Bunu kanıtla çünkü. Sinüs (sin x) ve kosinüs (cos x) – özellikler, grafikler, formüller. Kosinüsü hesaplamadan açı tipi nasıl bulunur?

Bir noktada ortalanmış A.
α - radyan cinsinden ifade edilen açı.

Tanım
Sinüs (sin α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve karşı kenarın uzunluğunun oranına eşit olan |BC| hipotenüs uzunluğuna |AC|.

Kosinüs (cos α) hipotenüs ile bir dik üçgenin kenarı arasındaki α açısına bağlı olan ve bitişik kenarı |AB| uzunluğunun oranına eşit olan trigonometrik bir fonksiyondur. hipotenüs uzunluğuna |AC|.

Kabul edilen gösterimler

;
;
.

Sinüs fonksiyonunun grafiği, y = sin x

Kosinüs fonksiyonunun grafiği, y = cos x

Sinüs ve kosinüsün özellikleri

Periyodiklik

Fonksiyonlar y = günah x ve y = çünkü x dönemli periyodik 2π.

Parite

Sinüs fonksiyonu tektir. Kosinüs fonksiyonu çifttir.

Tanım ve değerler alanı, ekstremum, artış, azalma

Sinüs ve kosinüs fonksiyonları kendi tanım alanlarında, yani tüm x'ler için süreklidir (bkz. süreklilik kanıtı). Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır (n - tamsayı).

	y = günah x	y = çünkü x
Kapsam ve süreklilik	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Değer aralığı	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Artan
Azalan
Maksimum, y = 1
Minimum, y = - 1
Sıfırlar, y = 0
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 0	y = 0	y = 1

Temel formüller

Sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı

Toplam ve farktan sinüs ve kosinüs formülleri

;
;

Sinüs ve kosinüslerin çarpımı için formüller

Toplam ve fark formülleri

Sinüsün kosinüsle ifade edilmesi

;
;
;
.

Kosinüsün sinüs yoluyla ifade edilmesi

;
;
;
.

Teğet yoluyla ifade

; .

Ne zaman elimizde:
; .

Şurada:
; .

Sinüs ve kosinüs, teğet ve kotanjant tablosu

Bu tablo, argümanın belirli değerleri için sinüs ve kosinüs değerlerini gösterir.

Karmaşık değişkenler aracılığıyla ifadeler

;

Euler'in formülü

Hiperbolik fonksiyonlar aracılığıyla ifadeler

;
;

Türevler

; . Formüllerin türetilmesi > > >

N'inci dereceden türevler:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Ters fonksiyonlar

Sinüs ve kosinüsün ters fonksiyonları sırasıyla arksinüs ve arkkosinüstür.

Arsin, arksin

Arkosinüs, arkkos

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Kosinüs teoremi, Pisagor teoreminin keyfi bir üçgen için genelleştirilmesidir.

Kosinüs teoreminin ifadesi

Kenarları a, b, c olan ve α açısı a tarafının karşısında olan bir düzlem üçgen için aşağıdaki ilişki doğrudur:

Kosinüs teoreminin faydalı formülleri:

Yukarıda görülebileceği gibi, kosinüs teoremini kullanarak, bir üçgenin yalnızca iki kenarının yanını ve aralarındaki açıyı bulmakla kalmaz, üçgenin tüm kenarlarının boyutlarını bilerek hepsinin kosinüslerini belirleyebilirsiniz. açıları ve ayrıca üçgenin herhangi bir açısının boyutunu hesaplayın. Bir üçgenin herhangi bir açısının yanlarından hesaplanması, kosinüs teoreminin formülünün dönüştürülmesinin bir sonucudur.

