Bir polinomun çarpanlarına ayrılması. İkinci dereceden daha yüksek dereceli bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri Köşeli parantezlerin ayrıştırılması

Bu, bir ifadeyi basitleştirmenin en temel yollarından biridir. Bu yöntemi uygulamak için çarpma işleminin toplamaya göre dağılım yasasını hatırlayalım (bu kelimelerden korkmayın, bu yasayı mutlaka biliyorsunuz, sadece adını unutmuş olabilirsiniz).

Kanun diyor ki: İki sayının toplamını üçüncü bir sayıyla çarpmak için her terimi bu sayıyla çarpmanız ve sonuçları eklemeniz gerekir, yani.

Ters işlemi de yapabilirsiniz, bizi ilgilendiren de bu ters işlemdir. Örnekten görülebileceği gibi ortak faktör olan a, parantezden çıkarılabilir.

Benzer bir işlem hem ve gibi değişkenlerle hem de sayılarla yapılabilir: .

Evet, bu çok basit bir örnek, tıpkı daha önce verilen örnekte olduğu gibi, bir sayının açılımı ile ilgili, çünkü herkes sayıların ne olduğunu ve bölünebildiğini bilir, ama ya daha karmaşık bir ifadeniz varsa:

Örneğin bir sayının neye bölündüğünü nasıl öğrenebilirim, hayır, bir hesap makinesiyle herkes yapabilir, ama onsuz zayıf mı? Ve bunun için bölünebilirlik işaretleri var, bu işaretler gerçekten bilinmeye değer, ortak faktörü parantezden çıkarmanın mümkün olup olmadığını hızlı bir şekilde anlamanıza yardımcı olacaklar.

Bölünebilirlik işaretleri

Bunları hatırlamak o kadar da zor değil, büyük olasılıkla çoğu size zaten tanıdık geliyordu ve yeni ve yararlı bir keşif olacak, tabloda daha fazla ayrıntı olacak:

Not: Tabloda 4'e bölünebilme işareti yoktur. Son iki rakamı 4'e bölünüyorsa sayının tamamı 4'e bölünür.

Peki tabelayı beğendin mi? Bunu hatırlamanızı tavsiye ederim!

Peki, ifadeye geri dönelim, belki parantezden çıkarırız ve bu kadarı yeterli olur mu? Hayır, matematikçiler için sonuna kadar basitleştirmek gelenekseldir, Çıkarılan HER ŞEYİ çıkarın!

Ve böylece, oyuncu için her şey açık, peki ya ifadenin sayısal kısmı? Her iki sayı da tek olduğundan bölemezsiniz

Sayının oluştuğu rakamların toplamı eşittir ve bölünebilir yani bölünebilir anlamına gelen bölünebilme işaretini kullanabilirsiniz.

Bunu bilerek, elde ettiğimiz bölme sonucunda güvenli bir şekilde bir sütuna bölebilirsiniz (bölünebilirlik işaretleri işe yaradı!). Böylece sayıyı tıpkı y gibi parantezden çıkarabiliriz ve sonuç olarak şunu elde ederiz:

Her şeyin doğru şekilde ayrıştırıldığından emin olmak için genişlemeyi çarpma yoluyla kontrol edebilirsiniz!

Ayrıca kuvvet ifadelerinde ortak çarpan çıkarılabilir. Mesela burada ortak faktörü görüyor musunuz?

Bu ifadenin tüm üyelerinin x'leri var - çıkarıyoruz, hepsini bölüyoruz - tekrar çıkarıyoruz, ne olduğuna bakıyoruz: .

2. Kısaltılmış çarpma formülleri

Kısaltılmış çarpma formüllerinden teoride bahsetmiştik, eğer ne olduğunu hatırlamıyorsanız hafızanızı tazelemelisiniz.

Kendinizi çok akıllı buluyorsanız ve böyle bir bilgi bulutunu okuyamayacak kadar tembelseniz, o zaman okumaya devam edin, formüllere bakın ve hemen örnekleri ele alın.

Bu ayrıştırmanın özü, önünüzdeki ifadede belirli bir formülü fark edip onu uygulamak ve böylece bir şeyin ve bir şeyin ürününü elde etmektir, hepsi ayrıştırmadır. Formüller aşağıdadır:

Şimdi yukarıdaki formülleri kullanarak aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırmayı deneyin:

Ve işte olması gerekenler:

Fark ettiğiniz gibi bu formüller çok etkili bir çarpanlara ayırma yöntemidir, her zaman uygun olmayabilir ama çok faydalı olabilir!

