Dar üçgen. Dar Üçgen Eşkenar İkizkenar Çeşitkenar Üçgenler
Üçgen, birbirine bağlı üç noktadan oluşan bir şekildir. Açılara bağlı olarak, üçgen şöyle olabilir:
- dikdörtgen açılardan biri 90 derece ise;
- geniş, açılardan biri genişse, yani 90 dereceden fazla;
- keskin açılıüçgenin tüm açıları dar ise.
Akut üçgenlerle ilgili problemleri çözmek için genellikle sinüs veya kosinüs teoremini kullanmak gerekir.
Antik Yunanistan'da bile matematikçiler üçgenleri incelediler. Üçgenler hakkında pek çok teorem içeren modern geometrinin temellerini geliştirenler Yunanlılardı. Örneğin, Pisagor teoreminin yazarı Antik Yunan'dan gelmektedir.
Özellikler
Dar bir üçgende her açı 90 dereceden küçüktür. Ancak bir üçgende iç açıların toplamı her zaman 180'dir. Herhangi bir şekilde köşeler büyük Latin harfleriyle gösterilir.
Kenarlar ve açılarla birlikte bir üçgenin öğelerinden biri dış köşedir. Bir dış açı, bir üçgenin bir iç açısına bitişik bir açıdır.
Herhangi bir üçgenin, her biri iç için 2 olmak üzere 6 dış köşesi vardır. Bir dar üçgenin herhangi bir dış açısı her zaman geniş olacaktır.
Akut Üçgen Çizgiler
Akut bir üçgenin bir dizi özelliği vardır.
Medyan, geometrik şeklin indirildiği kenarın uzunluğunun yarısına eşit olacaktır. Ayrıca, bu parça herhangi bir tepe noktasından çizilebilir.
Pirinç. 1. Akut üçgende medyanlar
Bir akut üçgende üç yükseklik çizerseniz, bunların ortomerkez adı verilen bir noktada kesişecekleri bilinmektedir. Bu segmentler karşı taraflara dik açılarda indirilir. Dar bir üçgendeki yükseklikler, bu rakamı benzer üçgenlere böler.
Pirinç. 2. Akut üçgende yükseklikler
Akut bir üçgende açıortaylar sadece açıları ikiye bölmez. Bu parçalar, yazılı dairenin merkezi olan bir noktada kesişir.
Açıortay ayrıca dar açılı bir üçgenin kenarını karşılık gelen kenarlarla orantılı iki parçaya ayırır. Bazı sorunları çözmek için bu ifadenin hatırlanması gerekir.
Pirinç. 3. Dar üçgende açıortaylar
Özellikler
Dar açılı bir üçgenin herhangi iki kenarının sayısal değerlerini toplarsak, kesinlikle belirli bir geometrik şeklin üçüncü bölümünden daha büyük olacak bir rakam elde ederiz.
Dar bir üçgende ortanca çizgi verilen şeklin kenarlarından birine paraleldir ve yarısının yarısına eşittir.
Ne öğrendik?
Dar bir üçgende her açı 90 dereceden küçüktür. Buradaki açıların toplamı da 180 dereceye eşittir. Üçgenin karakteristik çizgilerini unutmamalıyız. Onların yardımıyla, belirli bir üçgen şeklin kenarlarını veya belirli bir dairenin merkezini hesaplamak kolaydır. Ve geometri problemlerinde açılar belirtilirse, trigonometrik fonksiyonları kullanabilirsiniz.
konu testi
Makale değerlendirmesi
Ortalama puanı: 4.5. Alınan toplam puan: 114.
Matematik çalışırken, öğrenciler çeşitli geometrik şekillerle tanışmaya başlarlar. Bugün farklı üçgen türleri hakkında konuşacağız.
Tanım
Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan oluşan geometrik şekillere üçgen denir.
Noktaları birleştiren doğru parçalarına kenar, noktalara da köşe denir. Köşeler büyük Latin harfleriyle gösterilir, örneğin: A, B, C.
