Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu nasıl anlarsınız? Bir fonksiyonun paritesi. Fonksiyonun aralıktaki en büyük ve en küçük değeri
Herhangi biri ve eşitlik için bir fonksiyona çift (tek) denir 
.
Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir 
.
Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.
Örnek 6.2.Çift veya tek fonksiyonları inceleyin
1)
;
2)
;
3)
.
Çözüm.
1) Fonksiyon şununla tanımlanır: 
. Bulalım 
.
Onlar. 
. Yani bu fonksiyon çifttir.
2) Fonksiyon şunun için tanımlanmıştır: 
Onlar. 
. Dolayısıyla bu fonksiyon tuhaftır.
3) fonksiyon için tanımlanmıştır, yani. İçin
,
. Bu nedenle fonksiyon ne çift ne de tektir. Buna genel bir fonksiyon diyelim.
3. Bir fonksiyonun monotonluk açısından incelenmesi.
İşlev 
bu aralıkta argümanın her daha büyük değeri, fonksiyonun daha büyük (daha küçük) bir değerine karşılık geliyorsa, belirli bir aralıkta artan (azalan) olarak adlandırılır.
Belirli aralıklarla artan (azalan) fonksiyonlara monotonik denir.
Eğer fonksiyon 
aralıkta türevlenebilir 
ve pozitif (negatif) bir türevi vardır 
, ardından fonksiyon 
bu aralıkta artar (azalır).
Örnek 6.3. Fonksiyonların monotonluk aralıklarını bulun
1)
;
3)
.
Çözüm.
1) Bu fonksiyon tüm sayı ekseninde tanımlanır. Türevini bulalım.
Türev sıfır ise 
Ve 
. Tanım alanı - sayısal eksen, noktalara bölünmüş 
,
aralıklar için. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.
aralıkta 
türev negatiftir, fonksiyon bu aralıkta azalır.
aralıkta 
türev pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artmaktadır.
2) Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır: 
veya
.
Her aralıkta kare trinomiyalin işaretini belirliyoruz.
Böylece fonksiyonun kapsamı
Türevini bulalım 
,
, Eğer 
yani 
, Ancak 
. Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim 
.
aralıkta 
türev negatiftir, dolayısıyla fonksiyon aralıkta azalır 
. aralıkta 
türev pozitiftir, fonksiyon aralıkta artar 
.
4. Bir fonksiyonun bir ekstremuma göre incelenmesi.
Nokta 
fonksiyonun maksimum (minimum) noktası denir 
eğer noktanın böyle bir mahallesi varsa 
bu herkes için 
bu mahalle eşitsizliği karşılıyor 
.
Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına ekstrem noktalar denir.
Eğer fonksiyon 
noktada 
bir ekstremuma sahipse, fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir veya mevcut değildir (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul).
Türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik denir.
5. Bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar.
Kural 1. Kritik noktadan geçiş sırasında (soldan sağa) 
türev 
işareti "+"dan "-"ye değiştirir, ardından o noktada 
işlev 
bir maksimumu vardır; "-" ile "+" arasındaysa minimum; Eğer 
işareti değişmiyorsa ekstremum yoktur.
Kural 2. Gelin bu noktada 
fonksiyonun birinci türevi 
sıfır 
ve ikinci türevi mevcuttur ve sıfırdan farklıdır. Eğer 
, O 
maksimum nokta ise 
, O 
fonksiyonun minimum noktasıdır.
Örnek 6.4 . Maksimum ve minimum işlevleri keşfedin:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Çözüm.
1) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir 
.
Türevini bulalım 
ve denklemi çöz 
yani 
.buradan 
kritik noktalardır.
Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim, 
.
Noktalardan geçerken 
Ve 
türevin işareti “–”den “+”ya değişir, dolayısıyla kural 1'e göre 
minimum puanlardır.
Bir noktadan geçerken 
türev işareti "+"dan "-"ye değişir, yani 
maksimum noktadır.
,
.
2) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir 
. Türevini bulalım 
.
Denklemi çözerek 
, bulmak 
Ve 
kritik noktalardır. Payda ise 
yani 
ise türev mevcut değildir. Bu yüzden, 
üçüncü kritik noktadır. Türevin işaretini aralıklarda belirleyelim.