3. Gruplandırma veya gruplandırma yöntemi

İşte size başka bir örnek:

Peki bununla ne yapacaksın? Görünüşe göre bir şeye ve bir şeye, bir şey de içine ve içine bölünebilir

Ama her şeyi tek bir şeye bölemezsin, yani ortak bir faktör yok, neyi aramamalı ve çarpanlara ayırmadan bırakmamalı mı?

Burada ustalık göstermeniz gerekiyor ve bu yaratıcılığın adı bir gruplandırmadır!

Tüm üyelerin ortak bölenleri olmadığında kullanılır. Gruplandırma için ihtiyacınız olan ortak bölenleri olan terim gruplarını bulun ve her gruptan aynı çarpan elde edilebilecek şekilde bunları yeniden düzenleyin.

Elbette yerleri yeniden düzenlemenize gerek yok ama bu görünürlük sağlar, açıklık sağlamak için ifadenin tek tek bölümlerini parantez içine alabilirsiniz, istediğiniz kadar koymak yasak değildir, asıl mesele işaretleri karıştırmayın.

Bütün bunlar çok açık değil mi? Bir örnekle açıklayayım:

Bir polinomda - üyenin arkasına bir üye koyun - şunu elde ederiz

ilk iki terimi ayrı bir parantez içinde gruplandırırsak ve üçüncü ve dördüncü terimleri de aynı şekilde gruplandırırsak, eksi işaretini parantez dışında bırakırsak şunu elde ederiz:

Ve şimdi ifadeyi parantezlerle ayırdığımız iki "yığın"ın her birine ayrı ayrı bakıyoruz.

İşin püf noktası, mümkün olan en büyük faktörün çıkarılmasının mümkün olacağı yığınlara bölmek veya bu örnekte olduğu gibi, kümelerdeki parantez içindeki faktörleri çıkardıktan sonra, üyeleri gruplandırmaya çalışmaktır. parantez içinde aynı ifadeler var.

Her iki parantezden de üyelerin ortak çarpanlarını çıkarırız, birinci parantezden ve ikinci parantezden şunu elde ederiz:

Ama bu ayrışma değil!

Peşek ayrışma sadece çarpma olarak kalmalıdır ama şimdilik elimizde basitçe iki parçaya bölünmüş bir polinom var...

ANCAK! Bu polinomun ortak bir çarpanı vardır. Bu

braketin dışında ve son ürünü alıyoruz

Bingo! Gördüğünüz gibi zaten bir çarpım var ve parantezlerin dışında ne toplama ne de çıkarma var, ayrıştırma tamamlandı çünkü parantezlerden çıkaracağımız başka bir şey yok.

Çarpanları parantezlerden çıkardıktan sonra yine parantezlerden çıkardığımız aynı ifadelerin parantez içinde kalması bir mucize gibi görünebilir.

Ve bu hiç de bir mucize değil, gerçek şu ki, ders kitaplarındaki ve sınavlardaki örnekler, görevlerdeki ifadelerin çoğu basitleştirmeye veya basitleştirmeye yönelik olacak şekilde özel olarak yapılmıştır. çarpanlara ayırma Onlara doğru yaklaşımla kolayca basitleştirilirler ve bir düğmeye bastığınızda bir şemsiye gibi aniden çökerler, bu nedenle her ifadede o düğmeyi arayın.

Konudan saptığım bir şey var, basitleştirmeyle elimizde ne var? Karmaşık polinom daha basit bir biçim aldı: .

Katılıyorum, eskisi kadar hantal değil mi?

4. Tam kare seçimi.

Bazen kısaltılmış çarpma formüllerini uygulamak için (konuyu tekrarlamak), mevcut polinomu dönüştürmek, terimlerinden birini iki terimin toplamı veya farkı olarak sunmak gerekir.

