İkinci dereceden denklemler. Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden denklemlerin, ikinci dereceden bir denklemin diskriminant determinantını kullanmaktan daha hızlı nasıl çözüleceğine dair üç faydalı pratik tüyo

Hadi birlikte çalışalım ikinci dereceden denklemler. Bunlar çok popüler denklemler! En genel haliyle ikinci dereceden bir denklem şuna benzer:

Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür? Bu formda ikinci dereceden bir denkleminiz varsa, her şey basittir. Sihirli kelimeyi hatırla ayrımcı . Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur. Yani ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şöyle görünür:

Kök işaretinin altındaki ifade ayrımcı. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Hesapladığımız formül bu. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin, ilk denklem için A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Bu kadar.

Bu formülü kullanırken hangi durumlar mümkündür? Sadece üç vaka var.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz var. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak bu, konuyu daha ayrıntılı olarak inceleyeceğimiz eşitsizliklerde rol oynuyor.

3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayının karekökü alınamaz. İyi tamam. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Her şey çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...
En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılacak?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, yap bunu!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada bir = -6; b = -5; c = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak yaklaşık 30 saniye sürecektir ve hata sayısı keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Dene. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığımız diskriminant aracılığıyla. Veya öğrendiler ki bu da iyi. Nasıl doğru bir şekilde belirleneceğini biliyorsun a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anlıyorsunuz: dikkatle mi?

Ancak ikinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler . Ayrıca diskriminantla da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. a, b ve c.

Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! Bu kadar. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Hiçbir ayrım yapmadan. İlk tamamlanmamış denklemi düşünün. Sol tarafta ne yapılabilir? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor? Bu kadar...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x = 0, veya x = 4

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, diskriminant kullanmaktan çok daha basittir.

İkinci denklem de kolaylıkla çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:

Geriye 9'dan kökü çıkarmak kalıyor, hepsi bu. Ortaya çıkacak:

Ayrıca iki kök . x = +3 ve x = -3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da basitçe sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.
Bu yöntemleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananlar ... O zaman acı verici ve aşağılayıcıdır ...

İlk randevu. İkinci dereceden bir denklemi standart bir forma getirmek için çözmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz. Kendin için karar ver. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol etme son şey denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz Üye senin burcunla . Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Hatayı arayın. İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Gittikçe daha az hata olacak.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Denklemi önceki bölümde anlatıldığı gibi ortak bir paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken, bazı nedenlerden dolayı hatalar tırmanıyor ...

Bu arada, basitleştirmek için bir sürü eksi içeren kötü bir örnek sözü verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerde kafanın karışmaması için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Bu kadar! Karar vermek eğlencelidir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik ipuçları:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!

Kesirli denklemler. ODZ.

Denklemlere hakim olmaya devam ediyoruz. Doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerle nasıl çalışılacağını zaten biliyoruz. Geriye kalan son görünüm - kesirli denklemler. Veya çok daha saygın bir şekilde çağrılırlar - kesirli rasyonel denklemler. Bu aynı.

Kesirli denklemler.

Adından da anlaşılacağı gibi bu denklemlerin mutlaka kesirler içermesi gerekir. Ama sadece kesirler değil, aynı zamanda sahip olan kesirler paydada bilinmiyor. En azından birinde. Örneğin:

Size şunu hatırlatmama izin verin, eğer paydalar sadece sayılar bunlar doğrusal denklemlerdir.

Nasıl karar verilir? kesirli denklemler? Öncelikle kesirlerden kurtulun! Bundan sonra denklem çoğunlukla doğrusal veya ikinci dereceden hale gelir. Sonra da ne yapacağımızı biliyoruz... Bazı durumlarda 5=5 gibi bir özdeşliğe veya 7=2 gibi yanlış bir ifadeye dönüşebiliyor. Ancak bu nadiren olur. Aşağıda buna değineceğim.

Ama kesirlerden nasıl kurtuluruz!? Çok basit. Aynı özdeş dönüşümlerin uygulanması.