Bu nedenle fonksiyonun bu noktada minimumu vardır. 
, noktalarda maksimum 
Ve 
.
3) Bir fonksiyon eğer tanımlanmış ve sürekli ise 
yani en 
.
Türevini bulalım 
.
Kritik noktaları bulalım: 
Noktaların mahalleleri 
tanım alanına ait değildirler, dolayısıyla ekstremum t değildirler. O halde kritik noktaları keşfedelim 
Ve 
.
4) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir 
. Kural 2'yi kullanıyoruz. Türevi bulun 
.
Kritik noktaları bulalım:
İkinci türevi bulalım 
ve noktalardaki işaretini belirleyin 
noktalarda 
fonksiyonun minimumu vardır.
noktalarda 
fonksiyonun maksimumu vardır.
Hatta işlev.
Eşitİşareti değiştirildiğinde işareti değişmeyen fonksiyona denir. X.
X eşitlik F(–X) = F(X). İmza X işareti etkilemez sen.
Çift fonksiyonun grafiği koordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 1).
Hatta fonksiyon örnekleri:
sen= çünkü X
sen = X 2
sen = –X 2
sen = X 4
sen = X 6
sen = X 2 + X
Açıklama:
Bir fonksiyon alalım sen = X 2 veya sen = –X 2 .
Herhangi bir değer için X fonksiyon pozitiftir. İmza X işareti etkilemez sen. Grafik koordinat eksenine göre simetriktir. Bu eşit bir fonksiyondur.
Tek işlev.
garip işareti değiştirildiğinde işareti değişen bir fonksiyondur X.
Başka bir deyişle, herhangi bir değer için X eşitlik F(–X) = –F(X).
Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 2).
Tek fonksiyon örnekleri:
sen= günah X
sen = X 3
sen = –X 3
Açıklama:
y = - fonksiyonunu alın X 3 .
Tüm değerler en eksi işareti olacaktır. Bu işaret X işareti etkiler sen. Bağımsız değişken pozitif bir sayı ise fonksiyon pozitiftir; bağımsız değişken negatif bir sayı ise fonksiyon negatiftir: F(–X) = –F(X).
Fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Bu garip bir fonksiyon.
Çift ve tek fonksiyonların özellikleri:
NOT:
Tüm özellikler çift veya tek değildir. Bu tür bir derecelendirmeye tabi olmayan işlevler vardır. Örneğin kök işlevi en = √Xçift veya tek işlevler için geçerli değildir (Şekil 3). Bu tür fonksiyonların özellikleri listelenirken uygun bir açıklama verilmelidir: ne çift ne tek.
Periyodik fonksiyonlar.
Bildiğiniz gibi periyodiklik, belirli süreçlerin belirli aralıklarla tekrarlanmasıdır. Bu süreçleri tanımlayan fonksiyonlara denir. periyodik fonksiyonlar. Yani bunlar, grafiklerinde belirli sayısal aralıklarla tekrar eden elemanların bulunduğu fonksiyonlardır.
Bir dereceye kadar size tanıdık gelenler. Burada ayrıca fonksiyon özellikleri stoğunun kademeli olarak yenileneceği de belirtildi. Bu bölümde iki yeni özellik ele alınacaktır.
Tanım 1.
Y \u003d f (x), x є X işlevi, X kümesindeki herhangi bir x değeri için f (-x) \u003d f (x) eşitliği doğru olsa bile çağrılır.
Tanım 2.
Y \u003d f (x), x є X işlevi, X kümesindeki herhangi bir x değeri için f (-x) \u003d -f (x) eşitliği doğruysa tek olarak adlandırılır.
y = x 4'ün çift fonksiyon olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. Elimizde: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ama (-x) 4 = x 4. Dolayısıyla herhangi bir x için f(-x) = f(x) eşitliği, yani. fonksiyon eşittir.
Benzer şekilde, y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 fonksiyonlarının çift olduğu kanıtlanabilir.
y = x 3'ün tek bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.
Çözüm. Elimizde: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ama (-x) 3 = -x 3 . Dolayısıyla, herhangi bir x için f (-x) \u003d -f (x) eşitliği, yani. fonksiyon tuhaftır.