Bu durumda bunu yapmanız gerekir; örnekten öğreneceksiniz:

Bu formdaki bir polinom kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak ayrıştırılamaz, dolayısıyla dönüştürülmesi gerekir. Belki ilk başta hangi terimi neye böleceğiniz size açık olmayabilir, ancak zamanla kısaltılmış çarpma formüllerini, bütünüyle mevcut olmasalar bile hemen görmeyi öğreneceksiniz ve neyin eksik olduğunu hızlı bir şekilde belirleyeceksiniz. İşte tam formüle, ama şimdilik - öğrenin, bir öğrenci, daha doğrusu bir okul çocuğu.

Farkın karesinin tam formülü için burada bunun yerine ihtiyacınız var. Üçüncü terimi fark olarak temsil edersek şunu elde ederiz: Fark kare formülünü parantez içindeki ifadeye uygulayabiliriz. (kareler farkıyla karıştırılmamalıdır!!!), elimizde: , bu ifadeye kareler farkı formülünü uygulayabiliriz (kare farkıyla karıştırılmamalıdır!!!), nasıl elde ettiğimizi hayal ederek: .

Her zaman faktörlere dahil edilmeyen bir ifade, ayrıştırma öncesinde olduğundan daha basit ve daha küçük görünür, ancak bu formda, işaretleri değiştirme ve diğer matematiksel saçmalıklar konusunda endişelenemeyeceğiniz anlamında daha hareketli hale gelir. Kendi başınıza karar verebilmeniz için aşağıdaki ifadelerin dikkate alınması gerekir.

Örnekler:

Cevaplar:

5. Kare trinomialin çarpanlarına ayrılması

Bir kare trinomiyalin çarpanlarına ayrılması için aşağıdaki ayrıştırma örneklerine bakın.

Bir Polinomu Çarpanlarına Ayırma İçin 5 Yöntemin Örnekleri

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak. Örnekler.

Dağıtım yasasının ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu böyle bir kuraldır:

Örnek:

Bir polinomu çarpanlara ayırın.

Çözüm:

Başka bir örnek:

Çarpmak.

Çözüm:

Eğer terimin tamamı parantezlerden çıkarılırsa, onun yerine parantez içinde bir terim kalır!

2. Kısaltılmış çarpma formülleri. Örnekler.

En sık kullanılan formüller kareler farkı, küpler farkı ve küplerin toplamıdır. Bu formülleri hatırlıyor musunuz? Değilse acilen konuyu tekrarlayın!

Örnek:

İfadeyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm:

Bu ifadede küplerin farkını bulmak kolaydır:

Örnek:

Çözüm:

3. Gruplandırma yöntemi. Örnekler

Bazen terimlerin yerini, her bir komşu terim çiftinden bir ve aynı faktörün çıkarılmasını sağlayacak şekilde değiştirmek mümkündür. Bu ortak faktör parantezden çıkarılabilir ve orijinal polinom bir çarpıma dönüşebilir.

Örnek:

Polinomu çarpanlara ayırın.

Çözüm:

Terimleri şu şekilde gruplandırıyoruz:
.

İlk grupta ortak faktörü çıkarıyoruz ve ikinci grupta - :
.

Artık ortak faktör de parantezlerden çıkarılabilir:
.

4. Tam kare seçme yöntemi. Örnekler.

Polinom iki ifadenin karelerinin farkı olarak temsil edilebiliyorsa geriye kalan tek şey kısaltılmış çarpma formülünü (kareler farkı) uygulamaktır.

Örnek:

Polinomu çarpanlara ayırın.

Çözüm:Örnek:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(2))+6(x)-7=\underbrace(((x)^(2))+2\cdot 3\cdot x+9)_(square\ sums\ ((\left) (x+3 \sağ))^(2))-9-7=((\sol(x+3 \sağ))^(2))-16= \\
=\left(x+3+4 \right)\left(x+3-4 \right)=\left(x+7 \right)\left(x-1 \right) \\
\end(dizi)

Polinomu çarpanlara ayırın.

Çözüm:

\begin(array)(*(35)(l))
((x)^(4))-4((x)^(2))-1=\underbrace(((x)^(4))-2\cdot 2\cdot ((x)^(2) )+4)_(kare\ farklar((\left(((x)^(2))-2 \right))^(2)))-4-1=((\left(((x)^) (2))-2 \sağ))^(2))-5= \\
=\left(((x)^(2))-2+\sqrt(5) \right)\left(((x)^(2))-2-\sqrt(5) \right) \\
\end(dizi)

5. Kare bir trinomiyalin çarpanlara ayrılması. Örnek.

Kare bir trinomial, bazı sayıların bilinmeyen olduğu formda bir polinomdur.