Kosinüs teoreminin kanıtı

Rastgele bir ABC üçgeni düşünün. AC tarafının boyutunu (belirli bir b sayısına eşittir), AB tarafının boyutunu (belirli bir c numarasına eşittir) ve bu kenarlar arasındaki açıyı bildiğimizi varsayalım. α'ya eşittir. BC kenarının boyutunu bulalım (uzunluğunu a değişkeni aracılığıyla gösterir)

Kanıt için kosinüs teoremleri Ek inşaatlar yapalım. C köşesinden AB kenarına kadar CD yüksekliğini azaltıyoruz.
AB kenarının uzunluğunu bulalım. Şekilden de anlaşılacağı üzere ilave inşaat sonucunda şunu söyleyebiliriz.
AB = AD + BD

AD doğru parçasının uzunluğunu bulalım. ADC üçgeninin dik açılı olduğu gerçeğine dayanarak, hipotenüs uzunluğunu (b) ve açısını (a) biliyoruz, o zaman AD tarafının boyutu trigonometrik fonksiyonların özelliklerini kullanarak kenarlarının oranından bulunabilir. bir dik üçgende:

AD/AC = çünkü α
Neresi
AD = AC çünkü α
AD = b çünkü α

BD kenarının uzunluğunu AB ve AD arasındaki fark olarak buluruz:
BD = AB - AD
BD = c - b çünkü α

Şimdi iki dik üçgen ADC ve BDC için Pisagor teoremini yazalım:
BDC üçgeni için
CD 2 + BD 2 = BC 2
ADC üçgeni için
CD 2 + AD 2 = AC 2

Her iki üçgenin de ortak bir kenarının (CD) olduğunu not edelim. Her üçgenin uzunluğunu belirleyelim - değerini ifadenin sol tarafına, geri kalanını ise sağ tarafına koyun.
CD2= BC 2 - BD 2
CD2= AC 2 - AD 2

Denklemlerin sol tarafları (CD tarafının karesi) eşit olduğundan, denklemlerin sağ taraflarını eşitliyoruz:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

Daha önce yapılan hesaplamalara dayanarak şunu zaten biliyoruz:
AD = b çünkü α
BD = c - b çünkü α
AC. = b(duruma göre)

Ve BC tarafının değerini şu şekilde gösteririz: A.
BC=a
(Bulmamız gereken şey bu)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
Kenarların harf işaretlerini hesaplamalarımızın sonuçlarıyla değiştirelim
a 2 - ( c - b çünkü α ) 2 = b 2 - ( b çünkü α ) 2
bilinmeyen değeri (a) sol tarafa, denklemin geri kalan kısımlarını sağa taşıyın
a 2 = (c - b çünkü α ) 2 + b 2 - (b çünkü α ) 2
parantezleri açalım
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b çünkü α + (b çünkü α) 2 - (b çünkü α) 2
alıyoruz
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc çünkü α

Kosinüs teoremi kanıtlandı.

Kosinüs teoremi nedir? Şunu hayal edin... Rastgele bir üçgen için Pisagor teoremi.

Kosinüs teoremi: formülasyon.

Kosinüs teoremi şunu belirtir: Bir üçgenin herhangi bir kenarının karesi, üçgenin diğer iki kenarının karelerinin toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Şimdi bunun neden böyle olduğunu ve Pisagor teoreminin bununla ne ilgisi olduğunu açıklayacağım.

Sonuçta Pisagor teoremi ne diyor?

Diyelim ki baharatlıysa ne olur?

Ya aptalsam?

Şimdi öğreneceğiz, daha doğrusu önce formüle edeceğiz, sonra kanıtlayacağız.

Dolayısıyla her (dar, geniş ve hatta dikdörtgen!) üçgen için aşağıdakiler doğrudur: kosinüs teoremi.

Kosinüs teoremi:

Nedir ve?

bir üçgenden (dikdörtgen!) ifade edilebilir.

Ve işte burada (yeniden).

yerine koyalım:

Açıklıyoruz:

Elimizdekini kullanıyoruz ve... hepsi bu!

2 Durum: izin ver.

Yani bu aptalca.

Ve şimdi dikkat, fark!

Bu şu anda dışarıda görünen yerden ve

Bunu hatırlıyoruz

(Bunun neden böyle olduğunu tamamen unuttuysanız konuyu okuyun).

