beklenti veya ortalama değer denir ve ile gösterilir.

Rastgele bir değişkenin varyansı- belirli bir rastgele değişkenin yayılımının ölçüsü, yani matematiksel beklentiden sapması. Rus ve yabancı edebiyatta belirtilmiştir. İstatistiklerde veya gösterimi sıklıkla kullanılır. Varyansın kareköküne standart sapma, standart sapma veya standart yayılma denir.

Bir olasılık uzayında tanımlanmış bir rastgele değişken olsun. Daha sonra

burada sembol matematiksel beklentiyi belirtir.

Olasılık teorisinde iki rastgele olaya denir. bağımsız Bunlardan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa. Benzer şekilde, iki rastgele değişken denir bağımlı Bunlardan birinin değeri diğerinin değerlerinin olasılığını etkiliyorsa.

Büyük sayılar yasasının en basit biçimi Bernoulli teoremidir; bu teoreme göre, eğer bir olayın olasılığı tüm denemelerde aynıysa, o zaman deneme sayısı arttıkça olayın sıklığı olayın olasılığına doğru yönelir ve rastgele olmaktan çıkar.

Olasılık teorisindeki büyük sayılar kanunu, sabit bir dağılımdan alınan sonlu bir örneğin aritmetik ortalamasının, o dağılımın teorik ortalamasına yakın olduğunu belirtir. Yakınsama türüne bağlı olarak, yakınsamanın olasılıkla gerçekleştiği durumlarda büyük sayılar zayıf yasası ile yakınsamanın neredeyse kesin olduğu büyük sayılar güçlü yasası arasında bir ayrım yapılır.

Büyük sayılar yasasının genel anlamı, çok sayıda özdeş ve bağımsız rastgele faktörün ortak eyleminin, limit dahilinde şansa bağlı olmayan bir sonuca yol açmasıdır.

Sonlu örnek analizine dayalı olasılık tahmin yöntemleri bu özelliğe dayanmaktadır. Bunun açık bir örneği, seçmenlerden oluşan bir örneklem üzerinde yapılan ankete dayalı olarak seçim sonuçlarının tahmin edilmesidir.

Merkezi limit teoremleri- Olasılık teorisinde, yaklaşık olarak aynı ölçeğe sahip (hiçbir terimin baskın olmadığı veya toplama belirleyici bir katkıda bulunmadığı) yeterince büyük sayıda zayıf bağımlı rastgele değişkenin toplamının normale yakın bir dağılıma sahip olduğunu belirten bir teorem sınıfı.

Uygulamalardaki birçok rastgele değişken, zayıf bağımlı birkaç rastgele faktörün etkisi altında oluştuğundan dağılımları normal kabul edilir. Bu durumda faktörlerden hiçbirinin baskın olmaması koşulunun sağlanması gerekir. Bu durumlarda merkezi limit teoremleri normal dağılımın kullanımını doğrular.

Bazı programcılar, düzenli ticari uygulamalar geliştirme alanında çalıştıktan sonra makine öğreniminde uzmanlaşmayı ve veri analisti olmayı düşünüyor. Genellikle belirli yöntemlerin neden işe yaradığını anlamıyorlar ve çoğu makine öğrenimi yöntemi sihir gibi görünüyor. Aslında makine öğrenimi matematiksel istatistiklere, o da olasılık teorisine dayanmaktadır. Bu nedenle bu yazıda olasılık teorisinin temel kavramlarına dikkat edeceğiz: olasılık, dağılım tanımlarına değineceğiz ve birkaç basit örneği analiz edeceğiz.

Olasılık teorisinin geleneksel olarak 2 bölüme ayrıldığını biliyor olabilirsiniz. Ayrık olasılık teorisi, sonlu (veya sayılabilir) sayıda olası davranış seçeneğine (zar atma, madeni para atma) sahip bir dağılımla tanımlanabilecek olayları inceler. Sürekli olasılık teorisi, örneğin bir parça veya daire gibi yoğun bir kümeye dağılmış olayları inceler.

Olasılık teorisi konusunu basit bir örnekle ele alabiliriz. Kendinizi bir nişancı geliştiricisi olarak hayal edin. Bu türdeki oyunların geliştirilmesinin ayrılmaz bir parçası atış mekaniğidir. Tüm silahların kesinlikle doğru bir şekilde ateş ettiği bir atıcının oyuncuların pek ilgisini çekmeyeceği açıktır. Bu nedenle silahınıza spread eklemek zorunludur. Ancak silah etki noktalarını basitçe rastgele belirlemek ince ayar yapılmasına izin vermeyecektir, bu nedenle oyun dengesini ayarlamak zor olacaktır. Aynı zamanda rastgele değişkenler ve bunların dağılımları kullanılarak bir silahın belirli bir yayılımda nasıl performans göstereceği analiz edilebilir ve gerekli ayarlamaların yapılmasına yardımcı olunabilir.