Kare trinomial'i sıfıra çeviren değişken değerlere trinomialin kökleri denir. Bu nedenle, bir üç terimlinin kökleri ikinci dereceden bir denklemin kökleridir.

Teorem.

Örnek:

Üçgen kareyi çarpanlarına ayıralım: .

İlk olarak ikinci dereceden denklemi çözüyoruz: Şimdi bu kare trinomiyalin çarpanlara ayrılmasını çarpanlara ayırabiliriz:

Şimdi sizin fikriniz...

Bir polinomun nasıl ve neden çarpanlara ayrılacağını ayrıntılı olarak açıkladık.

Pratikte nasıl yapılacağına dair birçok örnek verdik, tuzaklara dikkat çektik, çözümler verdik...

Sen ne diyorsun?

Bu makaleyi nasıl buldunuz? Bu hileleri kullanıyor musunuz? Onların özünü anlıyor musun?

Yorumlara yazın ve... sınava hazırlanın!

Şu ana kadar hayatınızdaki en önemli şey bu.

Bir polinom, monomların toplamından oluşan bir ifadedir. İkincisi, bir sabitin (sayı) ve ifadenin k kuvvetinin kökünün (veya köklerinin) çarpımıdır. Bu durumda k dereceli bir polinomdan söz edilir. Bir polinomun ayrıştırılması, terimlerin faktörlerle değiştirildiği ifadenin dönüşümünü içerir. Bu tür bir dönüşümü gerçekleştirmenin ana yollarını ele alalım.

Ortak bir faktörü çıkararak bir polinomu genişletme yöntemi

Bu yöntem dağıtım kanunu kanunlarına dayanmaktadır. Yani mn + mk = m * (n + k).

Örnek: 7y 2 + 2uy ve 2m 3 – 12m 2 + 4lm'yi genişletin.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m3 - 12m2 + 4lm = 2m(m2 - 6m + 2l).

Ancak her polinomda mutlaka bulunması gereken faktör her zaman bulunamayabilir, dolayısıyla bu yöntem evrensel değildir.

Kısaltılmış çarpma formüllerine dayalı polinom genişletme yöntemi

Kısaltılmış çarpma formülleri herhangi bir derecedeki polinom için geçerlidir. Genel olarak dönüşüm ifadesi şuna benzer:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), burada k, şunun temsilcisidir doğal sayılar.

Uygulamada çoğu zaman ikinci ve üçüncü dereceden polinomlar için formüller kullanılır:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 - ul + l 2).

Örnek: 25p 2 - 144b 2 ve 64m 3 - 8l 3'ü genişletin.

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Polinom ayrıştırma yöntemi - bir ifadenin terimlerini gruplandırma

Bu yöntem bir bakıma ortak bir faktör türetme tekniğini yansıtıyor ancak bazı farklılıkları var. Özellikle ortak çarpanı ayırmadan önce tek terimlileri gruplandırmak gerekir. Gruplama, birleşme ve değişme yasalarının kurallarına dayanır.

İfadede sunulan tüm monomlar gruplara ayrılır ve her birinde ikinci faktörün tüm gruplarda aynı olacağı şekilde ortak bir değer çıkarılır. Genel olarak böyle bir ayrıştırma yöntemi bir ifadeyle temsil edilebilir:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

Örnek: 14dk + 16ln - 49m - 56l'yi genişletin.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).

Polinom Ayrıştırma Yöntemi - Tam Kare Oluşumu

Bu yöntem polinom ayrıştırma sürecinde en etkili yöntemlerden biridir. İlk aşamada, farkın veya toplamın karesine "katlanabilecek" monomların belirlenmesi gerekir. Bunun için aşağıdaki ilişkilerden biri kullanılır:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

Örnek: u 4 + 4u 2 – 1 ifadesini genişletin.

Tek terimlileri arasında tam bir kare oluşturan terimleri seçiyoruz: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Kısaltılmış çarpma kurallarını kullanarak dönüşümü tamamlayın: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

O. sen 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5)(u 2 + 2 + √5).

Çoğu zaman, bir kesirin payı ve paydası, önce faktörlere ayrıştırılması gereken cebirsel ifadelerdir ve daha sonra aralarında aynı olanı bulduktan sonra hem pay hem de paydayı kendilerine bölerler, yani kesri azaltırlar. 7. sınıftaki cebir ders kitabının bir bölümünün tamamı bir polinomu çarpanlara ayırma görevlerine ayrılmıştır. Faktoring yapılabilir 3 yol ve bu yöntemlerin bir kombinasyonu.