Denklemin tamamını aynı ifadeyle çarpmamız gerekiyor. Böylece tüm paydalar azaltılır! Her şey hemen kolaylaşacak. Bir örnekle açıklayayım. Denklemi çözmemiz gerekiyor:

İlkokulda nasıl eğitildiniz? Her şeyi bir tarafa taşıyoruz, ortak bir paydaya getiriyoruz vb. Kötü bir rüya gibi unut gitsin! Kesirleri eklerken veya çıkarırken yapmanız gereken şey budur. Veya eşitsizliklerle çalışırsınız. Ve denklemlerde, hemen her iki tarafı da bize tüm paydaları azaltma fırsatı verecek bir ifadeyle (yani özünde ortak bir paydayla) çarpıyoruz. Peki bu ifade nedir?

Sol tarafta, paydayı azaltmak için şununla çarpılması gerekir: x+2. Sağda ise 2 ile çarpmak gerekiyor, bu da denklemin şu şekilde çarpılması gerektiği anlamına geliyor: 2(x+2). Çarpmak:

Bu, kesirlerin yaygın bir çarpımıdır, ancak bunu ayrıntılı olarak açıklayacağım:

Braketi henüz açmadığımı lütfen unutmayın (x + 2)! O yüzden tamamını yazıyorum:

Sol tarafta tamamen kasılır (x+2), ve sağda 2. Gereken de buydu! İndirgemeden sonra elde ederiz doğrusal denklem:

Ve herkes bu denklemi çözebilir! x = 2.

Biraz daha karmaşık olan başka bir örneği çözelim:

3 = 3/1 olduğunu hatırlarsak ve 2x = 2x/ 1, şunu yazabiliriz:

Ve yine gerçekten sevmediğimiz şeylerden - kesirlerden - kurtuluyoruz.

Paydayı X ile azaltmak için kesri şununla çarpmamız gerektiğini görüyoruz: (x – 2). Ve birkaçı bizim için engel değil. Peki çarpalım. Tüm sol taraf ve Tümü Sağ Taraf:

Tekrar parantez (x – 2) Açıklamıyorum. Parantezle bir bütün olarak sanki tek bir sayıymış gibi çalışıyorum! Bu her zaman yapılmalıdır, aksi takdirde hiçbir şey azalmayacaktır.

Derin bir tatmin duygusuyla azaltıyoruz (x – 2) ve cetvelle kesir içermeyen bir denklem elde ediyoruz!

Şimdi parantezleri açalım:

Benzerlerini getiriyoruz, her şeyi sol tarafa taşıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Klasik ikinci dereceden denklem. Ancak önümüzdeki eksi iyi değil. Her zaman -1 ile çarparak veya bölerek bundan kurtulabilirsiniz. Ancak örneğe yakından bakarsanız, bu denklemi -2'ye bölmenin en iyisi olduğunu fark edeceksiniz! Bir anda eksi ortadan kaybolacak ve oranlar daha cazip hale gelecek! -2'ye bölüyoruz. Sol tarafta - terim terim ve sağda - sıfırı -2'ye (sıfır) bölerseniz şunu elde ederiz:

Diskriminant aracılığıyla çözüyoruz ve Vieta teoremini kullanarak kontrol ediyoruz. Aldık x=1 ve x=3. İki kök.

Gördüğünüz gibi ilk durumda dönüşümden sonra denklem doğrusal hale geldi, ancak burada ikinci dereceden hale geliyor. Kesirlerden kurtulduktan sonra tüm X'ler azalır. Geriye 5=5 gibi bir şey kalıyor. Bu demektir x herhangi bir şey olabilir. Ne olursa olsun yine de azalacak. Ve bunun saf gerçek olduğu ortaya çıkıyor: 5=5. Ancak kesirlerden kurtulduktan sonra 2=7 gibi tamamen yanlış olduğu ortaya çıkabilir. Ve bu şu anlama geliyor çözüm yok! Herhangi bir X'in doğru olmadığı ortaya çıkıyor.

Ana çözümü gerçekleştirdik kesirli denklemler? Basit ve mantıklıdır. Hoşumuza gitmeyen her şeyin kaybolması için orijinal ifadeyi değiştiriyoruz. Veya müdahale edin. Bu durumda bunlar kesirlerdir. Aynısını logaritmalar, sinüsler ve diğer dehşetlerle her türlü karmaşık örnekle yapacağız. Biz Her zaman Bütün bunlardan kurtulalım.

Ancak orijinal ifadeyi ihtiyacımız olan yönde değiştirmemiz gerekiyor. kurallara göre, evet... Ustalığı matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlıktır. Yani bunda ustalaşıyoruz.