Yani hepsi bu! Fark bitti!

Olduğu gibi, yani:

Neyse son bir vaka kaldı.

3 Durum: izin ver.

Bu yüzden, . Ama sonra kosinüs teoremi Pisagor teoremine dönüşür:

Kosinüs teoremi hangi problemlerde faydalıdır?

Peki, örneğin, eğer varsa Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı verildiğinde, o zaman hemen üçüncü bir taraf bulabilir misin.

Ya da eğer üç tarafı da verilmiştir, o zaman hemen bulacaksınız kosinüs formüle göre herhangi bir açı

Ve sen bile iki kenar ve aralarında OLMAYAN bir açı verilmiştir ise üçüncü taraf ikinci dereceden bir denklem çözülerek de bulunabilir. Doğru, bu durumda bazen iki cevap alırsınız ve hangisini seçeceğinizi bulmanız veya her ikisini de bırakmanız gerekir.

Kullanmaya çalışın ve korkmayın; kosinüs teoreminin kullanımı neredeyse Pisagor teoremi kadar kolaydır.

KOSİN TEOREMİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Kosinüs teoremi: Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir:

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu defalarca tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Kosinüs teoremi Pisagor teoremini genelleştiren bir Öklid geometrisi teoremidir.

Kosinüs teoremi:

Kenarları olan bir düzlem üçgen için A, B, C ve açı α , bu tarafın karşısındadır A için aşağıdaki ilişki geçerlidir:

A 2 = B 2 + C 2 - 2 M.Ö cosa.

Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer 2 kenarın karelerinin toplamından bu kenarların çarpımının ve aralarındaki açının kosinüsünün iki katının çıkarılmasına eşittir.

Kosinüs teoreminin sonucu.

Kosinüs teoremi belirlemek için kullanılır çünküüçgen açısı:

Spesifik olmak:

Ne zaman B 2 + C 2 - A 2 > 0 , köşe α baharatlı olacak;
Ne zaman B 2 + C 2 - A 2 = 0 , köşe α düz olacak (açı α direkttir, bu da kosinüs teoreminin Pisagor teoremine dahil olduğu anlamına gelir);
Ne zaman B 2 + C 2 - A 2 < 0 , köşe α aptal olacak.

Kosinüs teoreminin klasik kanıtı.

Bir üçgen olsun ABC. Üstten C tarafa AB yüksekliği düşürdüm CD. Araç:

AD = b çünkü α,

DB = c - b çünkü α

2 dik üçgen için Pisagor teoremini yazıyoruz ADC Ve BDC:

h 2 = b 2 - (b çünkü α) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b çünkü α) 2 (2)

Denklemlerin (1) ve (2) sağ taraflarını eşitliyoruz:

b 2 - (b çünkü α) 2 = a 2 - (c - b çünkü α) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc çünkü α.

Tabandaki açılardan biri genişse (yükseklik tabanın devamına bitişikse), yukarıda tartışılana tamamen benzerdir.

Tarafları belirleyin B Ve C:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac çünkü β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab çünkü γ.

Tüm okul çocukları ve özellikle yetişkinler, kosinüs teoreminin doğrudan Pisagor teoremiyle ilgili olduğunu bilmiyor. Daha doğrusu ikincisi, birincisinin özel bir durumudur. Bu nokta ve kosinüs teoremini kanıtlamanın iki yolu daha bilgili bir kişi olmanıza yardımcı olacaktır. Ek olarak, nicelikleri ilk ifadelerden ifade etme alıştırması, mantıksal düşünmeyi iyi geliştirir. Üzerinde çalışılan teoremin uzun formülü sizi kesinlikle çok çalışmaya ve gelişmeye zorlayacaktır.