Temel sonuçların alanı

Diyelim ki birçok kez tekrarlayabileceğimiz rastgele bir deneyden (örneğin, yazı tura atmak gibi), bazı resmileştirilmiş bilgileri (tura veya yazı geldi) çıkarabildik. Bu bilgiye temel sonuç denir ve genellikle Ω (Omega) harfiyle gösterilen tüm temel sonuçların kümesini dikkate almak faydalıdır.

Bu alanın yapısı tamamen deneyin doğasına bağlıdır. Örneğin, yeterince büyük dairesel bir hedefe ateş etmeyi düşünürsek, temel sonuçların uzayı, kolaylık olması açısından, merkezi sıfıra yerleştirilmiş bir daire olacaktır ve sonuç, bu dairenin içindeki bir nokta olacaktır.

Ek olarak, temel sonuç kümeleri - olaylar dikkate alınır (örneğin, ilk ona ulaşmak, hedefi olan küçük yarıçaplı eşmerkezli bir dairedir). Ayrık durumda her şey oldukça basittir: Sonlu bir zaman içinde temel sonuçlar dahil veya hariç olmak üzere herhangi bir olayı elde edebiliriz. Sürekli durumda, her şey çok daha karmaşıktır: eklenebilen, çıkarılabilen, bölünebilen ve çarpılabilen basit gerçek sayılarla analoji yoluyla cebir adı verilen, dikkate alınması gereken oldukça iyi bir küme ailesine ihtiyacımız var. Cebirdeki kümeler kesişebilir ve birleştirilebilir ve işlemin sonucu cebirde olacaktır. Bu, tüm bu kavramların arkasında yatan matematik açısından çok önemli bir özelliktir. Minimal bir aile yalnızca iki kümeden oluşur; boş küme ve temel sonuçların uzayı.

Ölçü ve olasılık

Olasılık, çok karmaşık nesnelerin nasıl çalıştıklarını anlamadan davranışları hakkında çıkarımlar yapmanın bir yoludur. Dolayısıyla olasılık, bir sayıyı döndüren bir olayın (bu çok iyi kümeler ailesinden) bir fonksiyonu olarak tanımlanır; bu, böyle bir olayın gerçekte ne sıklıkta meydana gelebileceğinin bir özelliğidir. Kesin olarak matematikçiler bu sayının sıfır ile bir arasında olması gerektiği konusunda hemfikirdi. Ek olarak, bu fonksiyonun gereksinimleri vardır: İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır, tüm sonuç kümesinin olasılığı birimdir ve iki bağımsız olayı (ayrık kümeler) birleştirme olasılığı olasılıkların toplamına eşittir. Olasılığın diğer adı olasılık ölçüsüdür. Çoğu zaman, uzunluk, alan, hacim kavramlarını herhangi bir boyuta (n-boyutlu hacim) genelleştiren Lebesgue ölçüsü kullanılır ve bu nedenle geniş bir küme sınıfına uygulanabilir.

Bir dizi temel sonuç, bir küme ailesi ve bir olasılık ölçüsünün toplamına birlikte denir. olasılık alanı. Bir hedefe atış örneği için nasıl bir olasılık uzayı oluşturabileceğimizi düşünelim.

Kaçırılması imkansız olan R yarıçaplı büyük bir yuvarlak hedefe ateş etmeyi düşünün. Bir dizi temel olayla, merkezi R yarıçapının koordinatlarının orijininde olan bir daire oluşturuyoruz. Bir olayın olasılığını tanımlamak için alanı (iki boyutlu kümeler için Lebesgue ölçüsü) kullanacağımız için, ölçülebilir (bu ölçümün mevcut olduğu) kümeler ailesini kullanacağız.

Not Aslında bu teknik bir noktadır ve basit problemlerde ölçü ve kümeler ailesini belirleme süreci özel bir rol oynamaz. Ancak bu iki nesnenin var olduğunu anlamak gerekir çünkü olasılık teorisiyle ilgili birçok kitapta teoremler şu sözlerle başlar: “ (Ω,Σ,P) bir olasılık uzayı olsun...».

Yukarıda belirtildiği gibi, temel sonuçların tüm uzayının olasılığı bire eşit olmalıdır. Okuldan iyi bilinen bir formüle göre bir dairenin alanı (iki boyutlu Lebesgue ölçüsü, λ 2 (A) olarak adlandırdığımız, burada A bir olaydır) π *R 2'ye eşittir. Daha sonra P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) olasılığını ortaya koyabiliriz ve bu değer herhangi bir A olayı için zaten 0 ile 1 arasında olacaktır.