Taraflar, oluşturdukları iki noktanın adlarıyla belirtilir - AB, BC, AC. Kesişen kenarlar açı oluşturur. Alt taraf, şeklin tabanı olarak kabul edilir.
Pirinç. 1. Üçgen ABC.
üçgen türleri
Üçgenler açılarına ve kenarlarına göre sınıflandırılır. Her üçgen türünün kendine has özellikleri vardır.
Köşelerde üç tür üçgen vardır:
- keskin açılı;
- dikdörtgen;
- geniş.
Tüm açılar keskin açılıüçgenler akuttur, yani her birinin derece ölçüsü 90 0'dan fazla değildir.
dikdörtgenüçgen bir dik açı içerir. Diğer iki açı her zaman dar olacaktır çünkü aksi takdirde üçgenin açılarının toplamı 180 dereceyi aşacaktır ki bu imkansızdır. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki bacak denir. Hipotenüs her zaman bacaktan büyüktür.
genişüçgen bir geniş açı içerir. Yani, 90 dereceden büyük bir açı. Böyle bir üçgendeki diğer iki açı keskin olacaktır.
Pirinç. 2. Köşelerdeki üçgen türleri.
Pisagor üçgeni, kenarları 3, 4, 5 olan bir dikdörtgendir.
Ayrıca, büyük taraf hipotenüstür.
Bu tür üçgenler genellikle geometride basit problemler oluşturmak için kullanılır. Bu nedenle, unutmayın: bir üçgenin iki kenarı 3 ise, üçüncüsü kesinlikle 5 olacaktır. Bu, hesaplamaları basitleştirecektir.
Kenarlardaki üçgen türleri:
- eşkenar;
- ikizkenar;
- çok yönlü.
Eşkenar bir üçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Böyle bir üçgenin tüm açıları 60 0'a eşittir, yani her zaman dar açılıdır.
İkizkenar bir üçgen sadece iki kenarı eşit olan bir üçgendir. Bu taraflara yanal ve üçüncüsü - taban denir. Ayrıca, bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşittir ve her zaman dardır.
Çok yönlü veya rastgele bir üçgen, tüm uzunlukların ve tüm açıların birbirine eşit olmadığı bir üçgendir.
Problemdeki şekil hakkında herhangi bir açıklama yoksa, genel olarak keyfi bir üçgenden bahsettiğimiz kabul edilir.
Pirinç. 3. Kenarlardaki üçgen türleri.
Bir üçgenin türü ne olursa olsun tüm açılarının toplamı 1800'dir.
Daha büyük açının karşısında daha büyük taraf var. Ve ayrıca herhangi bir kenarın uzunluğu her zaman diğer iki kenarın toplamından daha azdır. Bu özellikler üçgen eşitsizliği teoremi ile doğrulanır.
Altın üçgen kavramı var. Bu, iki kenarın tabanla orantılı ve belirli bir sayıya eşit olduğu bir ikizkenar üçgendir. Böyle bir şekilde açılar 2:2:1 oranıyla orantılıdır.
Görev:
Kenar uzunlukları 6 cm, 3 cm, 4 cm olan bir üçgen var mıdır?
Çözüm:
Bu görevi çözmek için eşitsizliği kullanmanız gerekir a
Ne öğrendik?
5. sınıf matematik dersindeki bu materyalden üçgenlerin kenarlara ve açılara göre sınıflandırıldığını öğrendik. Üçgenler, problem çözerken kullanılabilecek belirli özelliklere sahiptir.
Tüm kenar uzunlukları eşit olmayan üçgene denir çok yönlü.
İki eşit kenarı olan bir üçgen olarak gösterilir ikizkenar. Aynı taraflar denir yanal, üçüncü taraf temel. Aşağıdaki tanım eşit derecede doğru olacaktır bir üçgenin tabanları bir ikizkenar üçgenin diğer iki kenarına eşit olmayan kenarıdır.
İÇİNDE ikizkenar üçgen taban açıları eşittir. Yükseklik, medyan, açıortay tabanına çizilen ikizkenar üçgen birleştirilir.