Konuşma başlatmak: gösterimi tanıtmak

Bu teorem keyfi bir üçgen için formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır. Bu nedenle, iki kenar ve bazı durumlarda üç kenar ve bir açı verilmişse ve bunların arasında olması gerekmiyorsa, her durumda her zaman kullanılabilir. Üçgenin türü ne olursa olsun teorem her zaman işe yarayacaktır.

Ve şimdi tüm ifadelerde miktarların belirlenmesi hakkında. Daha sonra birkaç kez açıklama yapmak zorunda kalmamak için hemen anlaşmak daha iyidir. Bu amaçla aşağıdaki tablo hazırlanmıştır.

Formülasyon ve matematiksel gösterim

Dolayısıyla kosinüs teoremi şu şekilde formüle edilir:

Herhangi bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarının karelerinin toplamından bu kenarların çarpımının iki katı ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.

Elbette uzun ama özünü anlarsanız hatırlaması kolay olacaktır. Bir üçgen çizmeyi bile hayal edebilirsiniz. Görsel olarak hatırlamak her zaman daha kolaydır.

Bu teoremin formülü şöyle görünecektir:

Biraz uzun ama her şey mantıklı. Biraz daha yakından bakarsanız harflerin tekrarlandığını görebilirsiniz, bu da hatırlamanın zor olmadığı anlamına gelir.

Teoremin ortak kanıtı

Bu tüm üçgenler için geçerli olduğundan, muhakeme için türlerden herhangi birini seçebilirsiniz. Tüm keskin açıları olan bir şekil olsun. C açısı B açısından daha büyük olan rastgele bir dar açılı üçgeni ele alalım. Bu büyük açıya sahip tepe noktasından karşı tarafa dik bir açı indirmeniz gerekir. Çizilen yükseklik üçgeni iki dikdörtgen parçaya bölecektir. Kanıt için bu gerekli olacaktır.

Kenar iki parçaya bölünecek: x, y. Bilinen miktarlarla ifade edilmeleri gerekir. Hipotenüsü b'ye eşit olan bir üçgende biten kısım şu notasyonla ifade edilecektir:

x = b * çünkü A.

Diğeri bu farka eşit olacaktır:

y = c - in * cos A.

Şimdi ortaya çıkan iki dik üçgen için yüksekliği bilinmeyen değer olarak alarak Pisagor teoremini yazmanız gerekiyor. Bu formüller şöyle görünecek:

n 2 = 2'de - (* çünkü A'da) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * çünkü A) 2.

Bu eşitlikler solda da aynı ifadeleri içerir. Bu, sağ taraflarının da eşit olacağı anlamına gelir. Bunu yazmak kolaydır. Şimdi parantezleri açmanız gerekiyor:

2 - 2'de * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * çünkü A - 2 * (cos A) 2'de.

Burada benzer terimlerin aktarımını ve indirgenmesini yaparsak formülasyondan sonra yazılan başlangıç formülünü yani kosinüs teoremini elde ederiz. Kanıt tamamlandı.

Vektörleri kullanarak teoremin kanıtı

Bir öncekine göre çok daha kısa. Ve eğer vektörlerin özelliklerini biliyorsanız, o zaman bir üçgen için kosinüs teoremi basitçe kanıtlanacaktır.

a, b, c kenarları sırasıyla BC, AC ve AB vektörleriyle gösteriliyorsa eşitlik geçerlidir:

BC = AC - AB.

Şimdi bazı adımları uygulamanız gerekiyor. Bunlardan ilki eşitliğin her iki tarafının karesini almaktır:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Daha sonra vektörlerin çarpımının, aralarındaki açının kosinüsüne ve skaler değerlerine eşit olduğu dikkate alınarak eşitliğin skaler biçimde yeniden yazılması gerekir:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * çünkü A.

Geriye kalan tek şey eski gösterime dönmektir ve yine kosinüs teoremini elde ederiz:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * çünkü A.

Diğer kenarlar ve tüm açılar için formüller

Tarafı bulmak için kosinüs teoreminin karekökünü almanız gerekir. Diğer taraflardan birinin karelerinin formülü şöyle görünecektir:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * çünkü C.