Şimdi bunlardan birini nasıl atlayacağımızı öğreneceğiz. Birleşik Devlet Sınavında ana pusu! Ama önce bakalım bu duruma düşecek misiniz, düşmeyecek misiniz?

Basit bir örneğe bakalım:

Konu zaten tanıdık, her iki tarafı da çarpıyoruz (x – 2), şunu elde ederiz:

Parantezle hatırlatırım (x – 2) Sanki tek bir bütünsel ifadeyle çalışıyoruz!

Burada artık paydalara bir tane yazmadım, onursuz... Ve paydalara parantez çizmedim, hariç x - 2 hiçbir şey yok, çizmene gerek yok. Kısaltıyoruz:

Parantezleri açın, her şeyi sola taşıyın ve benzerlerini verin:

Çözüyoruz, kontrol ediyoruz, iki kök alıyoruz. x = 2 Ve x = 3. Harika.

Ödevin kökü veya birden fazla kök varsa bunların toplamını yazmanız gerektiğini varsayalım. Ne yazacağız?

Cevabın 5 olduğuna karar verirseniz, pusuya düşürüldü. Ve görev size verilmeyecektir. Boşuna çalıştılar... Doğru cevap 3.

Sorun ne?! Ve bir kontrol yapmaya çalışıyorsun. Bilinmeyenlerin değerlerini yerine koyun orijinalörnek. Ve eğer x = 3 her şey harika bir şekilde birlikte büyüyecek, 9 = 9 elde edeceğiz, o zaman x = 2 Sıfıra bölme olacak! Kesinlikle yapamayacağınız şey. Araç x = 2 bir çözüm değildir ve cevapta dikkate alınmaz. Bu sözde yabancı veya ekstra köktür. Sadece onu atıyoruz. Son kök birdir. x = 3.

Nasıl yani?! – Öfkeli ünlemler duyuyorum. Bize bir denklemin bir ifadeyle çarpılabileceği öğretildi! Bu aynı dönüşüm!

Evet, aynı. Küçük bir koşul altında - çarptığımız (böldüğümüz) ifade - sıfırdan farklı. A x - 2 en x = 2 sıfıra eşittir! Yani her şey adil.

Peki şimdi ne yapabilirim? İfadeyle çarpmıyor musunuz? Her seferinde kontrol etmeli miyim? Yine belirsiz!

Sakin ol! Panik yapma!

Bu zor durumda bizi üç sihirli harf kurtaracak. Ne düşündüğünü biliyorum. Sağ! Bu ODZ . Kabul Edilebilir Değerler Alanı.

İkinci dereceden denklemler genellikle fizik ve matematikteki çeşitli problemleri çözerken ortaya çıkar. Bu yazımızda bu eşitliklerin evrensel bir şekilde “ayrımcı yoluyla” nasıl çözülebileceğini ele alacağız. Makalede edinilen bilgilerin kullanımına ilişkin örnekler de verilmektedir.

Hangi denklemlerden bahsedeceğiz?

Aşağıdaki şekil, x'in bilinmeyen bir değişken olduğu ve a, b, c Latin karakterlerinin bilinen bazı sayıları temsil ettiği bir formülü göstermektedir.

Bu sembollerin her birine katsayı denir. Gördüğünüz gibi "a" sayısı x kare değişkeninin önünde görünüyor. Bu, temsil edilen ifadenin maksimum kuvvetidir, bu yüzden buna ikinci dereceden denklem denir. Diğer adı sıklıkla kullanılır: ikinci dereceden denklem. a değerinin kendisi bir kare katsayıdır (değişkenin karesi), b doğrusal bir katsayıdır (birinci kuvvete yükseltilen değişkenin yanındadır) ve son olarak c sayısı serbest bir terimdir.

Yukarıdaki şekilde gösterilen denklemin biçiminin genel bir klasik ikinci dereceden ifade olduğuna dikkat edin. Buna ek olarak b, c katsayılarının sıfır olabileceği başka ikinci dereceden denklemler de vardır.

