Bir piramidin yan yüzey alanı nasıl bulunur: formüller, örnek problem. Piramidin S tarafının pov'u olan düzenli bir üçgen piramidin yüzey alanını bulun
Bu derste:
- Problem 1. Piramidin toplam yüzey alanını bulun
- Problem 2. Düzenli üçgen piramidin yan yüzey alanını bulun
.
Not . Burada olmayan bir geometri problemini çözmeniz gerekiyorsa, bunun hakkında forumda yazın. Problemlerde "karekök" sembolü yerine sqrt() fonksiyonu kullanılır; burada sqrt karekök sembolüdür ve radicand ifadesi parantez içinde gösterilir. Basit köklü ifadeler için "√" işareti kullanılabilir.
Sorun 1. Düzenli bir piramidin toplam yüzey alanını bulun
Düzenli üçgen piramidin tabanının yüksekliği 3 cm, yan yüzü ile piramidin tabanı arasındaki açı 45 derecedir.Piramidin toplam yüzey alanını bulun
Çözüm.
Düzenli üçgen piramidin tabanında eşkenar üçgen bulunur.
Bu nedenle sorunu çözmek için normal üçgenin özelliklerini kullanacağız: 
Alanı bulabileceğimiz yerden üçgenin yüksekliğini biliyoruz.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3
Buradan tabanın alanı şuna eşit olacaktır:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3
Yan yüzün alanını bulmak için KM yüksekliğini hesaplıyoruz. Probleme göre OKM açısı 45 derecedir.
Böylece:
Tamam / MK = çünkü 45
Trigonometrik fonksiyonların değer tablosunu kullanalım ve bilinen değerleri yerine koyalım.
Tamam / MK = √2/2
Tamam'ın yazılı dairenin yarıçapına eşit olduğunu dikkate alalım. Daha sonra
Tamam = √3/6a
Tamam = √3/6 * 6/√3 = 1
Daha sonra
Tamam / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2
Yan yüzün alanı daha sonra üçgenin yüksekliğinin ve tabanının çarpımının yarısına eşittir.
Skenar = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6
Böylece piramidin toplam yüzey alanı şuna eşit olacaktır:
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6
Cevap: 3√3 + 18/√6
Sorun 2. Düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulun
Düzgün üçgen piramitte yükseklik 10 cm, taban kenarı ise 16 cm’dir. . Yan yüzey alanını bulun .Çözüm.
Düzenli üçgen piramidin tabanı eşkenar üçgen olduğundan AO, tabanı çevreleyen dairenin yarıçapıdır.
(Bundan sonra gelir)
Eşkenar üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapını özelliklerinden buluruz
Dolayısıyla düzenli bir üçgen piramidin kenarlarının uzunluğu şuna eşit olacaktır:
AM2 = MO2 + AO2
piramidin yüksekliği koşulla bilinir (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)
Piramidin her tarafı ikizkenar üçgendir. Aşağıda sunulan ilk formülden ikizkenar üçgenin alanını buluyoruz 
S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 metrekare((556/3) - 64)
S = 8 metrekare(364/3)
S = 16 metrekare(91/3)
Düzgün bir piramidin üç yüzü de eşit olduğundan yan yüzey alanı şuna eşit olacaktır:
3S = 48 √(91/3)
Cevap: 48 √(91/3)
Problem 3. Düzenli bir piramidin toplam yüzey alanını bulun
Düzgün üçgen piramidin bir kenarı 3 cm olup, yan yüzü ile piramidin tabanı arasındaki açı 45 derecedir. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.
Çözüm.
Piramit düzgün olduğundan tabanında eşkenar üçgen bulunur. Bu nedenle tabanın alanı 
Yani = 9 * √3/4
Yan yüzün alanını bulmak için KM yüksekliğini hesaplıyoruz. Probleme göre OKM açısı 45 derecedir.
Böylece:
Tamam / MK = çünkü 45
Haydi yararlanalım
Silindir, iki paralel düzlem ve silindirik bir yüzeyle sınırlanan geometrik bir cisimdir. Makalede silindirin alanının nasıl bulunacağından bahsedeceğiz ve formülü kullanarak örnek olarak çeşitli problemleri çözeceğiz.
Silindirin üç yüzeyi vardır: üst yüzey, taban ve yan yüzey.
Silindirin üst ve tabanı daire şeklindedir ve tanımlanması kolaydır.
