Harmonik doğrusallaştırma. Harmonik doğrusallaştırma yöntemi: Laboratuvar çalışması yönergeleri Kendi kendine salınımlı matlab'ın harmonik doğrusallaştırma yöntemi

Harmonik doğrusallaştırma yönteminin amacı.

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi fikri 1934'te önerildi. N. M. Krylov ve N. N. Bogolyubov. Otomatik kontrol sistemleriyle ilgili olarak bu yöntem L. S. Goldfarb ve E. P. Popov tarafından geliştirilmiştir. Bu yöntemin ve modifikasyonlarının diğer adları, harmonik denge yöntemi, fonksiyonları tanımlama yöntemi ve eşdeğer doğrusallaştırma yöntemidir.

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi, kendi kendine salınımları incelemek için bir yöntemdir. Doğrusal olmayan sistemlerde olası kendi kendine salınımların varoluş koşullarını ve parametrelerini belirlemenizi sağlar.

Kendi kendine salınım parametrelerinin bilgisi, sistemdeki olası süreçlerin bir resmini sunmamıza ve özellikle kararlılık koşullarını belirlememize olanak tanır. Örneğin, doğrusal olmayan bir sistemdeki öz salınımları incelemenin bir sonucu olarak, bu öz salınımların genliğine bağımlılığını elde ettiğimizi varsayalım. A iletim katsayısından kŞekil 12.1'de gösterilen sistemin doğrusal kısmı ve öz salınımların kararlı olduğunu biliyoruz.

Grafikten, iletim katsayısının büyük bir değeri ile şunu takip eder: k, Ne zaman k > k kr, sistemde kendi kendine salınımlar var. İletim katsayısı azaldıkça genlikleri sıfıra düşer könce k cr. Şekil 12.1'de oklar geleneksel olarak geçici süreçlerin doğasını farklı değerlerde göstermektedir. k: saat k > kİlk sapmanın neden olduğu geçici süreç kendi kendine salınımlara dönüşür. Şekilden açıkça görülüyor ki, ne zaman k< k cr, sistemin kararlı olduğu ortaya çıkıyor. Böylece, k kr stabilite durumuna göre iletim katsayısının kritik değeridir. Bunun aşılması, sistemin başlangıç \u200b\u200bmodunun kararsız hale gelmesine ve içinde kendi kendine salınımların ortaya çıkmasına neden olur. Sonuç olarak, sistemdeki kendi kendine salınımların varlığına ilişkin koşulların bilgisi, kararlılık koşullarını belirlememize olanak tanır.

Harmonik doğrusallaştırma fikri.

Diyagramı Şekil 12.2'de gösterilen doğrusal olmayan bir sistemi ele alalım ve . Sistem transfer fonksiyonu W l ( olan doğrusal bir parçadan oluşur. S) ve doğrusal olmayan bağlantı Hollanda belirli bir özelliğe sahip . -1 katsayısına sahip bir bağlantı, sistemdeki geri bildirimin olumsuz olduğunu gösterir. Sistemde genliğini ve frekansını bulmak istediğimiz kendi kendine salınımların olduğuna inanıyoruz. Dikkate alınan modda, giriş miktarı X doğrusal olmayan bağlantı ve çıktı e zamanın periyodik fonksiyonlarıdır.

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi, doğrusal olmayan bağlantının girişindeki salınımların sinüzoidal olduğu varsayımına dayanmaktadır; e.bu

, (12.1)

NeredeA– genlik ve bu öz salınımların frekansıdır ve öz salınımların asimetrik olduğu genel durumda olası bir sabit bileşendir.

Gerçekte, doğrusal olmayan sistemlerdeki öz salınımlar, şekillerinin doğrusal olmayan eleman tarafından bozulması nedeniyle her zaman sinüsoidal değildir. Bu nedenle, belirtilen başlangıç varsayımı, harmonik doğrusallaştırma yönteminin şu şekilde olduğu anlamına gelir: temelde yakın ve uygulamasının kapsamı, doğrusal olmayan bir bağlantının girişindeki öz salınımların sinüzoidale oldukça yakın olduğu durumlarla sınırlıdır. Bunun gerçekleşebilmesi için sistemin lineer kısmının kendi kendine salınımların daha yüksek harmoniklerinin geçmesine izin vermemesi gerekir; alçak geçiş filtresi. Sonuncusu Şekil 2'de gösterilmektedir. 12.2, b . Örneğin, kendi kendine salınımların frekansı eşitse, o zaman Şekil 2'de gösterilen doğrusal kısımdır. 12.2, b Frekans tepkisi bu salınımlar için alçak geçişli filtre rolünü oynayacaktır, çünkü frekansı 2'ye eşit olan ikinci harmonik pratik olarak doğrusal olmayan bağlantının girişine geçmeyecektir. Dolayısıyla bu durumda harmonik doğrusallaştırma yöntemi uygulanabilir.

Kendi kendine salınımların frekansı eşitse doğrusal kısım, kendi kendine salınımın ikinci, üçüncü ve diğer harmoniklerini serbestçe geçecektir. Bu durumda doğrusal olmayan bağlantının girişindeki salınımların sinüzoidale oldukça yakın olacağı söylenemez. Harmonik doğrusallaştırma yöntemini uygulamak için gerekli ön koşul karşılanmamıştır.

Sistemin doğrusal kısmının alçak geçiren filtre olup olmadığının ve dolayısıyla harmonik doğrusallaştırma yönteminin uygulanabilirliğinin belirlenmesi için öz salınımların frekansının bilinmesi gerekmektedir. Ancak ancak bu yöntemle bilinebilir. Böylece, Harmonik doğrusallaştırma yönteminin uygulanabilirliği çalışma sonunda test olarak belirlenmelidir.

Bu test sonucunda sistemin doğrusal kısmının alçak geçiren filtre rolü oynadığı hipotezi doğrulanmazsa, bu, elde edilen sonuçların yanlış olduğu anlamına gelmediğini belirtelim, ancak elbette , onlara şüphe düşürüyor ve bir şekilde ek doğrulama gerektiriyor, başka bir yöntem.

Dolayısıyla, sistemin doğrusal kısmının alçak geçiren bir filtre olduğunu varsayarak, doğrusal olmayan bağlantının girişindeki öz salınımların sinüzoidal olduğunu, yani (12.1) formuna sahip olduklarını varsayıyoruz. Bu bağlantının çıkışındaki salınımlar, doğrusal olmama nedeniyle bozulmaları nedeniyle artık sinüzoidal olmayacaktır. Örnek olarak Şekil 2'de yer almaktadır. Şekil 12.3'te, burada verilen bağlantı karakteristiğine göre tamamen sinüzoidal giriş sinyalinin belirli bir genliği için doğrusal olmayan bağlantının çıkışında bir eğri çizilir.