Görev, söz konusu eşitliği çözmek için belirlendiğinde, bu, x değişkeninin onu tatmin edecek değerlerinin bulunması gerektiği anlamına gelir. Burada unutulmaması gereken ilk şey şudur: x'in maksimum kuvveti 2 olduğundan bu tür ifadelerin 2'den fazla çözümü olamaz. Bu, denklemi çözerken onu karşılayan 2 x değeri bulunursa, o zaman x yerine eşitliğin de doğru olacağı 3. sayının olmadığından emin olabileceğiniz anlamına gelir. Matematikte bir denklemin çözümlerine kökleri denir.

İkinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Bu tür denklemleri çözmek, onlar hakkında bazı teorilerin bilinmesini gerektirir. Okul cebir dersinde 4 farklı çözüm yöntemi ele alınmaktadır. Bunları listeleyelim:

çarpanlara ayırma kullanarak;
tam kare formülünü kullanarak;
karşılık gelen ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini uygulayarak;
diskriminant denklemini kullanarak.

İlk yöntemin avantajı basitliğidir ancak her denkleme uygulanamaz. İkinci yöntem evrenseldir, ancak biraz hantaldır. Üçüncü yöntem, açıklığıyla ayırt edilir, ancak her zaman uygun ve uygulanabilir değildir. Ve son olarak, diskriminant denklemini kullanmak, herhangi bir ikinci dereceden denklemin köklerini bulmanın evrensel ve oldukça basit bir yoludur. Bu nedenle bu yazıda sadece onu ele alacağız.

Denklemin köklerini elde etmek için formül

İkinci dereceden denklemin genel formuna dönelim. Bunu yazalım: a*x²+ b*x + c =0. "Ayrımcı yoluyla" çözme yöntemini kullanmadan önce eşitlik her zaman yazılı forma indirgenmelidir. Yani üç terimden oluşmalıdır (ya da b veya c 0 ise daha az).

Örneğin, x²-9*x+8 = -5*x+7*x² şeklinde bir ifade varsa öncelikle bu ifadenin tüm üyelerini eşitliğin bir tarafına aktarmalı ve x değişkenini içeren terimleri aynı tarafa eklemelisiniz. güçler.

Bu durumda bu işlem şu ifadeyi verecektir: -6*x²-4*x+8=0, bu da 6*x²+4*x-8=0 denklemine eşdeğerdir (burada soldaki sayıyı çarptık) ve denklemin sağ tarafları -1) ile .

Yukarıdaki örnekte a = 6, b=4, c=-8. Dikkate alınan eşitliğin tüm terimlerinin her zaman kendi aralarında toplandığına dikkat edin; dolayısıyla "-" işareti görünürse, bu, bu durumda c sayısı gibi, karşılık gelen katsayının negatif olduğu anlamına gelir.

Bu noktayı analiz ettikten sonra şimdi ikinci dereceden bir denklemin köklerini elde etmeyi mümkün kılan formülün kendisine dönüyoruz. Aşağıdaki fotoğrafta gösterilene benziyor.

Bu ifadeden de anlaşılacağı üzere iki kök almanızı sağlar (“±” işaretine dikkat edin). Bunu yapmak için b, c ve a katsayılarını yerine koymak yeterlidir.

Ayrımcı kavramı

Önceki paragrafta herhangi bir ikinci dereceden denklemi hızlı bir şekilde çözmenize olanak tanıyan bir formül verildi. Burada radikal ifadeye diskriminant denir, yani D = b²-4*a*c.

Formülün bu kısmı neden vurgulanıyor ve neden kendi adı var? Gerçek şu ki, diskriminant denklemin üç katsayısını da tek bir ifadede birleştiriyor. İkinci gerçek, kökler hakkında aşağıdaki listede ifade edilebilecek bilgileri tamamen taşıdığı anlamına gelir:

D>0: Eşitliğin her ikisi de reel sayı olan 2 farklı çözümü vardır.
D=0: Denklemin tek kökü vardır ve bu bir reel sayıdır.

Ayırt edici belirleme görevi

Diskriminantın nasıl bulunacağına dair basit bir örnek verelim. Şu eşitlik verilsin: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Bunu standart forma getirelim, şunu elde ederiz: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, buradan eşitliğe geliyoruz : -2*x² +2*x-11 = 0. Burada a=-2, b=2, c=-11.

Artık diskriminant için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ortaya çıkan sayı görevin cevabıdır. Örnekteki diskriminant sıfırdan küçük olduğundan bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmadığını söyleyebiliriz. Çözümü yalnızca karmaşık türdeki sayılar olacaktır.