Bir dairenin alanının πr 2'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, iki dairenin alanı için formül (silindirin üst ve tabanı) πr 2 + πr 2 = 2πr 2 olacaktır.
Silindirin üçüncü yan yüzeyi ise silindirin kavisli duvarıdır. Bu yüzeyi daha iyi hayal edebilmek için onu tanınabilir bir şekle dönüştürmeye çalışalım. Silindirin, üst kapağı veya tabanı olmayan sıradan bir teneke kutu olduğunu hayal edin. Kutunun üst kısmından altına doğru yan duvarda dikey bir kesim yapalım (Şekilde 1. Adım) ve ortaya çıkan şekli mümkün olduğu kadar açmaya (düzeltmeye) çalışalım (2. Adım).
Ortaya çıkan kavanoz tamamen açıldıktan sonra tanıdık bir şekil göreceğiz (3. Adım), bu bir dikdörtgendir. Bir dikdörtgenin alanının hesaplanması kolaydır. Ama ondan önce bir anlığına orijinal silindire dönelim. Orijinal silindirin tepe noktası bir dairedir ve çevresinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz: L = 2πr. Şekilde kırmızı renkle işaretlenmiştir.
Silindirin yan duvarı tamamen açıldığında çevrenin ortaya çıkan dikdörtgenin uzunluğuna eşit olduğunu görüyoruz. Bu dikdörtgenin kenarları silindirin çevresi (L = 2πr) ve yüksekliği (h) olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı kenarlarının çarpımına eşittir - S = uzunluk x genişlik = L x h = 2πr x h = 2πrh. Sonuç olarak silindirin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için bir formül aldık.
Bir silindirin yan yüzey alanı formülü
S tarafı = 2πrh
Bir silindirin toplam yüzey alanı
Son olarak, üç yüzeyin de alanını toplarsak silindirin toplam yüzey alanı formülünü elde ederiz. Bir silindirin yüzey alanı, silindirin üst alanı + silindirin taban alanı + silindirin yan yüzeyinin alanına eşittir veya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bazen bu ifade 2πr (r + h) formülüyle aynı şekilde yazılır.
Bir silindirin toplam yüzey alanı formülü
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – silindirin yarıçapı, h – silindirin yüksekliği
Bir silindirin yüzey alanının hesaplanmasına örnekler
Yukarıdaki formülleri anlamak için örnekler kullanarak silindirin yüzey alanını hesaplamaya çalışalım.
1. Silindirin taban yarıçapı 2, yüksekliği 3'tür. Silindirin yan yüzeyinin alanını belirleyin.
Toplam yüzey alanı şu formül kullanılarak hesaplanır: S tarafı. = 2πrh
S tarafı = 2 * 3,14 * 2 * 34,6. Alınan toplam puan: 990.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken öğrencilerin cebir ve geometri bilgilerini sistematikleştirmeleri gerekir. Örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağına dair bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum. Üstelik taban ve yan kenarlardan başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerdeki durum açıksa, bunlar üçgen olduğundan taban her zaman farklıdır.
Piramidin tabanının alanı nasıl bulunur?
Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: rastgele bir üçgenden n-gon'a kadar. Ve bu taban, açı sayısındaki farklılığa ek olarak düzenli bir şekil veya düzensiz bir şekil olabilir. Okul çocuklarını ilgilendiren Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde, temelde yalnızca doğru rakamlara sahip görevler vardır. Bu nedenle sadece onlardan bahsedeceğiz.
Düzenli üçgen
Yani eşkenar. Tüm kenarları eşit olan ve “a” harfiyle gösterilen. Bu durumda piramidin tabanının alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:
S = (a 2 * √3) / 4.
Kare
Alanını hesaplama formülü en basitidir, burada “a” yine kenardır:
Keyfi düzenli n-gon
Bir çokgenin kenarı aynı gösterime sahiptir. Açı sayısı için Latin harfi n kullanılır.
S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).
Yanal ve toplam yüzey alanı hesaplanırken ne yapılmalı?
Taban düzgün bir şekil olduğundan piramidin tüm yüzleri eşittir. Üstelik yan kenarları eşit olduğundan her biri ikizkenar üçgendir. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aynı tek terimlilerin toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız olacak. Terim sayısı tabanın kenar sayısına göre belirlenir.