Hedefteki herhangi bir noktayı vurmanın eşit derecede olası olduğunu varsayarsak, atıcının hedefin bir alanını vurma olasılığının araştırılması bu setin alanını bulmaya gelir (buradan olasılık şu sonuca varabiliriz: Belirli bir noktaya çarpma olasılığı sıfırdır çünkü noktanın alanı sıfırdır).

Örneğin, atıcının ilk 10'a girme olasılığının ne olduğunu bulmak istiyoruz (A olayı - atıcı istenen seti tutturur). Modelimizde “on”, merkezi sıfır ve yarıçapı r olan bir daire ile temsil edilmektedir. O halde bu daireye girme olasılığı P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2'dir.

Bu, "geometrik olasılık" problemlerinin en basit türlerinden biridir - bu problemlerin çoğu bir alan bulmayı gerektirir.

Rastgele değişkenler

Rastgele değişken, temel sonuçları gerçek sayılara dönüştüren bir fonksiyondur. Örneğin, ele alınan problemde, çarpma noktasından hedefin merkezine olan mesafe olan ρ(ω) rastgele değişkenini tanıtabiliriz. Modelimizin basitliği, temel sonuçların uzayını açıkça tanımlamamıza izin verir: Ω = (ω = (x,y) öyle sayılar ki x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . O halde rasgele değişken ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Olasılıksal uzaydan soyutlama araçları. Dağıtım fonksiyonu ve yoğunluk

Mekanın yapısının iyi bilinmesi iyidir ancak gerçekte durum her zaman böyle değildir. Bir mekanın yapısı bilinse bile karmaşık olabilir. İfadeleri bilinmiyorsa rastgele değişkenleri tanımlamak için, F ξ (x) = P(ξ) ile gösterilen bir dağılım fonksiyonu kavramı vardır.< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .

Dağıtım fonksiyonunun çeşitli özellikleri vardır:

Öncelikle 0 ile 1 arasındadır.
İkinci olarak, x argümanı arttığında azalmaz.
Üçüncüsü, -x sayısı çok büyük olduğunda dağılım fonksiyonu 0'a yakındır ve x'in kendisi büyük olduğunda dağılım fonksiyonu 1'e yakındır.

Muhtemelen bu yapının anlamı ilk okunduğunda çok açık değildir. Yararlı bir özellik, dağıtım fonksiyonunun, bir değerin bir aralıktan değer alma olasılığını aramanıza olanak sağlamasıdır. Yani, P (rastgele değişken ξ aralıktaki değerleri alır) = F ξ (b)-F ξ (a). Bu eşitliğe dayanarak aralığın a ve b sınırları yakınsa bu değerin nasıl değişeceğini inceleyebiliriz.

d = b-a olsun, sonra b = a+d olsun. Ve bu nedenle, F ξ (b) - F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Küçük d değerleri için yukarıdaki fark da küçüktür (eğer dağılım sürekliyse). p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d oranını dikkate almak mantıklıdır. Yeterince küçük d değerleri için, bu oran d'den bağımsız olarak bazı sabit p ξ (a)'dan çok az farklıysa, o zaman bu noktada rastgele değişken p ξ (a)'ya eşit bir yoğunluğa sahiptir.

Not Türev kavramıyla daha önce karşılaşan okuyucular p ξ (a)'nın F ξ (x) fonksiyonunun a noktasında türevi olduğunu fark edebilirler. Her durumda, Mathprofi web sitesinde bu konuyla ilgili bir makalede türev kavramını inceleyebilirsiniz.

Şimdi dağılım fonksiyonunun anlamı şu şekilde tanımlanabilir: a noktasındaki türevi (yukarıda tanımladığımız yoğunluk p ξ), bir rastgele değişkenin a noktasında (a noktasının komşusu) merkezli küçük bir aralığa ne sıklıkla düşeceğini tanımlar. ) diğer noktaların mahalleleriyle karşılaştırıldığında . Başka bir deyişle, dağılım fonksiyonu ne kadar hızlı büyürse, rastgele bir deneyde böyle bir değerin ortaya çıkma olasılığı da o kadar artar.