Şekil 12.3. Doğrusal olmayan bir bağlantı üzerinden harmonik bir salınımın geçişi.

Ancak sistemin doğrusal kısmının yalnızca öz salınımların temel harmoniğinin geçtiğine inandığımız için, doğrusal olmayan bağlantının çıkışındaki yalnızca bu harmonikle ilgilenmek mantıklıdır. Bu nedenle çıkış salınımlarını Fourier serisine genişleteceğiz ve daha yüksek harmonikleri atacağız. Sonuç olarak şunu elde ederiz:

;

; (12.3)

;

(12.2) ifadesini daha sonraki kullanım için daha uygun bir biçimde yeniden yazalım, bunun yerine (12.1)'den elde edilen aşağıdaki ifadeleri koyalım:

Bu ifadeleri (12.2)'de yerine koyarsak:

(12.4)

. (12.5)

Burada aşağıdaki gösterimler tanıtılmıştır:

. (12.6)

Diferansiyel denklem (12.5), sinüzoidal bir giriş sinyali (12.1) için geçerlidir ve daha yüksek harmonikleri hesaba katmadan doğrusal olmayan bağlantının çıkış sinyalini belirler.

Fourier katsayıları için ifadeler (12.3)'e uygun katsayılar, sabit bileşen olan genliğin fonksiyonlarıdır. A ve doğrusal olmayan bağlantının girişindeki kendi kendine salınımların frekansı. Sabit olarak A ve denklem (12.5) doğrusaldır. Dolayısıyla, daha yüksek harmonikleri göz ardı edersek, sabit bir harmonik sinyal için orijinal doğrusal olmayan bağlantı, denklem (12.5) ile açıklanan eşdeğer bir doğrusal bağlantıyla değiştirilebilir. Bu değiştirme denir harmonik doğrusallaştırma .

İncirde. Şekil 12.4 geleneksel olarak iki paralel bağlantıdan oluşan bu bağlantının bir diyagramını göstermektedir.

Pirinç. 12.4. Harmonik doğrusallaştırma sonucunda elde edilen eşdeğer doğrusal eleman.

Bir bağlantı () sabit bileşeni, diğeri ise yalnızca kendi kendine salınımın sinüzoidal bileşenini geçer.

Katsayılar denir harmonik doğrusallaştırma katsayıları veya harmonik transfer katsayıları: - sabit bileşenin iletim katsayısı ve - öz salınımın sinüzoidal bileşeninin iki iletim katsayısı. Bu katsayılar doğrusal olmama ve değerlere göre ve formüllere (12.3) göre belirlenir. Bir dizi tipik doğrusal olmayan bağlantı için bu formüller kullanılarak tanımlanan hazır ifadeler vardır. Bunlar ve genel olarak tüm ataletsiz doğrusal olmayan bağlantılar için, nicelikler genliğe bağlı değildir ve yalnızca genliğin fonksiyonudur A Ve .

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Saratov Devlet Teknik Üniversitesi

Balakovo Mühendislik, Teknoloji ve Yönetim Enstitüsü

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi

Uzmanlık öğrencileri için “Otomatik Kontrol Teorisi” dersinde laboratuvar çalışması yönergeleri 210100

Onaylı

yazı işleri ve yayın konseyi

Balakovo Teknoloji Enstitüsü,

teknoloji ve yönetim

Balakovo 2004

Çalışmanın amacı: Doğrusal olmayan sistemlerin harmonik doğrusallaştırma (harmonik denge) yöntemi kullanılarak incelenmesi, çeşitli doğrusal olmayan bağlantılar için harmonik doğrusallaştırma katsayılarının belirlenmesi. Sabit genlik ve frekansa sahip simetrik salınımların (kendi kendine salınımlar) parametrelerini cebirsel frekans yöntemlerini kullanarak ve ayrıca Mikhailov kriterini kullanarak bulma becerisi kazanmak.

TEMEL BİLGİLER

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi, doğrusal olmayan sistemleri incelemek için yaklaşık yöntemleri ifade eder. Doğrusal olmayan sistemlerin kararlılığının oldukça basit ve kabul edilebilir bir doğrulukla değerlendirilmesine ve sistemde oluşturulan salınımların frekansının ve genliğinin belirlenmesine olanak tanır.

İncelenen doğrusal olmayan ACS'nin aşağıdaki biçimde temsil edilebileceği varsayılmaktadır.

ve doğrusal olmayan kısmın bir doğrusal olmayan özelliği olmalıdır

Bu doğrusal olmama sürekli veya röleli, tek değerli veya histeretik olabilir.

Herhangi bir fonksiyon veya sinyal, doğrusal olarak bağımsız bir sisteme, özel bir durumda ortonormal fonksiyonlara göre bir seriye genişletilebilir. Fourier serisi böyle bir dik seri olarak kullanılabilir.

Sistemin doğrusal olmayan kısmının çıkış sinyalini Fourier serisine genişletelim

, (2)

burada Fourier katsayıları var,

. (3)

Böylece (2)'ye göre sinyal, artan frekanslara sahip sonsuz harmonik toplamı olarak temsil edilebilir. vb. Bu sinyal, doğrusal olmayan sistemin doğrusal kısmının girişine verilir.

Doğrusal kısmın transfer fonksiyonunu gösterelim

, (4)

ve pay polinomunun derecesi payda polinomunun derecesinden küçük olmalıdır. Bu durumda doğrusal kısmın frekans tepkisi şu şekildedir:

burada 1 - kutup yoktur, 2 - kutup veya kutup vardır.

Frekans yanıtı için şunu yazmak doğru olacaktır:

Dolayısıyla doğrusal olmayan bir sistemin doğrusal kısmı yüksek geçişli bir filtredir. Bu durumda doğrusal kısım zayıflama olmadan yalnızca düşük frekansları iletecek, yüksek frekanslar ise frekans arttıkça önemli ölçüde zayıflayacaktır.

Harmonik doğrusallaştırma yönteminde sistemin doğrusal kısmının sinyalin yalnızca DC bileşenini ve birinci harmoniği geçeceği varsayımı yapılır. Daha sonra doğrusal kısmın çıkışındaki sinyal şu şekilde olacaktır:

Bu sinyal, Şekil 1'deki sistemin tüm kapalı devresinden ve (2)'ye göre daha yüksek harmonikleri hesaba katmadan doğrusal olmayan elemanın çıkışından geçer.

. (7)

Harmonik doğrusallaştırma yöntemini kullanarak doğrusal olmayan sistemleri incelerken simetrik ve asimetrik salınım durumları mümkündür. Simetrik salınımlar durumunu ele alalım. Burada ve.