Bir ikizkenar üçgenin alanı, taban ürününün yarısının yükseklik ile çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramidin bu yüksekliğine apothem denir. Tanımı “A”dır. Yan yüzey alanı için genel formül:
S = ½ P*A, burada P piramidin tabanının çevresidir.
Tabanın kenarlarının bilinmediği ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:
S = n/2 * in 2 sin α .
Görev No.1
Durum. Tabanının kenarı 4 cm ve özdeyişin değeri √3 cm ise piramidin toplam alanını bulun.
Çözüm. Tabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu normal bir üçgen olduğundan P = 3*4 = 12 cm.Özlem bilindiğinden tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabiliriz: ½*12*√3 = 6√3 cm2.
Tabandaki üçgen için şu alan değerini elde edersiniz: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm2.
Alanın tamamını belirlemek için sonuçta ortaya çıkan iki değeri eklemeniz gerekecektir: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.
Cevap. 10√3 cm2.
Sorun No. 2
Durum. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban tarafının uzunluğu 7 mm, yan kenar 16 mm'dir. Yüzey alanını bulmak gerekir.
Çözüm.Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan tabanı karedir. Tabanın ve yan yüzlerin alanını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplayabileceksiniz. Karenin formülü yukarıda verilmiştir. Yan yüzler için ise üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.
İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm2. İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Artık ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm2. Bu tür üçgenlerden yalnızca dört tane var, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekecek.
Görünüşe göre: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm2.
Cevap. İstenilen değer 267.576 mm2’dir.
Sorun No. 3
Durum. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. Karenin kenar uzunluğu 6 cm, yüksekliği ise 4 cm olarak bilinmektedir.
Çözüm. En kolay yol, formülü çevre ve apothem çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi ise biraz daha karmaşık.
Pisagor teoremini hatırlamamız ve bunun piramidin yüksekliği ve hipotenüs olan apotem tarafından oluşturulduğunu dikkate almamız gerekecek. İkinci bacak, polihedronun yüksekliği ortasına düştüğü için karenin kenarının yarısına eşittir.
Gerekli özdeyiş (bir dik üçgenin hipotenüsü) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm)'ye eşittir.
Artık gerekli değeri hesaplayabilirsiniz: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).
Cevap. 96 cm2.
Sorun No. 4
Durum. Doğru tarafı verilmiştir.Tabanının yanları 22 mm, yan kenarları 61 mm'dir. Bu çokyüzlünün yan yüzey alanı nedir?
Çözüm. Buradaki mantık, 2 numaralı görevde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında kare olan bir piramit verildi ve şimdi altıgen oldu.
Öncelikle taban alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm2.
Şimdi yan yüz olan ikizkenar üçgenin yarı çevresini bulmanız gerekiyor. (22+61*2):2 = 72 cm Geriye Heron formülünü kullanarak her bir üçgenin alanını hesaplamak ve bunu altıyla çarpıp taban için elde edilen değere eklemek kalıyor.
Heron formülü kullanılarak yapılan hesaplamalar: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm2. Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 660*6 = 3960 cm2. Tüm yüzeyi bulmak için bunları toplamaya devam ediyor: 5217,47≈5217 cm2.
Cevap. Taban 726√3 cm2, yan yüzey 3960 cm2, tüm alan 5217 cm2’dir.
Düzenli bir üçgen piramitte SABC R- kaburganın ortası AB, S- tepe.
biliniyor ki SR = 6 ve yan yüzey alanı eşittir 36
.
Segmentin uzunluğunu bulun M.Ö..
Bir çizim yapalım. Düzenli bir piramitte yan yüzler ikizkenar üçgenlerdir.
Çizgi segmenti S.R.- refüj tabana indirildi ve dolayısıyla yan yüzün yüksekliği.
Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanı, alanların toplamına eşittir
üç eşit yan yüz S tarafı = 3S ABS. Buradan ABS = 36: 3 = 12- yüzün alanı.
Bir üçgenin alanı taban ve yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir
S ABS = 0,5 AB SR. Alanı ve yüksekliği bilerek tabanın kenarını buluyoruz AB = BC.
12 = 0,5 AB 6
12 = 3 AB
AB = 4
Cevap: 4
Soruna diğer taraftan yaklaşabilirsiniz. Taban tarafı olsun AB = BC = bir.
Daha sonra yüzün alanı S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.
Üç yüzün her birinin alanı eşittir 3 Aüç yüzün alanı eşittir 9a.
Problemin koşullarına göre piramidin yan yüzeyinin alanı 36'dır.