Bir ayrımcı yoluyla eşitsizliğe bir örnek

Biraz farklı türdeki problemleri çözelim: -3*x²-6*x+c = 0 eşitliği göz önüne alındığında. D>0 olan c değerlerini bulmak gerekir.

Bu durumda 3 katsayıdan sadece 2'si bilindiğinden diskriminantın kesin değerini hesaplamak mümkün değildir ancak pozitif olduğu bilinmektedir. Eşitsizliği oluştururken son gerçeği kullanıyoruz: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Ortaya çıkan eşitsizliğin çözülmesi şu sonuca yol açar: c>-3.

Ortaya çıkan sayıyı kontrol edelim. Bunu yapmak için 2 durum için D'yi hesaplıyoruz: c=-2 ve c=-4. -2 sayısı elde edilen sonucu (-2>-3) karşılıyorsa, karşılık gelen diskriminant değeri: D = 12>0 olacaktır. Buna karşılık, -4 sayısı eşitsizliği (-4) sağlamaz. Dolayısıyla, -3'ten büyük olan herhangi bir c sayısı koşulu karşılayacaktır.

Bir denklem çözme örneği

Sadece diskriminantı bulmayı değil aynı zamanda denklemi çözmeyi de içeren bir problem sunalım. -2*x²+7-9*x = 0 eşitliğinin köklerini bulmak gerekir.

Bu örnekte diskriminant şu değere eşittir: D = 81-4*(-2)*7= 137. Daha sonra denklemin kökleri şu şekilde belirlenir: x = (9±√137)/(- 4). Bunlar köklerin tam değerleridir; kökü yaklaşık olarak hesaplarsanız şu sayıları elde edersiniz: x = -5,176 ve x = 0,676.

Geometrik problem

Sadece diskriminant hesaplama becerisini değil aynı zamanda soyut düşünme becerilerini ve ikinci dereceden denklemlerin nasıl yazılacağına dair bilgiyi kullanmayı gerektiren bir problemi çözelim.

Bob'un 5 x 4 metrelik bir yorganı vardı. Çocuk, tüm çevresine sürekli bir güzel kumaş şeridi dikmek istedi. Bob'un 10 m² kumaşa sahip olduğunu bilirsek bu şerit ne kadar kalın olur?

Şeridin kalınlığı x m olsun, o zaman battaniyenin uzun kenarı boyunca kumaşın alanı (5+2*x)*x olacaktır ve 2 uzun kenar olduğundan elimizde: 2*x bulunur *(5+2*x). Kısa tarafta dikilen kumaşın alanı 4*x olacaktır, bu kenarlardan 2 adet olduğu için 8*x değerini elde ederiz. Battaniyenin uzunluğu bir o kadar arttığı için uzun tarafa 2*x değerinin eklendiğini unutmayın. Battaniyeye dikilen kumaşın toplam alanı 10 m²'dir. Dolayısıyla şu eşitliği elde ederiz: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Bu örnek için diskriminant şuna eşittir: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Kökü 22'dir. Formülü kullanarak gerekli kökleri buluruz: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Açıkçası iki kökten sadece 0,5 sayısı problemin koşullarına göre uygundur.

Böylece Bob'un battaniyesine diktiği kumaş şeridinin genişliği 50 cm olacaktır.

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. İnsanoğlu denklemleri eski zamanlarda kullandı ve o zamandan beri kullanımları daha da arttı. Diskriminant, aşağıdaki forma sahip genel bir formül kullanarak herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmenize olanak tanır:

Diskriminant formülü polinomun derecesine bağlıdır. Yukarıdaki formül, aşağıdaki formdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek için uygundur:

Diskriminant bilmeniz gereken aşağıdaki özelliklere sahiptir:

* Polinomun birden fazla kökü (eşit kökler) olduğunda "D" 0'dır;

* "D" polinomun köklerine göre simetrik bir polinomdur ve dolayısıyla katsayıları açısından bir polinomdur; üstelik bu polinomun katsayıları, köklerin alındığı uzantıya bakılmaksızın tamsayılardır.

Diyelim ki bize aşağıdaki biçimde ikinci dereceden bir denklem verildi:

1 denklem

Elimizdeki formüle göre:

\ olduğundan denklemin 2 kökü vardır. Bunları tanımlayalım:

Diskriminant çevrimiçi çözücü kullanarak bir denklemi nerede çözebilirim?