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım

Bunları (7)'de yerine koyarsak, şunu elde ederiz: (8)

Hesaba katıldığında

. (9)

(3) ve (8)'e göre ne zaman

. (10)

İfade (9), doğrusal olmamanın harmonik doğrusallaştırılmasıdır; giriş değişkeni ile çıkış değişkeni arasında doğrusal bir ilişki kurar. Büyüklüklere harmonik doğrusallaştırma katsayıları denir.

Denklem (9)'un belirli büyüklükler ve (sistemdeki harmonik salınımların genliği ve frekansı) için doğrusal olduğuna dikkat edilmelidir. Ancak genel olarak, katsayılar farklı ve için farklı olduğundan doğrusal olmayan özellikleri korur. Bu özellik, harmonik doğrusallaştırma yöntemini [Popov E.P.] kullanarak doğrusal olmayan sistemlerin özelliklerini incelememize olanak tanır.

Asimetrik salınımlar durumunda, doğrusal olmamanın harmonik doğrusallaştırılması doğrusal denkleme yol açar

. (12)

Tıpkı denklem (9) gibi, doğrusallaştırılmış denklem (11) de doğrusal olmayan bir elemanın özelliklerini korur, çünkü harmonik doğrusallaştırma katsayıları ve sabit bileşen, harmonik salınımların hem yer değiştirmesine hem de genliğine bağlıdır.

Denklemler (9) ve (11), harmonik olarak doğrusallaştırılmış doğrusal olmayan elemanların transfer fonksiyonlarını elde etmemizi sağlar. Simetrik titreşimler için

, (13)

bu durumda frekans transfer fonksiyonu

yalnızca genliğe bağlıdır ve sistemdeki salınımların frekansına bağlı değildir.

Tek simetrik doğrusal olmama durumu açıksa, (9) ve (10)'a göre simetrik salınımlar durumunda şunu elde ettiğimize dikkat edilmelidir: (15)

(16)

ve doğrusallaştırılmış doğrusal olmama biçimi şu şekildedir:

Belirsiz doğrusal olmayan durumlar için (histerezisli), eğrinin artan ve azalan davranışındaki farklılıktan dolayı ifade (16)'daki integral sıfıra eşit değildir, dolayısıyla tam ifade (9) geçerlidir.

Bazı doğrusal olmayan özellikler için harmonik doğrusallaştırma katsayılarını bulalım. Doğrusal olmayan karakteristik, histerezisli ve ölü bölgeli bir röle karakteristiği şeklinde olsun. Böyle bir karakteristiğe sahip doğrusal olmayan bir elemandan harmonik salınımların nasıl geçtiğini düşünelim.



Koşul karşılanırsa, yani giriş sinyalinin genliği ölü bölgeden küçükse, doğrusal olmayan elemanın çıkışında sinyal yoktur. Genlik ise röle A, B, C ve D noktalarında anahtarlama yapar. ve ile gösterelim.

. (18)

Harmonik doğrusallaştırma katsayılarını hesaplarken, simetrik doğrusal olmayan özelliklerde, ifadelerdeki (10) integrallerin yarım döngüde (0, ) olduğu ve sonucun daha sonra iki katına çıktığı akılda tutulmalıdır. Böylece

. (19)

Röle karakteristiğine ve ölü bölgeye sahip doğrusal olmayan bir eleman için

Histerezisli röle karakteristiğine sahip doğrusal olmayan bir eleman için

Diğer doğrusal olmayan özellikler için harmonik doğrusallaştırma katsayıları benzer şekilde elde edilebilir.

Sabit genlik ve frekansın simetrik salınımlarını (kendi kendine salınımlar) ve doğrusallaştırılmış sistemlerin kararlılığını belirlemenin iki yolunu ele alalım: cebirsel ve frekans. Önce cebirsel yönteme bakalım. Şekil 1'deki kapalı sistem için doğrusal kısmın transfer fonksiyonu şuna eşittir:

Doğrusal olmayan parçanın harmonik olarak doğrusallaştırılmış transfer fonksiyonunu yazalım

Kapalı döngü sisteminin karakteristik denklemi şu şekildedir:

. (22)

İncelenen sistemde kendi kendine salınımlar meydana gelirse, bu, karakteristik denkleminde tamamen hayali iki kökün varlığını gösterir. Bu nedenle kök değerini karakteristik denklem (22)'de yerine koyalım.

. (23)

Hayal edelim

İstenilen genliği ve frekansı belirleyen iki denklem elde ederiz

. (24)

Çözümde gerçek pozitif genlik ve frekans değerleri mümkünse, sistemde kendi kendine salınımlar meydana gelebilir. Genlik ve frekans pozitif değerlere sahip değilse, sistemdeki kendi kendine salınımlar imkansızdır.

Örnek 1'i ele alalım. İncelenen doğrusal olmayan sistemin şu şekilde olmasına izin verin:

Bu örnekte doğrusal olmayan eleman, harmonik doğrusallaştırma katsayılarının geçerli olduğu röle karakteristiğine sahip bir algılama elemanıdır.

Aktüatörün şu şekilde bir transfer fonksiyonu vardır:

Düzenlenen nesnenin transfer fonksiyonu eşittir

. (27)

Sistemin doğrusal kısmının transfer fonksiyonu

, (28)

(22), (25) ve (28)'e dayanarak kapalı sistemin karakteristik denklemini yazıyoruz

, (29)

1/sn, sn, sn, v olsun.

Bu durumda periyodik hareketin parametreleri eşittir.

7,071 ,

Mikhailov kriterini kullanarak doğrusallaştırılmış bir otomatik kontrol sisteminde kendi kendine salınım parametrelerini belirlemek için bir yöntem düşünelim. Yöntem, kendi kendine salınımlar meydana geldiğinde sistemin kararlılık sınırında olacağı ve bu durumda Mihaylov'un hodografının koordinatların orijininden geçeceği gerçeğine dayanmaktadır.

Örnek 2'de, Şekil 4'teki sistemdeki doğrusal olmayan elemanın, harmonik doğrusallaştırma katsayılarının geçerli olduğu, histerezisli bir röle karakteristiğine sahip hassas bir eleman olması koşuluyla kendi kendine salınım parametrelerini bulacağız.

Doğrusal kısım değişmeden kaldı.

Kapalı sistemin karakteristik denklemini yazalım

Mihaylov'un hodografı değiştirilerek elde edilir.

Görev, hodografın koordinatların kökeninden geçeceği salınımların genliğini seçmektir. Bu durumda akım frekansının olduğuna dikkat edilmelidir, çünkü bu durumda eğri orijinden geçecektir.