1. Kısaltılmış çarpma formüllerinin uygulanması

Bilindiği üzere bir polinomu bir polinomla çarpmak, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir. Kavrama dahil olan polinomların çarpımının en az 7 (yedi) ortak durumu vardır. Örneğin,

Tablo 1. 1. Yolda Çarpanlara Ayırma

2. Ortak çarpanı parantezden çıkarmak

Bu yöntem, dağıtım çarpım yasasının uygulanmasına dayanmaktadır. Örneğin,

Orijinal ifadenin her terimini çıkardığımız faktöre bölüyoruz ve aynı zamanda parantez içindeki ifadeyi elde ediyoruz (yani, olanı çıkardığımıza bölmenin sonucu parantez içinde kalıyor). Her şeyden önce ihtiyacınız var çarpanı doğru şekilde belirleyin, parantez içine alınması gerekir.

Parantez içindeki polinom da ortak bir faktör olabilir:

“Çarpanlara ayırma” görevini gerçekleştirirken, ortak çarpanı parantezlerden çıkarırken işaretlere özellikle dikkat edilmelidir. Parantez içindeki her terimin işaretini değiştirmek için (b-a) ortak çarpanını çıkarıyoruz -1 , parantez içindeki her terim -1'e bölünürken: (b - a) = - (a - b) .

Parantez içindeki ifadenin karesi (veya herhangi bir çift kuvveti) olması durumunda, o zaman parantez içindeki sayılar değiştirilebilir tamamen ücretsizdir, çünkü parantez içindeki eksiler çarpıldığında yine de artıya dönüşecektir: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 ve benzeri…

3. Gruplandırma yöntemi

Bazen ifadedeki tüm terimlerin ortak bir çarpanı olmayabilir, yalnızca bazılarının ortak çarpanı olabilir. O zaman deneyebilirsiniz grup terimleri parantez içinde, böylece her birinden bazı faktörler çıkarılabilir. Gruplama yöntemi ortak faktörlerin çift parantezlenmesidir.

4. Aynı anda birden fazla yöntemi kullanmak

Bazen bir polinomu aynı anda faktörlere ayırmanın bir değil birkaç yolunu uygulamanız gerekir.

Bu konuyla ilgili bir özettir. "Faktörleştirme". Sonraki adımları seçin:

Bir sonraki özete gidin:

N dereceli herhangi bir cebirsel polinom, formdaki n-doğrusal faktörlerin ve polinomun en yüksek x derecesindeki katsayıları olan sabit bir sayının ürünü olarak temsil edilebilir;

Nerede - polinomun kökleridir.

Bir polinomun kökü, polinomu sıfıra çeviren bir sayıdır (gerçek veya karmaşık). Bir polinomun kökleri hem gerçek kökler hem de karmaşık eşlenik kökler olabilir, bu durumda polinom aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:

"n" dereceli polinomları birinci ve ikinci derece faktörlerin çarpımına genişletme yöntemlerini düşünün.

Yöntem numarası 1.Belirsiz katsayılar yöntemi.

Böyle dönüştürülmüş bir ifadenin katsayıları, belirsiz katsayılar yöntemiyle belirlenir. Yöntemin özü, verilen polinomun ayrıştırıldığı faktör türlerinin önceden bilinmesidir. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanırken aşağıdaki ifadeler doğrudur:

S.1. İki polinomun katsayıları x'in aynı kuvvetlerine eşitse özdeştir.

S.2. Herhangi bir üçüncü derece polinom, doğrusal ve kare faktörlerin çarpımına ayrışır.

S.3. Dördüncü dereceden herhangi bir polinom, ikinci dereceden iki polinomun çarpımına ayrışır.

Örnek 1.1. Kübik ifadeyi çarpanlara ayırmak gerekir:

S.1. Kabul edilen ifadelere göre kübik ifade için aynı eşitlik doğrudur:

S.2. İfadenin sağ tarafı aşağıdaki terimlerle temsil edilebilir:

S.3. Kübik ifadenin karşılık gelen kuvvetleri için katsayıların eşitliği koşulundan bir denklem sistemi oluşturuyoruz.