Üçgen, tüm kenarları aynı olan, olarak gösterilir eşkenar veya doğru. Bir eşkenar üçgende tüm açılar 60°'dir ve çevre ve çevre çemberlerin merkezleri hizalıdır.
Açıların parametrelerine bağlı olarak üçgen türleri.
Yalnızca 90 0'dan (dar) küçük açıların çağrıldığı bir üçgen dar açılı.
90 derecelik bir açının temsil edildiği üçgene ne ad verilir? dikdörtgen. Dik açı oluşturan bir üçgenin kenarları genellikle gösterilir bacaklar ve dik açının karşısındaki taraf - hipotenüs.
Bugün, farklı üçgen türlerini tanıyacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.
Geometrik şekilleri inceleyin ve aralarındaki “fazla” olanı bulun (Şek. 1).
Pirinç. 1. Örnek resim
1, 2, 3, 5 numaralı rakamların dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şek. 2).
Pirinç. 2. Dörtgenler
Bu, "ekstra" şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).
Pirinç. 3. Örnek resim
Üçgen, aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir.
noktalar denir üçgen köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Bir üçgenin köşelerinde üç açı vardır.
Bir üçgenin ana özellikleri şunlardır: üç kenar ve üç köşe.Üçgenler açılarına göre sınıflandırılır keskin, dikdörtgen ve geniş.
Üç açısı da keskin, yani 90 ° 'den küçükse, bir üçgene dar açılı denir (Şekil 4).
Pirinç. 4. Akut üçgen
Açılarından biri 90° olan üçgene dik açılı denir (Şek. 5).
Pirinç. 5. Sağ Üçgen
Açılarından biri geniş, yani 90°'den büyük olan bir üçgene geniş denir (Şekil 6).
Pirinç. 6. Geniş Üçgen
Eşit kenar sayısına göre, üçgenler eşkenar, ikizkenar, çeşitkenardır.
Bir ikizkenar üçgen, iki kenarın eşit olduğu bir üçgendir (Şekil 7).
Pirinç. 7. İkizkenar üçgen
Bu taraflara denir yanal, Üçüncü taraf - temel. Bir ikizkenar üçgende, tabandaki açılar eşittir.
ikizkenar üçgenler akut ve geniş(Şek. 8) .
Pirinç. 8. Keskin ve geniş ikizkenar üçgenler
Üç kenarın da eşit olduğu bir eşkenar üçgen denir (Şek. 9).
Pirinç. 9. Eşkenar üçgen
bir eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı
Üç kenarın da farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgen çok yönlü olarak adlandırılır (Şekil 10).
Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen
Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba ayırın (Şek. 11).
Pirinç. 11. Görev için resim
Öncelikle açıların boyutlarına göre dağıtalım.
Akut üçgenler: 1 numara, 3 numara.
Dik üçgenler: #2, #6.
Geniş üçgenler: #4, #5.
Bu üçgenler eşit kenar sayısına göre gruplara ayrılır.
Çeşit üçgenler: No.4, No.6.
İkizkenar üçgenler: 2 numara, 3 numara, 5 numara.
Eşkenar Üçgen: 1 numara.
Çizimleri inceleyin.
Her üçgenin hangi telden yapıldığını düşünün (şek. 12).
Pirinç. 12. Görev için resim
Bu şekilde tartışabilirsiniz.
İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünür, böylece ondan bir eşkenar üçgen yapabilirsiniz. Şekilde üçüncü gösterilmiştir.
İkinci tel parçası üç farklı parçaya ayrılmıştır, böylece ondan bir çeşitkenar üçgen yapabilirsiniz. Resimde ilk gösterilmektedir.
Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunlukta olduğu üç parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir ikizkenar üçgen yapabilirsiniz. Resimde ikinci gösterilmiştir.
Bugün derste farklı üçgen türleri ile tanıştık.