MATHCAD 7'de 1/sn, sn, sn, v ve v hızlarında yapılan hesaplamalar aşağıdaki sonuçları verdi. Şekil 5'te Mihaylov'un hodografı koordinatların orijininden geçmektedir. Hesaplamaların doğruluğunu artırmak için grafiğin gerekli parçasını büyüteceğiz. Şekil 6 hodografın orijine yakın büyütülmüş bir parçasını göstermektedir. Eğri c noktasında orijinden geçer.

Şekil 5. Şekil 6.

Salınım frekansı, modülün sıfıra eşit olması koşulundan bulunabilir. Frekanslar için

modül değerleri tablolaştırılmıştır

Böylece salınım frekansı 6,38 olur. Hesaplamaların doğruluğunun kolaylıkla artırılabileceği unutulmamalıdır.

Genlik ve frekans değerlerine göre belirlenen ortaya çıkan periyodik çözümün kararlılık açısından incelenmesi gerekir. Çözüm kararlıysa, sistemde kendi kendine salınan bir süreç (kararlı limit döngüsü) gerçekleşir. Aksi takdirde limit döngüsü kararsız olacaktır.

Periyodik bir çözümün kararlılığını incelemenin en kolay yolu, Mikhailov kararlılık kriterini grafiksel biçimde kullanmaktır. Mihaylov eğrisinin koordinatların orijininden geçtiği bulundu. Küçük bir artış verirseniz eğri ya sıfırın üstünde ya da altında konumlanacaktır. Yani son örnekte bir artış vereceğiz, yani ve. Mikhailov eğrilerinin konumu Şekil 7'de gösterilmektedir.

Eğrinin sıfırın üzerine çıkması sistemin kararlılığını ve sönümlü bir geçiş sürecini gösterir. Mikhailov eğrisi sıfırın altına düştüğünde sistem kararsızdır ve geçiş süreci ıraksaktır. Böylece genliği ve salınım frekansı 6,38 olan periyodik bir çözüm kararlıdır.

Periyodik bir çözümün kararlılığını incelemek için grafiksel Mikhailov kriterinden elde edilen analitik bir kriter de kullanılabilir. Nitekim Mikhailov eğrisinin sıfırın üzerindeyken gidip gitmeyeceğini öğrenmek için, Mikhailov eğrisinin koordinatların orijininde bulunan noktasının nereye hareket edeceğine bakmak yeterlidir.

Bu noktanın yer değiştirmesini X ve Y koordinat eksenleri boyunca genişletirsek, periyodik bir çözümün kararlılığı için, koordinat eksenlerine yapılan projeksiyonlarla belirlenen vektör

yönü projeksiyonlarla belirlenen eğri boyunca artış yönünde bakıldığında, MN'nin Mikhailov eğrisine teğet sağında bulunmalıdır.

Analitik kararlılık koşulunu aşağıdaki formda yazıyoruz

Bu ifadede Mikhailov eğrisinin mevcut parametresine göre kısmi türevler alınmıştır.

Stabilite kriterinin (31) analitik ifadesinin yalnızca dördüncü dereceden yüksek olmayan sistemler için geçerli olduğuna dikkat edilmelidir, çünkü örneğin koordinatların kökenindeki beşinci dereceden bir sistem için koşul (31) şu şekilde ifade edilebilir: tatmin olur ve sistem kararsız olur

Örnek 1'de elde edilen periyodik çözümün stabilitesini incelemek için (31) kriterini uygulayalım.

, ,

giriiş

Otomatik kontrol uygulamasında röle sistemleri yaygınlaşmıştır. Röle sistemlerinin avantajı tasarım basitliği, güvenilirliği, bakım ve konfigürasyon kolaylığıdır. Röle sistemleri, doğrusal olmayan otomatik kontrol sistemlerinin özel bir sınıfını temsil eder.

Röle sistemlerindeki sürekli olanlardan farklı olarak, röle kontrol sinyali (çoğunlukla bu bir kontrol hatasıdır) bazı sabit (eşik) değerlerden, örneğin sıfırdan geçtiğinde düzenleyici eylem aniden değişir.

Röle sistemleri, kural olarak, içlerindeki kontrol eyleminin neredeyse anında değişmesi ve aktüatörün parça halinde sabit bir maksimum genlik sinyaline maruz kalması nedeniyle yüksek performansa sahiptir. Aynı zamanda röle sistemlerinde sıklıkla kendi kendine salınımlar meydana gelir ve bu çoğu durumda bir dezavantajdır. Bu makalede dört farklı kontrol kanununa sahip bir röle sistemi incelenmiştir.

İncelenen sistemin yapısı

İncelenen sistem (Şekil) 1, bir karşılaştırma elemanı ES, bir röle elemanı RE, bir aktüatör (kazanç = 1 olan ideal entegratör), bir kontrol nesnesi (üç zaman sabiti , ve kazanç ile periyodik olmayan bir bağlantı) içerir. Sistem parametrelerinin değerleri tabloda verilmiştir. 1 Ek A.

İncelenen röle elemanlarının statik özellikleri (giriş-çıkış özellikleri) Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.

İncirde. Şekil 2a, ideal bir iki konumlu rölenin özelliklerini göstermektedir, Şekil 2. Ölü bölgeli üç konumlu bir rölenin 2b karakteristiği. İncirde. Şekil 2,c ve 2,d sırasıyla pozitif ve negatif histerezisli iki konumlu bir rölenin özelliklerini göstermektedir.

Araştırılan ASR, SIAM veya VisSim gibi iyi bilinen modelleme paketleri kullanılarak modellenebilir.

Yorum. Bazı simülasyon paketlerinde çıktı değeri

röle sinyali ±B yerine yalnızca ±1 değerlerini alabilir; burada B isteğe bağlı bir sayıdır. Bu gibi durumlarda entegratör kazancını eşit almak gerekir.

İş emri

Çalışmayı tamamlamak için her öğrenci öğretmenden başlangıç verilerinin bir versiyonunu alır (bkz. Bölüm 2).

Çalışma iki aşamada gerçekleştirilmektedir.

İlk aşama hesaplamalı ve araştırmadır (laboratuvar dışında yapılabilir).

İkinci aşama deneyseldir (laboratuvarda gerçekleştirilir). Bu aşamada paketlerden biri kullanılarak, ilk aşamada hesaplanan modlar için incelenen sistemdeki geçici süreçler simüle edilir ve teorik yöntemlerin doğruluğu kontrol edilir.

Gerekli teorik materyal 4. bölümde sunulmaktadır; Bölüm 5'te test soruları yer almaktadır.

3.1. Hesaplama ve araştırma kısmı

1. Sistemin doğrusal kısmının genlik-frekans ve faz-frekans, gerçek ve sanal karakteristikleri için ifadeler elde edebilecektir.