Bu denklem sistemi katsayıların seçimi yöntemiyle (basit bir akademik problem ise) çözülebilir veya doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözme yöntemleri kullanılabilir. Bu denklem sistemini çözerek belirsiz katsayıların aşağıdaki gibi tanımlandığını elde ederiz:

Böylece orijinal ifade aşağıdaki biçimde faktörlere ayrıştırılır:

Bu yöntem hem analitik hesaplamalarda hem de bilgisayar programlamada bir denklemin kökünü bulma sürecini otomatikleştirmek için kullanılabilir.

Yöntem numarası 2.Vieta formülleri

Vieta formülleri, n dereceli cebirsel denklemlerin katsayıları ve kökleriyle ilgili formüllerdir. Bu formüller Fransız matematikçi Francois Vieta'nın (1540 - 1603) çalışmalarında örtülü olarak sunuldu. Viet yalnızca pozitif gerçek kökleri dikkate aldığından, bu formülleri genel ve açık bir biçimde yazma fırsatı bulamadı.

N dereceli, n gerçek kökü olan herhangi bir cebirsel polinom için,

Bir polinomun köklerini katsayılarına bağlayan aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Vieta'nın formülleri, bir polinomun köklerini bulmanın doğruluğunu kontrol etmek ve aynı zamanda verilen köklerden bir polinom oluşturmak için kullanıma uygundur.

Örnek 2.1.Örnek olarak kübik denklemi kullanarak bir polinomun köklerinin katsayılarıyla nasıl ilişkili olduğunu düşünün

Vieta formüllerine göre bir polinomun kökleri ile katsayıları arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

Benzer ilişkiler n dereceli herhangi bir polinom için de yapılabilir.

Yöntem numarası 3. İkinci dereceden bir denklemin rasyonel kökleriyle çarpanlarına ayrılması

Vieta'nın son formülünden, bir polinomun köklerinin, onun serbest teriminin ve baş katsayısının bölenleri olduğu sonucu çıkar. Bu bağlamda, problemin koşulu n dereceli tamsayı katsayılı bir polinom içeriyorsa

o zaman bu polinomun rasyonel bir kökü (indirgenemez kesir) vardır; burada p, serbest terimin böleni ve q, baş katsayının böleni olur. Bu durumda, n dereceli bir polinom şu şekilde temsil edilebilir (Bezout teoremi):

Derecesi, başlangıç polinomunun derecesinden 1 daha az olan bir polinom, n dereceli bir polinomun, örneğin Horner şeması kullanılarak veya en basit şekilde - bir "sütun" kullanılarak bir binoma bölünmesiyle belirlenir.

Örnek 3.1. Polinomu çarpanlara ayırmak gerekir

S.1. En yüksek terimdeki katsayı bire eşit olduğundan, bu polinomun rasyonel kökleri ifadenin serbest teriminin bölenleridir, yani. tam sayılar olabilir . Sunulan sayıların her birini orijinal ifadede yerine koyarsak, sunulan polinomun kökünün - olduğunu buluruz.

Orijinal polinomu bir binoma bölelim:

Horner'ın şemasını kullanalım

Orijinal polinomun katsayıları üst satırda ayarlanır, üst satırın ilk hücresi ise boş kalır.

Bulunan kök ikinci satırın ilk hücresine yazılır (bu örnekte "2" sayısı yazılmıştır) ve hücrelerde aşağıdaki değerler belli bir şekilde hesaplanır ve katsayılarıdır. polinomun binoma bölünmesiyle elde edilecek polinom. Bilinmeyen katsayılar aşağıdaki gibi tanımlanır:

Birinci satırın karşılık gelen hücresindeki değer, ikinci satırın ikinci hücresine aktarılır (bu örnekte "1" sayısı yazılmıştır).

İkinci satırın üçüncü hücresi, birinci hücrenin ve ikinci satırın ikinci hücresinin çarpımının değerini artı birinci satırın üçüncü hücresinin değerini içerir (bu örnekte, 2 ∙ 1 -5 = -3) .

İkinci satırın dördüncü hücresi, birinci hücrenin ve ikinci satırın üçüncü hücresinin çarpımının değerini artı birinci satırın dördüncü hücresinin değerini içerir (bu örnekte 2 ∙ (-3) +7 = 1) ).