Kaynakça
- Mİ. Moro, M.A. Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. Sınıf: 2 kısımda, bölüm 1. - M .: "Aydınlanma", 2012.
- Mİ. Moro, M.A. Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. Sınıf: 2 bölüm halinde, bölüm 2. - M .: "Aydınlanma", 2012.
- Mİ. Moreau. Matematik dersleri: Öğretmenler için yönergeler. 3. sınıf - M.: Eğitim, 2012.
- Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M.: "Aydınlanma", 2011.
- "Rusya Okulu": İlkokul programları. - M.: "Aydınlanma", 2011.
- Sİ. Volkov. Matematik: Test çalışması. 3. sınıf - M.: Eğitim, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testler. - M.: "Sınav", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Ev ödevi
1. Cümleleri bitirin.
a) Üçgen, aynı düz çizgi üzerinde olmayan ... ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren ... 'den oluşan bir şekildir.
b) Noktalar çağrılır … , segmentler - onun … . Bir üçgenin kenarları, bir üçgenin köşelerinde oluşur ….
c) Açının ölçüsüne göre üçgenler ..., ..., ....
d) Eş kenar sayısına göre üçgenler ..., ..., ....
2. Beraberlik
a) bir dik üçgen
b) keskin bir üçgen;
c) geniş bir üçgen;
d) bir eşkenar üçgen;
e) çeşitkenar üçgen;
e) bir ikizkenar üçgen.
3. Yoldaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir görev yapın.
Üçgen . Akut, geniş ve dik üçgenler.
Bacaklar ve hipotenüs. İkizkenar ve eşkenar üçgen.
Bir üçgenin açılarının toplamı.
Üçgenin dış köşesi. Üçgenlerin eşitlik işaretleri.
Bir üçgende harika çizgiler ve noktalar: yükseklikler, medyanlar,
bisektörler, medyan e diklikler, ortomerkez,
ağırlık merkezi, çevrelenmiş dairenin merkezi, yazılı dairenin merkezi.
Pisagor teoremi. Rastgele bir üçgenin en boy oranı.
Üçgen üç kenarı (veya üç köşesi) olan bir çokgendir. Bir üçgenin kenarları genellikle zıt köşeleri gösteren büyük harflere karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.
Üç açı da keskinse ( şek. 20), o zaman bu dar üçgen
. Köşelerden biri doğruysa(C, şek.21), yani sağ üçgen; taraflarbir , bdik açı oluşturan denir bacaklar; tarafCdik açının karşısına denir hipotenüs. eğer biri geniş açılar ( B, şek.22), yani geniş açılı üçgen.
Üçgen ABC (Şek. 23) - ikizkenar, Eğer iki kenarları eşittirA=
C); bu eşit taraflara denir yanal, üçüncü taraf denir temelüçgen. Üçgen ABC (Şek. 24) - eşkenar,
Eğer Tüm kenarları eşittirA
=
B
=
C). Genel olarak ( A ≠ B ≠ C)
sahibiz çeşit çeşitüçgen .
Üçgenlerin temel özellikleri. Herhangi bir üçgende:
1. Büyük kenarın karşısında daha büyük bir açı vardır ve bunun tersi de geçerlidir.
2. Eşit açılar, eşit kenarların karşısında bulunur ve bunun tersi de geçerlidir.
Özellikle tüm açılar eşkenarüçgen eşittir.
3. Üçgenin iç açıları toplamı 180 dir º .
Son iki özellikten, bir eşkenardaki her açının
üçgen 60'tır º.
4. Üçgenin bir kenarından devam ederek (AC, şek. 25), alırız harici
açı BCD . Bir üçgenin dış açısı iç açılarının toplamına eşittir,
bununla ilgili değil :BCD=A+B.
5. Herhangi bir üçgenin kenarı, diğer iki kenarın toplamından daha az ve daha fazladır
farklılıkları (A < B + C, A > B – C;B < A + C, B > A – C;C < A + B,C > A – B).
Üçgenlerin eşitlik işaretleri.