2. Sistemin doğrusal kısmının genlik-faz karakteristiğini hesaplayın ve oluşturun. Hesaplamalar için TAU paketindeki programları kullanın. mutlaka gerçek ve sanal frekans yanıtı değerlerini yazdırın(10 – 15 puana karşılık gelir üçüncü ve ikinciçeyrekler).

4. Goldfarb'ın grafik-analitik yöntemini kullanarak, dört rölenin tamamı için öz salınımların genliğini ve frekansını ve bunların kararlılığını belirleyin. Kendi kendine salınımların parametreleri analitik olarak da hesaplanabilir. Her durum için sistemin faz portresini niteliksel olarak tasvir edin.

5. Üç konumlu bir röle için, öz salınımın olmadığı doğrusal kısmın kazancının bir değerini ve öz salınımın başarısız olduğu sınır değerini belirleyin.

deneysel bölüm

1. Mevcut modelleme paketlerinden birini kullanarak, incelenen ASR için bir modelleme şeması oluşturun. Öğretmenin izniyle hazır bir diyagram kullanabilirsiniz. Devre parametrelerini göreve uygun olarak yapılandırın.

2. Girişe x(t)=40*1(t) adım adım hareketini uygulayarak, ideal röleli bir sistemdeki geçici süreci inceleyin (yazdırın). Kendi kendine salınımların genliğini ve sıklığını hesaplanan değerlerle karşılaştırarak ölçün. Sıfır olmayan başlangıç koşullarını (örneğin, y(0)=10, y(1) (0)=-5) ayarlayarak deneyi tekrarlayın.

3. Giriş sinyali genliğinin x(t)= 40*1(t) ve x(t)=15*1(t) olmak üzere iki farklı değeri için üç konumlu röleye sahip bir sistemde geçici süreci inceleyin. Geçici süreçleri yazdırın, kendi kendine salınımların genliğini ve sıklığını ölçün (varsa), bunları hesaplanan değerlerle karşılaştırın ve sonuçlar çıkarın.

4. Doğrusal kısmın kazancının diğer değerleri için üç konumlu röleye sahip bir sistemdeki geçici süreçleri araştırın (bkz. paragraf 5, bölüm 3.1).

5. Sıfır ve sıfırdan farklı başlangıç koşulları altında ve x(t)=40*1(t) altında histerezisli iki konumlu rölelerin bulunduğu bir sistemdeki geçici süreçleri inceleyin. Geçici süreçleri yazdırın, kendi kendine salınımların genliğini ve sıklığını ölçün (varsa), bunları hesaplanan değerlerle karşılaştırın ve sonuçlar çıkarın.

Teorik kısım

Doğrusal olmayan sistemleri hesaplamak için yaygın olarak kullanılan bir yöntem, harmonik doğrusallaştırma yöntemidir (fonksiyonları tanımlar).

Yöntem, kendi kendine salınım parametrelerini (genlik ve frekans), kendi kendine salınımların stabilitesini ve doğrusal olmayan bir ASR'nin denge pozisyonunun stabilitesini belirlemeyi mümkün kılar. Harmonik doğrusallaştırma yöntemine dayanarak, geçici süreçlerin oluşturulması, doğrusal olmayan ASR'nin analizi ve sentezi için yöntemler geliştirilmiştir.

Harmonik doğrusallaştırma yöntemi

Daha önce belirtildiği gibi doğrusal olmayan ve özellikle röle ASR'lerinde, kararlı periyodik salınımlar sabit genlik ve frekans, sözde kendi kendine salınımlar. Ayrıca, sistem parametrelerindeki önemli değişikliklere rağmen kendi kendine salınımlar devam edebilir. Uygulama birçok durumda kontrol edilen değişkenin (Şekil 3) salınımlarının harmoniklere yakın olduğunu göstermiştir.

Kendi kendine salınımların harmonik olanlara yakınlığı, parametrelerini - genlik A ve frekans w 0 - belirlemek için harmonik doğrusallaştırma yöntemini kullanmamıza izin verir. Yöntem, sistemin doğrusal kısmının alçak geçiren bir filtre olduğu varsayımına dayanmaktadır (filtre hipotezi). Sistemdeki öz salınımların harmoniklere yakın olabileceği koşulları belirleyelim. Kendimizi Şekil 2'deki gibi sistemlerle sınırlayalım. Şekil 3, doğrusal olmayan bir elemanın ve doğrusal bir parçanın seri bağlantısına indirgenebilir. Referans sinyalinin sabit bir değer olduğunu varsayalım; kolaylık olması açısından onu sıfıra eşit olarak alacağız. Ve hata sinyali (Şekil 3) harmoniktir:

(1)

Doğrusal olmayan bir elemanın çıkış sinyali, herhangi bir periyodik sinyal gibi - Şekil 3'te bunlar dikdörtgen salınımlardır - Fourier serisinin harmoniklerinin toplamı olarak temsil edilebilir.

Sistemin doğrusal kısmının alçak geçişli bir filtre olduğunu (Şekil 4) ve yalnızca w 0 frekansına sahip ilk harmoniği geçirdiğini varsayalım. Frekansı 2w 0 ve daha yüksek olan ikinci harmonikler doğrusal kısım tarafından filtrelenir. Bu durumda doğrusal çıkış parçalar yalnızca pratikte mevcut olacak ilk harmonik ve daha yüksek harmoniklerin etkisi ihmal edilebilir

Dolayısıyla, sistemin doğrusal kısmı alçak geçiren bir filtre ise ve kendi kendine salınımların frekansı w 0 koşulları karşılıyorsa

, (4)

Sistemin doğrusal kısmının alçak geçiren filtre olduğu varsayımına ne ad verilir? filtre hipotezi . Doğrusal kısmın transfer fonksiyonunun paydası ve payının polinomlarının dereceleri arasındaki fark varsa, filtre hipotezi her zaman karşılanır.

(5)

en az iki

Koşul (6) birçok gerçek sistem için sağlanmıştır. Bir örnek, ikinci dereceden periyodik olmayan bir bağlantı ve gerçek bir entegrasyondur.

. (7)

Harmoniklere yakın kendi kendine salınımları incelerken, doğrusal olmayan bir elemanın çıkışındaki periyodik salınımların yalnızca ilk harmoniği dikkate alınır, çünkü daha yüksek harmonikler hala pratik olarak doğrusal kısım tarafından filtrelenir. Kendi kendine salınım modunda gerçekleştirilir harmonik doğrusallaştırma doğrusal olmayan eleman. Doğrusal olmayan eleman eşdeğer bir doğrusal elemanla değiştirilir. karmaşık kazanç (fonksiyonu açıklayan) giriş harmonik sinyalinin genliğine bağlı olarak:

gerçek ve sanal kısımların nerede ve nerede olduğu,

- argüman,

– modül.