Benzer şekilde, y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 fonksiyonlarının tek olduğu kanıtlanabilir.
Siz ve ben, matematikteki yeni terimlerin çoğu zaman "dünyevi" bir kökene sahip olduğuna kendimizi defalarca ikna ettik; bir şekilde açıklanabilirler. Bu durum hem çift hem de tek fonksiyonlar için geçerlidir. Bakınız: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 tek işlevlerdir, y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 ise çift işlevlerdir. Ve genel olarak, y \u003d x "formundaki herhangi bir fonksiyon için (aşağıda bu fonksiyonları özel olarak inceleyeceğiz), burada n doğal bir sayıdır, şu sonuca varabiliriz: n tek bir sayı ise, o zaman y \u003d x fonksiyonu " garip; eğer n bir çift sayıysa, o zaman y = xn fonksiyonu da çifttir.
Ayrıca ne çift ne de tek olan fonksiyonlar da vardır. Örneğin, y \u003d 2x + 3 işlevi böyledir. Aslında, f (1) \u003d 5 ve f (-1) \u003d 1. Burada görebileceğiniz gibi, burada ne f (-x) kimliği ) \u003d f ( x), ne de f(-x) = -f(x) kimliği.
Yani bir fonksiyon çift olabilir, tek olabilir veya ikisi de olmayabilir.
Belirli bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğu sorusunun incelenmesine genellikle eşlik fonksiyonunun incelenmesi denir.
Tanım 1 ve 2, fonksiyonun x ve -x noktalarındaki değerleriyle ilgilidir. Bu, fonksiyonun hem x noktasında hem de -x noktasında tanımlandığını varsayar. Bu, -x noktasının, x noktasıyla aynı anda fonksiyonun tanım kümesine ait olduğu anlamına gelir. Eğer bir X sayısal kümesi, her bir x öğesiyle birlikte karşıt öğe olan -x'i içeriyorsa, X'e simetrik küme denir. Diyelim ki (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrik kümeler, oysa ; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] simetrik değildir.
- Fonksiyonların bile bir tanım alanı (simetrik küme) var mıdır? Garip olanlar mı?
- Eğer D( F) asimetrik bir küme ise fonksiyon nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon en = F(X) çift veya tek ise tanım alanı D('dir) F) simetrik bir kümedir. Ancak bir fonksiyonun tanım kümesi simetrik bir küme ise çift mi yoksa tek mi olduğu şeklindeki tersi ifade doğru mudur?
- Yani tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığı gerekli bir koşuldur, ancak yeterli değildir.
– Peki eşlik fonksiyonunu nasıl araştırabiliriz? Bir algoritma yazmaya çalışalım.
Slayt
Eşlik fonksiyonunu incelemek için algoritma
1. Fonksiyonun tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir. Cevabınız evet ise algoritmanın 2. adımına geçin.
2. için bir ifade yazın F(–X).
3. Karşılaştırın F(–X).Ve F(X):
- Eğer F(–X).= F(X), o zaman fonksiyon çifttir;
- Eğer F(–X).= – F(X), o zaman fonksiyon tektir;
- Eğer F(–X) ≠ F(X) Ve F(–X) ≠ –F(X), bu durumda fonksiyon ne çift ne de tektir.
Örnekler:
Eşlik fonksiyonunu inceleyin a) en= x 5 +; B) en= ; V) en= .
Çözüm.
a) h (x) \u003d x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.
2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),
3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e işlevi h(x)= x 5 + tek.
b) y =,
en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik küme, dolayısıyla fonksiyon ne çift ne de tektir.
V) F(X) = , y = f(x),
1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
seçenek 2
1. Verilen küme simetrik midir: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y \u003d x (5 - x 2).
a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) eşit bir fonksiyondur.
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) tek bir fonksiyondur.
Karşılıklı kontrol açık slayt.
6. Ödev: №11.11, 11.21,11.22;
Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.
*** (KULLANIM seçeneğinin atanması).
1. Tek fonksiyon y \u003d f (x) tüm gerçek çizgide tanımlanır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri, g( fonksiyonunun değeriyle çakışır. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = en X = 3.
7. Özetleme