Örneğe geri dönelim. Merkezden hedefteki rastgele isabet noktasına kadar olan mesafeyi ifade eden ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 rastgele değişkeni için dağılım fonksiyonunu hesaplayabiliriz. Tanım gereği F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Bu rastgele değişkenin yoğunluğunu p ρ bulabiliriz. Aralığın dışında sıfır olduğunu hemen belirtelim, çünkü bu aralıktaki dağıtım fonksiyonu değişmez. Bu aralığın sonunda yoğunluk belirlenmez. Aralığın içinde, bir türev tablosu (örneğin, Mathprofi web sitesinden) ve temel türev alma kuralları kullanılarak bulunabilir. t2/R2'nin türevi 2t/R2'ye eşittir. Bu, reel sayıların tüm eksenindeki yoğunluğu bulduğumuz anlamına gelir.

Yoğunluğun bir diğer yararlı özelliği, bir fonksiyonun bir aralıktan değer alma olasılığıdır ve bu aralıktaki yoğunluğun integrali kullanılarak hesaplanır (bunun ne olduğunu Mathprofi'deki uygun, uygunsuz ve belirsiz integrallerle ilgili makalelerde bulabilirsiniz). İnternet sitesi).

İlk okumada f(x) fonksiyonunun bir aralığı üzerindeki integrali kavisli bir yamuğun alanı olarak düşünülebilir. Kenarları, Öküz ekseninin bir parçası, bir boşluk (yatay koordinat ekseni), eğri üzerindeki (a,f(a)), (b,f(b)) noktalarını (a,0) noktalarına bağlayan dikey bölümlerdir, (b,0 ) Ox ekseninde. Son taraf, f fonksiyonunun (a,f(a)) ile (b,f(b)) arasındaki grafiğinin bir parçasıdır. (-∞; b] aralığı boyunca integralden bahsedebiliriz, yeterince büyük negatif değerler için, a, aralıktaki integralin değeri, a sayısındaki değişime kıyasla ihmal edilebilir derecede değişecektir. Aralıklar üzerindeki integral, Toplamda 2x2x2x2 = 16 sonuç olacaktır Bireysel atış sonuçlarının bağımsız olduğu varsayımına göre, bu sonuçların olasılıklarını belirlemek için formül (3) ve ona ait bir not kullanılmalıdır. sonucun olasılığı (y, n.n, n) 0,2×0,8×0,8×0, 8 = 0,1024 olarak ayarlanmalıdır; burada 0,8 = 1-0,2 tek atışla ıskalama olasılığıdır. hedef üç kez vurulur” seçeneği (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) (n, y, y, y) sonuçları tarafından tercih edilir. , her birinin olasılığı aynıdır:

0,2×0,2×0,2×0,8 =...... =0,8×0,2×0,2×0,2 = 0,0064;

bu nedenle gerekli olasılık eşittir

4×0,0064 = 0,0256.

Analiz edilen örneğin mantığını genelleştirerek olasılık teorisinin temel formüllerinden birini türetebiliriz: Eğer A1, A2,..., An olayları bağımsızsa ve her birinin p olasılığı varsa, o zaman bunlardan tam olarak m'sinin meydana gelme olasılığı şöyledir: eşittir

Pn (m) = Cnmpm (1 - p) n-m; (4)

burada Cnm, m'nin n elemanının kombinasyon sayısını belirtir. Büyük n için formül (4) kullanılarak yapılan hesaplamalar zorlaşır. Önceki örnekte atış sayısı 100 olsun ve soru, atış sayısının 8 ile 32 arasında olması ihtimali x'in bulunması için sorulur. Formül (4)'ün uygulanması ve toplama teoremi doğru bir sonuç verir, ancak istenen olasılığın pratikte kullanılamaz ifadesi

X olasılığının yaklaşık değeri Laplace teoremi kullanılarak bulunabilir.

ve hata 0,0009'u aşmaz. Bulunan sonuç 8 £ m £ 32 olayının neredeyse kesin olduğunu göstermektedir. Bu, olasılık teorisinde limit teoremlerinin kullanımının en basit ama tipik örneğidir.

Temel olasılık teorisinin temel formülleri aynı zamanda toplam olasılık formülünü de içerir: A1, A2,..., Ar olayları ikili olarak uyumsuzsa ve bunların birleşimi güvenilir bir olaysa, o zaman herhangi bir B olayı için olasılığı şuna eşittir: toplam

Olasılık çarpım teoremi özellikle bileşik testler dikkate alındığında faydalıdır. Bir T denemesinin her bir sonucu karşılık gelen Ai, Bj,..., Xk, Yl sonuçlarının bir kombinasyonu ise, bir T denemesinin T1, T2,..., Tn-1, Tn denemelerinden oluştuğu söylenir. denemeler T1, T2,... , Tn-1, Tn. Şu ya da bu nedenle olasılıklar sıklıkla bilinir