Üçgenler, sırasıyla eşitlerse eştir:
A ) iki kenar ve aralarındaki açı;
B ) iki köşe ve bunlara bitişik taraf;
c) üç taraf.
Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri.
İki dikdörtgen Aşağıdaki koşullardan biri doğruysa üçgenler eştir:
1) bacakları eşittir;
2) bir üçgenin bacağı ve hipotenüsü diğerinin bacağına ve hipotenüsüne eşittir;
3) bir üçgenin hipotenüsü ve dar açısı, diğerinin hipotenüsüne ve akut açısına eşittir;
4) bir üçgenin bacağı ve bitişik dar açısı, diğerinin bacağına ve bitişik dar açısına eşittir;
5) bacak ve bir üçgenin zıt keskin açısı bacağa eşittir ve diğerinin dar açısının karşısında.
Bir üçgende harika çizgiler ve noktalar.
Yükseklik üçgendik,herhangi bir tepe noktasından karşı tarafa düştü ( veya devamı). Bu taraf denirüçgenin tabanı . Bir üçgenin üç yüksekliği her zaman kesişirbir noktadaisminde diklik merkeziüçgen. Akut bir üçgenin ortomerkez (noktaÖ , Şek. 26) üçgenin içinde bulunur vegeniş bir üçgenin ortomerkez (noktaÖ , Şekil 27) – dıştan; Bir dik üçgenin diklik merkezi, dik açının tepe noktasıyla çakışır.
Medyan - Bu çizgi segmenti , bir üçgenin herhangi bir köşesini karşı tarafın orta noktasıyla birleştirerek. Bir üçgenin üç ortancası (AD , BE , CF , şek.28) bir noktada kesişmek Ö her zaman üçgenin içinde yer alır ve onun olmak ağırlık merkezi. Bu nokta, her medyanı üstten 2:1'e böler.
Açıortay - Bu açıortay segmenti yukarıdan aşağıya köşe karşı tarafla kesişme. Bir üçgenin üç açıortayı (AD , BE , CF , şek.29) bir noktada kesişmek Oh, her zaman bir üçgenin içinde yatarken Ve yapı yazılı daire merkezi("Yazılı" bölümüne bakınve sınırlandırılmış çokgenler).
Açıortay, karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler ; örneğin, Şekil 29'da AE : CE = AB : BC .
medyan dikey ortalamadan çizilen bir diktir segment noktaları (kenarlar). ABC üçgeninin dik açıortayları(KO , MO , HAYIR , şek.30 ) bir O noktasında kesişir, ki bu merkez çevrelenmiş daire (noktalar K , M , N bir üçgenin kenarlarının orta noktaları ABC).
Dar bir üçgende bu nokta üçgenin içinde yer alır; geniş - dışarıda; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında. Orthocenter, ağırlık merkezi, çevrelenmişin merkezi ve yazılı dairenin merkezi sadece bir eşkenar üçgende çakışır.
Pisagor teoremi. Bir dik üçgende, uzunluğun karesiHipotenüs, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
Pisagor teoreminin ispatı açıkça Şekil 31'den gelmektedir. Bir dik üçgen düşünün bacaklar ile ABC bir , b ve hipotenüs C.
Bir kare oluşturalım AKMB hipotenüs kullanarak AB taraf olarak. Daha sonrabir dik üçgenin kenarlarını uzatmak ABC yani bir kare elde etmek için CDEF , kimin tarafı eşittirbir + b .Şimdi bir karenin alanı olduğu açık CDEF ( a+b) 2 . Öte yandan, bu alan toplama eşittir alanlar dört dik üçgen ve kare AKMB , yani
C 2 + 4 (ab / 2) = C 2 + 2 ab,
buradan,
C 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,
ve sonunda elimizde:
C 2 =A 2 +b 2 .
Rastgele bir üçgenin en boy oranı.
Genel durumda (keyfi bir üçgen için):
C 2 =A 2 +b 2 – 2ab· çünkü C,
nerede C - kenarlar arasındaki açıA Ve B .