Genel durumda, hem kendi kendine salınımların genliğine hem de frekansına ve sabit bileşene bağlıdır. Doğrusal olmayan bir elemanın fiziksel olarak karmaşık kazancı, daha çok buna denir harmonik doğrusallaştırma katsayısı , Orada Birinci harmonikte doğrusal olmayan bir elemanın karmaşık kazancı. Harmonik doğrusallaştırma katsayısının modülü

(9)

sayısal olarak doğrusal olmayan elemanın çıkışındaki birinci harmoniğin genliğinin giriş harmonik sinyalinin genliğine oranına eşittir.

Argüman

(10)

çıkış salınımlarının ilk harmoniği ile giriş harmoniği sinyali arasındaki faz kaymasını karakterize eder. Kesin doğrusal olmayan durumlar için, örneğin Şekil 2'deki gibi. 2,a ve 2,b, gerçek ifade ve

Belirsiz doğrusal olmayan durumlar için, Şekil 1. 2,c, 2,d, formülle belirlenir

burada S, histerezis döngüsünün alanıdır. Histerezis döngüsü pozitif yönde atlanırsa S alanı artı işaretiyle (Şekil 2, c), aksi takdirde eksi işaretiyle (Şekil 2, d) alınır.

Genel durumda ve formüller kullanılarak hesaplanır

, (12)

burada , doğrusal olmayan bir fonksiyondur (doğrusal olmayan bir elemanın özelliği).

Yukarıdakileri dikkate alarak, harmoniklere yakın kendi kendine salınımları incelerken, doğrusal olmayan ASR (Şekil 3), doğrusal olmayan bir eleman yerine harmonik doğrusallaştırma katsayısına sahip eşdeğer bir ASR ile değiştirilir (Şekil 5). Şekil 2'deki doğrusal olmayan elemanın çıkış sinyali. 5 olarak belirlenmiştir, bu

doğrusal olmayan elemanın yalnızca ürettiğini vurgular

salınımların ilk harmoniği. Tipik doğrusal olmayan durumlar için harmonik doğrusallaştırma katsayılarının formülleri literatürde bulunabilir, örneğin. Ek Tablo B, incelenmekte olan röle elemanlarının özelliklerini, formüllerini ve hodograflarını göstermektedir. İfadeyle tanımlanan ters harmonik doğrusallaştırma katsayısı için formüller ve hodograflar

, (13)

hem gerçek hem de sanal kısımlar nerede? Hodograflar ve sırasıyla ve koordinatlarında oluşturulur.

Şimdi kendi kendine salınımların varoluş koşullarını yazalım. Şekil 2'deki sistem. 5 doğrusala eşdeğerdir. Doğrusal bir sistemde, kararlılık sınırı üzerindeyse sönümsüz salınımlar mevcuttur. Nyquist kriterine göre kararlılık sınırının koşulunu kullanalım:

. (14)

Denklem (14) Orada Kendi kendine salınımların varlığı koşulu, harmoniğe yakın. Eğer varsa gerçekten olumlu Denklemin (14) A ve w 0 çözümleri, o zaman doğrusal olmayan ASR'de harmoniklere yakın kendi kendine salınımlar vardır. Aksi halde kendi kendine salınımlar yoktur veya harmonik değildir. Denklem (14) gerçel ve sanal kısımlara göre ikiye ayrılır:

;

Denklemin (14) her iki tarafını da formül (13)'e bölerek ve hesaba katarak, L.S. Goldfarb formunda kendi kendine salınımların varlığı koşulunu elde ederiz:

. (17)

Denklem (17) de ikiye ayrılır:

(18)

ve bazı durumlarda kendi kendine salınımların parametrelerini belirlemek için bunları kullanmak daha uygundur.

Goldfarb, sistemi (17) çözmek ve öz salınımların kararlılığını belirlemek için grafik-analitik bir yöntem önerdi.

Koordinatlarda ve hodograflar ve inşa edilmiştir (Şekil 6, a). Hodograflar kesişirse, o zaman kendi kendine salınımlar vardır. Kendi kendine salınımların parametreleri - A ve w 0 kesişme noktalarında belirlenir - hodografa göre frekans w 0, hodografa göre genlik. İncirde. 6,a – iki sınır döngüsünün varlığını gösteren iki kesişme noktası.

Goldfarb'a göre kendi kendine salınımların stabilitesini belirlemek için, AFC boyunca artan frekans yönünde hareket ederken doğrusal kısmın AFC'sinin sol tarafı gölgelenir (Şekil 6).

Kesişme noktasında, doğrusal olmayan elemanın hodografı, artan A genliği yönünde hareket ederken gölgesiz alandan gölgeli alana geçerse, kendi kendine salınımlar kararlıdır.

Gölgeli bir alandan gölgesiz bir alana geçiş meydana gelirse, bu durumda kendi kendine salınımlar kararlı değildir.

İncirde. Şekil 6b, Şekil 6'daki iki limit döngüsüne karşılık gelen faz portresini niteliksel olarak göstermektedir. 6, a. Parametrelerle kesişme noktası ve Şekil 2'de. Şekil 6a, Şekil 2'deki kararsız limit döngüsüne karşılık gelir. Şekil 6b, parametrelerle nokta ve kendi kendine salınımların kesintiye uğramasını sağlamak için, bu durumda hodograflar ve kesişmeyin. Aynı etki, d ölü bölgesini artırarak veya röle B'nin çıkış sinyalinin genliğini azaltarak da elde edilebilir. Doğrusal kısmın AFC'sinin temas ettiği belirli bir K l sınırlama değeri vardır. Hata! İletişim hatası. burada ve genlik değeri ise . Doğal olarak bu durum sistemin faz portresinde niteliksel bir değişikliğe yol açmaktadır.

Harmonik doğrusallaştırma katsayılarının hesaplanmasını birkaç örnekle açıklayalım: önce simetrik titreşimler için, sonra asimetrik titreşimler için. Öncelikle şunu not edelim, eğer tek-simetrik doğrusal olmama F(x) tek değerli ise, o zaman (4.11) ve (4.10)'a göre, şunu elde ederiz:

ve hesaplarken Q(4.11) sonucu dört katına çıkararak kendimizi çeyrek dönem boyunca entegrasyonla sınırlayabiliriz, yani

Döngünün doğrusal olmaması F(x) (tek simetrik) için tam ifade (4.10) geçerli olacaktır

ve formülleri kullanabilirsiniz

yani yarım döngüde entegrasyonun sonucunu ikiye katlamak.

Örnek 1. Kübik doğrusal olmamayı inceleyelim (Şekil 4.4, i):

Bağımlılık s(a)Şekil 2'de gösterilmiştir. 4.4, B.Şek. 4.4, A belirli bir genlik için heteroseksüel olduğum açıktır q(a)x belirli bir değere göre F(x) eğrisel bağımlılığının ortalamasını alır

arsa -a£ X£ . A. Doğal olarak, harika s(a) bu ortalama düz çizginin eğimi q(a)x genlikle artar A(kübik bir karakteristik için bu artış ikinci dereceden bir yasaya göre gerçekleşir).