S tarafı = 9a = 36.
Buradan bir = 4.
Rastgele bir piramidin yan yüzeyinin alanı, yan yüzlerinin alanlarının toplamına eşittir. Düzenli bir piramit durumunda bu alanı ifade etmek için özel bir formül vermek mantıklıdır. O halde bize, tabanında kenarı a'ya eşit olan düzgün bir n-gon bulunan düzenli bir piramit verilsin. Yan yüzün yüksekliği h olsun, buna da denir özlü söz piramitler. Bir yan yüzün alanı 1/2ah'a eşittir ve piramidin tüm yan yüzeyi n/2ha'ya eşit bir alana sahiptir.Na, piramidin tabanının çevresi olduğundan, bulunan formülü yazabiliriz. şeklinde:
Yan yüzey alanı Düzenli bir piramidin uzunluğu, kısa kenarının çarpımı ile tabanın çevresinin yarısına eşittir.
İlişkin toplam yüzey alanı, sonra tabanın alanını yan tarafa ekleriz.
Yazılı ve çevrelenmiş küre ve küre. Piramite yazılan kürenin merkezinin, piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemlerinin kesişme noktasında yer aldığına dikkat edilmelidir. Piramidin yakınında tarif edilen kürenin merkezi, piramidin kenarlarının orta noktalarından geçen ve onlara dik olan düzlemlerin kesişiminde yer alır.
Kesilmiş piramit. Bir piramit tabanına paralel bir düzlemle kesilirse, kesme düzlemi ile taban arasında kalan kısma denir. kesik piramit.Şekilde bir piramit gösterilmektedir; kesme düzleminin üzerinde bulunan kısmını atarak kesik bir piramit elde ederiz. Atılan küçük piramidin, homotetiklik merkezinin tepede olduğu büyük piramitle homotetik olduğu açıktır. Benzerlik katsayısı, yüksekliklerin oranına eşittir: k=h 2 /h 1 veya yan kenarlar veya her iki piramidin karşılık gelen diğer doğrusal boyutları. Benzer şekillerin alanlarının doğrusal boyutlu kareler gibi ilişkili olduğunu biliyoruz; yani her iki piramidin tabanlarının alanları (yani kesik piramidin tabanlarının alanı) şu şekilde ilişkilidir:
Burada S 1 alt tabanın alanı, S 2 ise kesik piramidin üst tabanının alanıdır. Piramitlerin yan yüzeyleri de aynı ilişki içindedir. Hacimler için de benzer bir kural mevcuttur.
Benzer cisimlerin hacimleri doğrusal boyutlarının küpleri gibi ilişkilidir; örneğin piramitlerin hacimleri, yükseklikleri ile taban alanlarının çarpımı olarak ilişkilidir ve buradan kuralımızın hemen elde edilmesi mümkündür. Tamamen genel niteliktedir ve hacmin her zaman uzunluğun üçüncü kuvveti boyutunda bir boyuta sahip olması gerçeğinden doğrudan kaynaklanır. Bu kuralı kullanarak, kesik bir piramidin hacmini tabanların yüksekliği ve alanı boyunca ifade eden bir formül elde ederiz.
Yüksekliği h ve taban alanları S 1 ve S 2 olan kesik bir piramit verilsin. Tam bir piramite kadar uzatıldığını hayal edersek, tam piramit ile küçük piramit arasındaki benzerlik katsayısı, S 2 /S 1 oranının kökü olarak kolaylıkla bulunabilir. Kesik bir piramidin yüksekliği h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) olarak ifade edilir. Şimdi kesik bir piramidin hacmini bulduk (V 1 ve V 2, tam ve küçük piramitlerin hacimlerini belirtir)
kesik piramidin hacmi formülü
Tabanların P 1 ve P 2 çevreleri ve apothem uzunluğu boyunca düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin S alanı için formülü türetelim. Hacim formülünü türetirken olduğu gibi aynı şekilde akıl yürütürüz. Piramidi üst kısımla tamamlıyoruz, P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, burada k benzerlik katsayısı, P 1 ve P 2 tabanların çevreleridir ve S 1 ve S 2 ortaya çıkan piramidin tamamının yan yüzeylerinin alanları ve buna göre üst kısmıdır. Yan yüzey için bulduğumuz (a 1 ve a 2 piramitlerin özleridir, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))
düzenli kesik piramidin yan yüzey alanı formülü