Böylece orijinal polinom çarpanlara ayrılır:

Yöntem numarası 4.Kısa Çarpma Formüllerini Kullanmak

Kısaltılmış çarpma formülleri, hesaplamaları basitleştirmek ve ayrıca polinomları faktörlere ayırmak için kullanılır. Kısaltılmış çarpma formülleri, bireysel problemlerin çözümünü basitleştirmeyi mümkün kılar.

Faktoringde Kullanılan Formüller

Genel durumda, bu görev yaratıcı bir yaklaşım gerektirir, çünkü onu çözmek için evrensel bir yöntem yoktur. Ancak birkaç ipucu vermeye çalışalım.

Çoğu durumda, bir polinomun faktörlere ayrıştırılması Bezout teoreminin sonucuna dayanır, yani kök bulunur veya seçilir ve polinomun derecesi bölünerek bir azaltılır. Ortaya çıkan polinomun kökü aranır ve işlem tamamen açılıncaya kadar tekrarlanır.

Kök bulunamazsa, belirli ayrıştırma yöntemleri kullanılır: gruplandırmadan birbirini dışlayan ek terimlerin eklenmesine kadar.

Daha ileri sunum, tamsayı katsayılarıyla daha yüksek dereceli denklemleri çözme becerisine dayanmaktadır.

Ortak çarpanı parantez içine almak.

Serbest terimin sıfıra eşit olduğu, yani polinomun şu şekle sahip olduğu en basit durumla başlayalım.

Açıkçası, böyle bir polinomun kökü, yani polinom, olarak temsil edilebilir.

Bu yöntem başka bir şey değil ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Örnek.

Üçüncü dereceden bir polinomu faktörlere ayırın.

Çözüm.

Polinomun kökü olduğu açıktır, yani, X parantez içine alınabilir:

Kare bir trinomiyalin köklerini bulun

Böylece,

Sayfanın başı

Bir polinomun rasyonel kökleriyle çarpanlarına ayrılması.

İlk olarak, bir polinomu formun tamsayı katsayılarıyla genişletme yöntemini düşünün, en yüksek derecedeki katsayı bire eşittir.

Bu durumda, polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleridir.

Örnek.

Çözüm.

Tamsayı köklerin olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için sayının bölenlerini yazıyoruz -18 : . Yani polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar yazılan sayılar arasındadır. Bu sayıları Horner'ın şemasına göre sırayla kontrol edelim. Kolaylığı aynı zamanda sonunda polinomun genişleme katsayılarını da elde edeceğimiz gerçeğinde yatmaktadır:

Yani, x=2 Ve x=-3 orijinal polinomun kökleridir ve bir çarpım olarak temsil edilebilir:

Kare üçlüyü genişletmeye devam ediyor.

Bu üç terimlinin diskriminantı negatif olduğundan gerçek kökleri yoktur.

Cevap:

Yorum:

Horner'ın şeması yerine, bir kökün seçilmesi ve ardından bir polinomun bir polinomla bölünmesi kullanılabilir.

Şimdi bir polinomun tamsayı katsayıları biçimindeki açılımını düşünün ve en yüksek derecedeki katsayı bire eşit değildir.

Bu durumda polinom kesirli rasyonel köklere sahip olabilir.

Örnek.

İfadeyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

Değişkeni değiştirerek y=2x, katsayısı en yüksek derecede bire eşit olan bir polinoma geçiyoruz. Bunu yapmak için önce ifadeyi şu şekilde çarpıyoruz: 4 .

Ortaya çıkan fonksiyonun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleri arasındadır. Bunları yazalım:

Fonksiyonun değerlerini sırayla hesaplayın g(y) sıfıra ulaşana kadar bu noktalarda.

Yani, y=-5 kök mü dolayısıyla orijinal fonksiyonun köküdür. Bir polinomun bir sütununa (köşesine) bir binomla bölme işlemini gerçekleştirelim.

Böylece,

Ortaya çıkan kare üç terimliyi çarpanlara ayırmak daha kolay olduğundan, kalan bölenleri kontrol etmeye devam etmeniz önerilmez.

Buradan,

Bilinmeyen polinomlar. Dobutok'ta polinomun dağılımı ile ilgili teorem bilinmiyor. Polinomun kanonik düzeni.