Bir kenarın karesi ifadesini yazmak V, önceki eşitlikte değiştirmeniz gerekir İle Açık V ve bunun tersi de geçerlidir ve B açısını kosinüsün altına koyun.

Teoremin temel formülünden A açısının kosinüsünün değerini ifade edebiliriz:

cos A = (2 + c 2 - a 2'de) / (* c'de 2).

Diğer açıların formülleri de benzer şekilde türetilir. Bunları kendiniz yazmayı denemek iyi bir uygulamadır.

Doğal olarak bu formülleri ezberlemenize gerek yok. Teoremi anlamak ve bu ifadeleri ana gösteriminden çıkarabilmek yeterlidir.

Teoremin orijinal formülü, açı bilinen iki açının arasında değilse kenarı bulmayı mümkün kılar. Örneğin, bulmanız gerekiyor V değerler verildiğinde: a, c, bir. Veya bilinmiyor İle ama anlamları var a, b, A.

Bu durumda formülün tüm terimlerini sola taşımanız gerekir. Aşağıdaki eşitliği elde edersiniz:

с 2 - 2 * в * с * çünkü А + в 2 - а 2 = 0.

Biraz farklı bir biçimde yeniden yazalım:

c 2 - (2 * inç * çünkü A) * c + (2 - a 2'de) = 0.

İkinci dereceden denklemi kolayca görebilirsiniz. İçinde bilinmeyen bir miktar var - İle ve geri kalan her şey verilir. Bu nedenle diskriminant kullanarak çözmek yeterlidir. Böylece bilinmeyen taraf bulunacaktır.

İkinci tarafın formülü de benzer şekilde elde edilir:

2 - (2 * c * çünkü A) * in + (c 2 - a 2) = 0.

Diğer ifadelerden bu tür formüllerin bağımsız olarak elde edilmesi de kolaydır.

Kosinüsü hesaplamadan açının türünü nasıl öğrenebilirsiniz?

Daha önce türetilen açı kosinüs formülüne yakından bakarsanız aşağıdakileri fark edeceksiniz:

bir kesrin paydası her zaman pozitif bir sayıdır çünkü negatif olamayacak kenarların çarpımını içerir;
açının değeri payın işaretine bağlı olacaktır.

A açısı şöyle olacaktır:

payın sıfırdan büyük olduğu bir durumda akut;
bu ifade olumsuzsa aptalca;
sıfıra eşit olduğunda doğrudan.

Bu arada, ikinci durum kosinüs teoremini Pisagor teoremine dönüştürüyor. Çünkü 90° açı için kosinüsü sıfırdır ve son terim kaybolur.

İlk görev

Durum

Herhangi bir üçgenin geniş açısı 120°'dir. Sınırlandığı kenarlardan birinin diğerinden 8 cm daha büyük olduğu biliniyor. Üçüncü kenarın uzunluğu biliniyor, üçgenin çevresini bulmak gerekiyor.

Çözüm

Öncelikle kenarlardan birini “x” harfiyle işaretlemeniz gerekiyor. Bu durumda diğeri (x + 8)'e eşit olacaktır. Her üç taraf için de ifadeler bulunduğundan kosinüs teoreminin sağladığı formülü kullanabiliriz:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * çünkü 120°.

Kosinüs tablolarında 120 dereceye karşılık gelen değeri bulmanız gerekir. Bu eksi işaretli 0,5 sayısı olacaktır. Şimdi tüm kurallara uyarak parantezleri açmanız ve benzer terimleri getirmeniz gerekiyor:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x2 + 16x + 64 + x2 + 8x;

3x2 + 24x - 720 = 0.

Bu ikinci dereceden denklem, aşağıdakilere eşit olacak diskriminant bulunarak çözülür:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Değeri sıfırdan büyük olduğundan denklemin iki temel cevabı vardır.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Son kök sorunun cevabı olamaz çünkü tarafın pozitif olması gerekir.