Örnek 2. Döngü rölesi karakteristiğini inceleyelim (Şekil 4.5, a). İncirde. 4.5,6 formül (4.21) için F(a sin y) integrand fonksiyonu sunulmaktadır. Röle değişimi ½'de gerçekleşir X½= b , Dolayısıyla geçiş anında y1 değeri sin y1= b ifadesiyle belirlenir. /A.(4.21) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz (için A³b)

İncirde. 4.5, b, q(a)'nın grafiklerini gösterir ve q"(a). Bunlardan ilki, ortalama düz çizgi q('nin) eğimindeki değişimi gösterir. A)xs değiştirmek A(bkz. Şekil 4.5, a). Doğal olarak, q( A)à0 аа¥'da, çünkü çıkış sinyali sabit kalıyor (F( X)=c)giriş sinyalindeki sınırsız artış için X. Fiziksel hususlardan da bunun nedeni açıktır. Q" <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сигнала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что Q" < 0. Абсолютное значение Q" a genliği arttıkça azalır, çünkü döngünün F( karakteristiğinin "çalışma bölümünün" daha küçük bir kısmını kaplayacağı açıktır) X), değişkenin salınımlarının genliği ne kadar büyük olursa X.

Bu tür doğrusal olmamanın genlik-faz karakteristiği (Şekil 4.5, a), (4.13)'e göre. formda sunulan

Ayrıca, doğrusal olmayan çıkıştaki birinci harmoniğin genliği ve fazı sırasıyla şu şekildedir:

Nerede Q Ve Q" yukarıda tanımlandığı gibidir (Şekil 4.5, b). Sonuç olarak, harmonik doğrusallaştırma, doğrusal olmayan koordinat gecikmesini (histerezis döngüsü), doğrusal sistemlerin özelliği olan eşdeğer bir faz gecikmesine dönüştürür, ancak önemli bir farkla - faz kaymasının, doğrusal sistemlerde bulunmayan giriş salınımlarının genliğine bağımlılığı. .

Örnek 3. Kesin röle özelliklerini inceliyoruz (Şekil 4.6, a, V). Bir öncekine benzer şekilde sırasıyla elde ederiz

Şekil 2'de gösterilen şey. 4.6, b, a.

Örnek 4. Ölü bölge, doğrusal kesit ve doygunluğa sahip bir karakteristiği inceleyelim (Şekil 4.7, a). Burada Q"= 0 ve katsayı Q(A), Şekil 2'ye göre iki değer çeşidine sahiptir. 4.7, b, burada F(a sin y) onlar için inşa edilmiştir:

1) b1 £ a £ b2 için, (4.19)'a göre, elimizde

oran dikkate alındığında A günah y1 = B 1 verir

2) a ³ b2 için

a sin y2 = b2 ilişkisi dikkate alındığında bu,

Sonuç Şekil 2'de grafiksel olarak sunulmaktadır. 4.7, a.

Örnek 5. Özel durumlar olarak karşılık gelen katsayılar s(a) iki özellik için (Şekil 4.8, a, b) eşittir

Şekil 2'de grafiksel olarak gösterilmektedir. 4.8, b, d. Ayrıca doygunluk özelliği için (Şekil 4.8, a) elimizde q=k 0 £ A£ B.

Şimdi harmonik doğrusallaştırma katsayılarının hesaplanmasına ilişkin örnekleri gösterelim asimetrik titreşimler için aynı doğrusal olmama durumlarıyla.

Örnek 6. Kübik doğrusal olmama durumu için F( X) =kx 3 formül (4.16)'ya göre elimizde

ve formüllere (4.17) göre

Örnek 7. Bir döngü rölesi karakteristiği için (Şekil 4.5, A) sahip olduğumuz formüllerin aynısını kullanarak

Örnek 8. Ölü bölgeye sahip bir karakteristik için (Şekil 4.1:1), aynı ifadeler geçerli olacaktır. F° Ve Q. Grafikleri Şekil 2'de sunulmaktadır. 4.9, a, b. burada Q"== 0. İdeal bir röle karakteristiği için (Şekil 4.10) şunu elde ederiz:

Şekil 2'de gösterilen şey. 4.10, a ve b.

Örnek 9. Doğrusal kesiti q doygunluğu olan bir karakteristik için (Şekil 4.11, a) ³ b+½ için X 0 ½ elimizde

Bu bağımlılıklar Şekil 2'de grafikler halinde sunulmaktadır. 4.11, B, V.

Örnek 10. Asimetrik bir karakteristik için

(Şekil 4.12, a) (4.16) formülünü kullanarak şunu buluruz:

ve formüllere (4.17) göre

Sonuçlar Şekil 2'de grafiksel olarak gösterilmektedir. 4.12, B Ve V.

Bu örneklerde elde edilen harmonik doğrusallaştırma katsayılarının ifadeleri ve grafikleri araştırma problemlerinin çözümünde aşağıda kullanılacaktır.

kendi kendine salınımlar, zorlanmış salınımlar ve kontrol süreçleri.

Sistemin doğrusal kısmının filtre özelliğine dayanarak (Ders 12), doğrusal olmayan elemanın girişinde yaklaşık olarak formdaki doğrusal olmayan sistemin (Şekil 4.21) periyodik bir çözümünü arıyoruz.

x = bir günah w T (4.50)

bilinmeyen insanlarla A ve w. Doğrusal olmamanın biçimi belirtildi = F( X) ve doğrusal kısmın transfer fonksiyonu

Doğrusal olmamanın harmonik doğrusallaştırılması gerçekleştirilir

bu da transfer fonksiyonuna yol açar

Açık devre sisteminin genlik-faz frekans tepkisi şu şekildedir:

Kapalı sistemin karakteristik denkleminde bir çift tamamen hayali kök varsa doğrusallaştırılmış sistemin (4.50) periyodik bir çözümü elde edilir.

Ve Nyquist kriterine göre bu pasaja karşılık gelir W(J w) -1 noktasına kadar. Sonuç olarak periyodik çözüm (4.50) eşitlikle belirlenir.

Denklem (4.51) gerekli genliği belirler A ve periyodik çözümün frekansı w. Bu denklem grafiksel olarak aşağıdaki gibi çözülebilir. Karmaşık düzlemde (U, V), Wl( doğrusal kısmının genlik-faz frekans tepkisi J w) (Şekil 4.22), ayrıca zıt işaret -1 ile doğrusal olmamanın ters genlik-faz karakteristiği / Wн( A). Nokta İÇİNDE kesişimleri (Şekil 4.22) ve değerleri belirler A ve w ve değer A-1 eğrisi boyunca sayılır / Wн (a) , ve w'nin değeri Wл(jw) eğrisine göredir.