Denklemi https://sitemizden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, her türlü karmaşıklıktaki çevrimiçi denklemleri birkaç saniye içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken, verilerinizi çözücüye girmenizdir. Ayrıca web sitemizde video talimatlarını izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini öğrenebilirsiniz ve sorularınız varsa http://vk.com/pocketteacher VKontakte grubumuzda sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size yardımcı olmaktan her zaman mutluluk duyarız.

İkinci dereceden denklemler 8. sınıfta çalışılıyor, bu yüzden burada karmaşık bir şey yok. Bunları çözme yeteneği kesinlikle gereklidir.

İkinci dereceden denklem, a, b ve c katsayılarının keyfi sayılar olduğu ve a ≠ 0 olduğu, ax 2 + bx + c = 0 formundaki bir denklemdir.

Belirli çözüm yöntemlerini incelemeden önce, tüm ikinci dereceden denklemlerin üç sınıfa ayrılabileceğini unutmayın:

Kökleri yok;
Tam olarak bir köke sahip olun;
İki farklı kökü var.

Bu, kökün her zaman var olduğu ve benzersiz olduğu ikinci dereceden ve doğrusal denklemler arasındaki önemli bir farktır. Bir denklemin kaç kökü olduğu nasıl belirlenir? Bunun için harika bir şey var - ayrımcı.

diskriminant

İkinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denklemi verilse, diskriminant basitçe D = b 2 − 4ac sayısı olur.

Bu formülü ezbere bilmeniz gerekiyor. Artık nereden geldiği önemli değil. Başka bir şey daha önemlidir: Diskriminantın işaretiyle ikinci dereceden bir denklemin kaç kökü olduğunu belirleyebilirsiniz. Yani:

Eğer D< 0, корней нет;
Eğer D = 0 ise tam olarak bir kök vardır;
D > 0 ise iki kök olacaktır.

Lütfen dikkat: birçok insanın düşündüğü gibi, ayrımcı, hiçbir şekilde işaretlerini değil, köklerin sayısını gösterir. Örneklere bir göz atın ve her şeyi kendiniz anlayacaksınız:

Görev. İkinci dereceden denklemlerin kaç kökü vardır:

x 2 − 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

İlk denklemin katsayılarını yazalım ve diskriminantı bulalım:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki farklı kökü vardır. İkinci denklemi de benzer şekilde analiz ediyoruz:
bir = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminant negatiftir, kök yoktur. Geriye kalan son denklem:
bir = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant sıfırdır; kök bir olacaktır.

Lütfen her denklem için katsayıların yazıldığını unutmayın. Evet uzun, evet sıkıcı ama olasılıkları karıştırıp aptalca hatalar yapmayacaksınız. Kendiniz seçin: hız veya kalite.

Bu arada, eğer alışırsanız, bir süre sonra tüm katsayıları yazmanıza gerek kalmayacak. Bu tür operasyonları kafanızda gerçekleştireceksiniz. Çoğu insan bunu 50-70 çözülmüş denklemden sonra bir yerde yapmaya başlar - genel olarak o kadar da değil.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri

Şimdi çözümün kendisine geçelim. Diskriminant D > 0 ise kökler aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için temel formül

D = 0 olduğunda bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz; cevap olan aynı sayıyı elde edersiniz. Son olarak eğer D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 − 2x − 3 = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 12x + 36 = 0.

İlk denklem:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ denklemin iki kökü vardır. Onları bulalım:

İkinci denklem:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ Denklemin yine iki kökü vardır. Haydi onları bulalım

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(hizala)\]

Son olarak üçüncü denklem:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ denklemin tek kökü vardır. Herhangi bir formül kullanılabilir. Örneğin, ilki:

Örneklerden de görebileceğiniz gibi her şey çok basit. Formülleri biliyorsanız ve sayabiliyorsanız hiçbir sorun yaşanmayacaktır. Çoğu zaman, formülde negatif katsayılar değiştirilirken hatalar meydana gelir. Burada yine yukarıda açıklanan teknik yardımcı olacaktır: formüle tam anlamıyla bakın, her adımı yazın - ve çok yakında hatalardan kurtulacaksınız.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımda verilenden biraz farklı olduğu görülür. Örneğin:

x2 + 9x = 0;
x 2 − 16 = 0.