Bunun yerine (4.51) ve (4.52)'den gelen iki skaler denklemi kullanabiliriz:

bu aynı zamanda aranan iki miktarı da belirler A ve w.

Logaritmik ölçekte son iki denklemi logaritmik ölçekte kullanmak daha uygundur.

Doğrusal kısmın frekans özellikleri. O zaman (4.53) ve (4.54) yerine aşağıdaki iki denklemi elde edeceğiz:

İncirde. Solda 4.23'te (4.55) ve (4.56) denklemlerinin sol taraflarının grafikleri, sağda ise bu denklemlerin sağ tarafları görülmektedir. Bu durumda, soldaki apsis ekseni boyunca, w frekansı, her zamanki gibi, logaritmik bir ölçekte çizilir ve sağda genliktir. A doğal ölçekte. Bu denklemlerin çözümü aşağıdaki değerler olacaktır. A ve w, böylece hem (4.55) hem de (4.56) eşitlikleri aynı anda gözlenir. Bu çözüm Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.23 dikdörtgen şeklinde ince çizgilerle.

Açıkçası bu çözümü hemen tahmin etmek mümkün olmayacaktır. Bu nedenle kesikli çizgilerle gösterilen girişimlerde bulunulur. Bu deneme dikdörtgenleri M1 ve M2'nin son noktaları doğrusal olmama faz karakteristiğine girmemektedir. Ancak, Şekil 2'deki gibi özelliğin her iki tarafında bulunuyorlarsa. 4.23, o zaman çözüm enterpolasyonla bulunur - MM1 düz çizgisi çizilerek .

Kesin doğrusal olmama durumunda periyodik bir çözüm bulmak basitleştirilir F( X). Daha sonra Q"= 0 ve denklemler (4.55) ve (4.56) formunu alır

Çözüm Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.24.

Pirinç . 4.24.

Periyodik bir çözüm belirlendikten sonra kararlılığının araştırılması gerekir. Daha önce de belirtildiği gibi, açık devrenin genlik-faz karakteristiğinin olması durumunda periyodik bir çözüm ortaya çıkar.

-1 noktasından geçer. Genliğe bir sapma D verelim A. D noktasında ise sistem periyodik çözüme geri dönecektir. A> 0 salınım söner ve D'de A < 0 - расходятся. Следовательно, при DA> 0 karakteristik W(jw, A) deforme edilmelidir (Şekil 4.25), böylece D'de A> 0 Nyquist kararlılık kriteri karşılandı ve D için A < 0 - нарушался.

Bu nedenle belirli bir frekansta w olması gerekir

Şekil 2'de bunu takip ediyor. 4.22 pozitif genlik okuması A-1/Wн eğrisi boyunca ( A) Wл (jw) eğrisi boyunca içeriden dışarıya doğru yönlendirilmelidir. , okla gösterildiği gibi. Aksi halde periyodik çözüm kararsızdır.

Örneklere bakalım.

İzleme sistemindeki amplifikatörün (Şekil 4.13, a) sahip olmasına izin verin röle karakteristiği(Şekil 4.17, A). Pa şekil. 4.17, B harmonik doğrusallaştırma katsayısının bir grafiği q( A) ve q'( A) =0. Şekil 2'ye göre frekans yöntemini kullanarak periyodik çözümü belirlemek için. 4.22 ifadesini incelememiz gerekiyor

Bu doğrusal olmama durumunu formül (4.24)'ten elde ederiz.

Bu fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.26.

Doğrusal parçanın transfer fonksiyonu şu şekildedir:

Bunun genlik-faz karakteristiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.27. İşlev -1 / Wн ( A), bu durumda gerçek olan (Şekil 4.26), tamamen gerçek eksenin negatif kısmına uyar (Şekil 4.27). Bu durumda genlik değişimi alanında b £ A£ b genliği Wл(jw) eğrisine dışarıdan soldan ölçülür ve bölümde A>b - tersine döndü. Bu nedenle, ilk kesişim noktası ( A 1) kararsız bir periyodik çözüm verir ve ikincisi ( A 2) - kararlı (kendi kendine salınımlar). Bu önceki çözümle tutarlıdır (örnek 2 ders 15, 16).

Olayı da ele alalım döngü rölesi özellikleri(Şekil 4.28, a) aynı izleme sisteminde (Şekil 4.13, a). Doğrusal kısmın genlik-faz frekans tepkisi aynıdır (Şekil 4.28, b). –1/Wн( eğrisinin ifadesi A), (4.52) ve (4.23)’e göre şu formu alır:

Bu apsis eksenine paralel düz bir çizgidir (Şekil 4.28, B), genlik okuması ile A sağdan sola doğru. Kesişme istikrarlı bir periyodik çözüm (kendi kendine salınımlar) sağlayacaktır. Genlik ve frekans grafiklerini elde etmek

itibaren k ben , Şekil 2'de sunulmuştur. 4.20, Şekil 2'de gerekli. 4.28 her değer için bir dizi Wл(jw) eğrisi oluşturun k l ve –1/Wн( çizgisiyle kesişme noktalarını bulun A) karşılık gelen değerler A ve w.

Dolayısıyla, sistemin doğrusal kısmı alçak geçiren bir filtre ise ve kendi kendine salınımların frekansı w 0 koşulları karşılıyorsa

, (4)

en az iki

Koşul (6) birçok gerçek sistem için sağlanmıştır. Bir örnek, ikinci dereceden periyodik olmayan bir bağlantı ve gerçek bir entegrasyondur.

gerçek ve sanal kısımların nerede ve nerede olduğu,

- argüman,

– modül.

sayısal olarak doğrusal olmayan elemanın çıkışındaki birinci harmoniğin genliğinin giriş harmonik sinyalinin genliğine oranına eşittir.

Argüman

Belirsiz doğrusal olmayan durumlar için, Şekil 1. 2,c, 2,d, formülle belirlenir

burada S, histerezis döngüsünün alanıdır. Histerezis döngüsü pozitif yönde atlanırsa S alanı artı işaretiyle (Şekil 2, c), aksi takdirde eksi işaretiyle (Şekil 2, d) alınır.

Genel durumda ve formüller kullanılarak hesaplanır

burada , doğrusal olmayan bir fonksiyondur (doğrusal olmayan bir elemanın özelliği).

Doğrusal olmayan bir elemanın yalnızca ürettiğini vurgular

hem gerçek hem de sanal kısımlar nerede? Hodograflar ve sırasıyla ve koordinatlarında oluşturulur.