Bu denklemlerde terimlerden birinin eksik olduğunu fark etmek kolaydır. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözmek standart denklemlerden bile daha kolaydır: diskriminantın hesaplanmasını bile gerektirmezler. O halde yeni bir konsept sunalım:

ax 2 + bx + c = 0 denklemine, b = 0 veya c = 0 ise tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir; x değişkeninin veya serbest elemanın katsayısı sıfıra eşittir.

Elbette bu katsayıların her ikisinin de sıfıra eşit olması durumunda çok zor bir durum mümkündür: b = c = 0. Bu durumda denklem ax 2 = 0 formunu alır. Böyle bir denklemin tek bir kökü olduğu açıktır: x = 0.

Geri kalan durumları ele alalım. b = 0 olsun, sonra ax 2 + c = 0 formunda tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. Bunu biraz dönüştürelim:

Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan bir sayının mevcut olduğundan, son eşitlik yalnızca (−c /a) ≥ 0 için anlamlıdır. Sonuç:

Eğer ax 2 + c = 0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemde (−c /a) ≥ 0 eşitsizliği karşılanıyorsa, iki kök olacaktır. Formül yukarıda verilmiştir;
Eğer (−c /a)< 0, корней нет.

Gördüğünüz gibi bir diskriminant gerekli değildi; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerde hiçbir karmaşık hesaplama yoktur. Aslında (−c /a) ≥ 0 eşitsizliğini hatırlamaya bile gerek yok. x 2 değerini ifade edip eşittir işaretinin diğer tarafında ne olduğunu görmek yeterli. Pozitif bir sayı varsa iki kökü olacaktır. Negatif ise hiçbir kök kalmayacaktır.

Şimdi serbest elemanın sıfıra eşit olduğu ax 2 + bx = 0 formundaki denklemlere bakalım. Burada her şey basit: her zaman iki kök olacak. Polinomu çarpanlara ayırmak yeterlidir:

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak

Faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. Köklerin geldiği yer burasıdır. Sonuç olarak bu denklemlerden birkaçına bakalım:

Görev. İkinci dereceden denklemleri çözün:

x 2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Kök yok çünkü kare negatif bir sayıya eşit olamaz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Sadece. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada

verilen denklemi standart bir forma getirmek gerekir, yani. forma:

Eğer denklem size bu formda verilmişse ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur. En önemli şey bunu doğru yapmaktır

tüm katsayıları belirleyin, A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı . Gördüğünüz gibi X'i bulmak için

kullanırız sadece a, b ve c. Onlar. katsayılar ikinci dereceden denklem. Sadece dikkatlice koy

değerler a, b ve c Bu formüle göre hesaplıyoruz. İle değiştiriyoruz onların işaretler!

Örneğin, denklemde:

A =1; B = 3; C = -4.

Değerleri değiştiriyoruz ve yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b Ve İle. Daha doğrusu ikame ile

kökleri hesaplamak için formüle negatif değerler. Formülün ayrıntılı bir kaydı burada kurtarmaya geliyor

belirli numaralarla. Hesaplamalarda sorun yaşıyorsanız yapın!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Tüm işaretler ve parantezlerle hiçbir şeyi kaçırmadan, her şeyi ayrıntılı, dikkatli bir şekilde açıklıyoruz:

İkinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin.

İlk randevu. Daha önce tembel olmayın ikinci dereceden denklem çözme standart forma getirin.

Bu ne anlama gelir?

Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.

Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Eksilerden kurtulun. Nasıl? Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz.

Kendin için karar ver. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! İle Vieta'nın teoremi.

Verilen ikinci dereceden denklemleri çözmek için; eğer katsayı

x 2 +bx+c=0,

Daha sonrax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−B

Tam ikinci dereceden bir denklem için a≠1:

x 2 +Bx+C=0,

tüm denklemi şuna böl: A:

→ →

Nerede x 1 Ve X 2 - denklemin kökleri.

Üçüncü resepsiyon. Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! Çarpmak

ortak payda denklemi.

Çözüm. Pratik ipuçları:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa her şeyi çarparak onu ortadan kaldırırız

-1'e göre denklemler.

3. Katsayılar kesirli ise, denklemin tamamını karşılık gelen sayıyla çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

faktör.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm şu şekilde kolayca kontrol edilebilir: