Buktikan bahwa co. Sinus (sin x) dan cosinus (cos x) – sifat, grafik, rumus. Cara mengetahui jenis sudut tanpa menghitung kosinus

Berpusat pada satu titik A.
α - sudut dinyatakan dalam radian.

Definisi
Sinus (dosa α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki dihadapannya |BC| dengan panjang sisi miring |AC|.

Kosinus (cos α) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut α antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan perbandingan panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang sisi miring |AC|.

Notasi yang diterima

;
;
.

Grafik fungsi sinus y = sin x

Grafik fungsi kosinus y = cos x

Sifat sinus dan kosinus

Periodisitas

Fungsi y = dosa x dan kamu = karena x periodik dengan periode 2π.

Keseimbangan

Fungsi sinusnya ganjil. Fungsi cosinusnya genap.

Domain definisi dan nilai, ekstrem, naik, turun

Fungsi sinus dan kosinus kontinu dalam domain definisinya, yaitu untuk semua x (lihat bukti kontinuitas). Properti utamanya disajikan dalam tabel (n - integer).

	kamu= dosa x	kamu= karena x
Ruang lingkup dan kontinuitas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Jarak nilai	-1 ≤ kamu ≤ 1	-1 ≤ kamu ≤ 1
Meningkat
Menurun
Maksimum, y = 1
Minimal, y = - 1
Nol, y = 0
Titik potong dengan sumbu ordinat, x = 0	kamu= 0	kamu= 1

Rumus dasar

Jumlah kuadrat sinus dan kosinus

Rumus sinus dan cosinus dari jumlah dan selisih

;
;

Rumus hasil kali sinus dan cosinus

Rumus jumlah dan selisih

Menyatakan sinus melalui kosinus

;
;
;
.

Menyatakan cosinus melalui sinus

;
;
;
.

Ekspresi melalui garis singgung

; .

Kapan kita punya:
; .

Pada :
; .

Tabel sinus dan cosinus, garis singgung dan kotangen

Tabel ini menunjukkan nilai sinus dan cosinus untuk nilai argumen tertentu.

Ekspresi melalui variabel kompleks

;

rumus Euler

Ekspresi melalui fungsi hiperbolik

;
;

Derivatif

; . Menurunkan rumus > > >

Turunan dari orde ke-n:
{ -∞ < x < +∞ }

Garis potong, garis potong

Fungsi terbalik

Fungsi kebalikan dari sinus dan cosinus masing-masing adalah arcsinus dan arccosine.

Arcsinus, arcsin

Arccosine, arccos

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Teorema kosinus merupakan generalisasi dari teorema Pythagoras untuk segitiga sembarang.

Pernyataan teorema kosinus

Untuk segitiga bidang dengan sisi a,b,c dan sudut α berhadapan dengan sisi a, berlaku hubungan berikut:

Rumus teorema kosinus yang berguna:

Seperti dapat dilihat di atas, dengan menggunakan teorema kosinus, Anda tidak hanya dapat menemukan sisi segitiga dengan dua sisi dan sudut di antara keduanya, Anda juga dapat, dengan mengetahui ukuran semua sisi segitiga, menentukan kosinus semua sisi segitiga. sudut, dan juga menghitung ukuran setiap sudut segitiga. Menghitung sembarang sudut segitiga dari sisi-sisinya merupakan konsekuensi dari transformasi rumus teorema kosinus.

Bukti teorema kosinus

Perhatikan segitiga sembarang ABC. Misalkan kita mengetahui besar sisi AC (sama dengan bilangan tertentu b), besar sisi AB (sama dengan bilangan tertentu c) dan sudut antara sisi-sisi tersebut, yang besarnya sama dengan α. Mari kita cari besar sisi BC (yang menyatakan panjangnya melalui variabel a)

Sebagai bukti teorema kosinus Mari kita lakukan konstruksi tambahan. Dari titik C ke sisi AB kita turunkan tinggi CD.
Mari kita cari panjang sisi AB. Terlihat dari gambar, sebagai hasil dari konstruksi tambahan dapat dikatakan demikian
AB = IKLAN + BD

Carilah panjang ruas AD. Berdasarkan kenyataan bahwa segitiga ADC siku-siku, kita mengetahui panjang sisi miring (b) dan sudut (α), maka besar sisi AD dapat dicari dari perbandingan sisi-sisinya menggunakan sifat-sifat fungsi trigonometri. dalam segitiga siku-siku:

IKLAN/AC = cos α
Di mana
IKLAN = AC cos α
IKLAN = b cos α

Kita mencari panjang sisi BD sebagai selisih antara AB dan AD:
BD = AB - IKLAN
BD = c − b cos α

Sekarang mari kita tuliskan teorema Pythagoras untuk dua segitiga siku-siku ADC dan BDC:
untuk segitiga BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
untuk segitiga ADC
CD 2 + IKLAN 2 = AC 2

Perhatikan bahwa kedua segitiga memiliki sisi yang sama - CD. Mari kita tentukan panjangnya untuk setiap segitiga - letakkan nilainya di sisi kiri ekspresi, dan sisanya di sisi kanan.
CD 2= SM 2 - BD 2
CD 2= AC 2 - IKLAN 2

Karena ruas kiri persamaan (kuadrat sisi CD) sama, kita samakan ruas kanan persamaan:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - IKLAN 2

Berdasarkan perhitungan yang dilakukan sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa:
IKLAN = b cos α
BD = c − b cos α
AC = b(sesuai syarat)

Dan kami menyatakan nilai sisi BC sebagai A.
SM=a
(Itulah yang perlu kita temukan)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - IKLAN 2
Mari kita ganti huruf penunjukan sisi-sisinya dengan hasil perhitungan kita
a 2 - ( c − b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
pindahkan nilai yang tidak diketahui (a) ke ruas kiri, dan sisa persamaan ke kanan
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
mari kita buka tanda kurungnya
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
kita mendapatkan
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos

Teorema kosinus telah terbukti.

Apa teorema kosinus? Bayangkan ini... Teorema Pythagoras untuk segitiga sembarang.

Teorema kosinus: formulasi.

Teorema kosinus menyatakan: Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi segitiga lainnya dikurangi dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dan kosinus sudut di antara kedua sisi tersebut.

Dan sekarang saya akan menjelaskan mengapa demikian dan apa hubungannya dengan teorema Pythagoras.

Lagi pula, apa yang dikatakan teorema Pythagoras?

Apa yang terjadi jika, katakanlah, pedas?

Bagaimana jika saya bodoh?

Sekarang kita cari tahu, atau lebih tepatnya kita rumuskan dulu lalu buktikan.

Jadi, untuk segitiga apa pun (dan siku-siku lancip, siku-siku tumpul, dan genap persegi panjang!), pernyataan berikut ini benar: teorema kosinus.

Teorema kosinus:

Apa itu dan?

dapat dinyatakan dari segitiga (persegi panjang!).

Dan ini dia (dari lagi).

Mari kita gantikan:

Kami mengungkapkan:

Kami menggunakan apa yang kami miliki dan... itu saja!

2 Kasus: biarkan.

Jadi, itu bodoh.

Dan sekarang, perhatian, perbedaannya!

Ini dari, yang sekarang berada di luar, dan

Mari kita ingat itu

(baca topiknya jika Anda benar-benar lupa mengapa demikian).

Jadi, itu saja! Perbedaannya sudah berakhir!

Seperti apa adanya, yaitu:

Nah, masih ada satu kasus terakhir yang tersisa.

3 Kasus: biarkan.

Jadi, . Tapi kemudian teorema kosinus berubah menjadi teorema Pythagoras:

Teorema kosinus berguna dalam soal apa?

Misalnya, jika Anda punya diberikan dua sisi segitiga dan sudut di antara keduanya, lalu kamu segera bisakah kamu menemukan pihak ketiga.

Atau jika Anda ketiga sisi diberikan, maka Anda akan segera menemukannya kosinus sudut mana pun sesuai dengan rumus

Dan bahkan jika kamu diberikan dua sisi dan sudut BUKAN di antara keduanya, maka sisi ketiga juga dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Benar, dalam hal ini, terkadang Anda mendapatkan dua jawaban dan Anda perlu memikirkan mana yang harus dipilih, atau meninggalkan keduanya.

Cobalah untuk menggunakannya dan jangan takut - teorema kosinus hampir semudah digunakan seperti teorema Pythagoras.

TEOREMA COSINES. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Teorema kosinus: Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dan kosinus sudut di antara keduanya:

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mendapat pendidikan yang baik memperoleh penghasilan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 899 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

Teorema kosinus adalah teorema geometri Euclidean yang menggeneralisasi teorema Pythagoras.

Teorema kosinus:

Untuk segitiga bidang yang sisi-sisinya A, B, C dan sudut α , yang berlawanan dengan sisinya A, hubungan berikut ini valid:

A 2 = B 2 + C 2 - 2 SM karena.

Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dan kosinus sudut di antara kedua sisi tersebut.

Akibat wajar dari teorema kosinus.

Teorema kosinus digunakan untuk menentukan karena sudut segitiga:

Untuk lebih spesifik:

Kapan B 2 + C 2 - A 2 > 0 , sudut α akan pedas;
Kapan B 2 + C 2 - A 2 = 0 , sudut α akan lurus (bila sudutnya α bersifat langsung, artinya teorema kosinus masuk ke dalam teorema Pythagoras);
Kapan B 2 + C 2 - A 2 < 0 , sudut α akan menjadi bodoh.

Bukti klasik teorema kosinus.

Biarlah ada segitiga ABC. Dari atas C ke samping AB menurunkan ketinggian CD. Cara:

IKLAN = b cos α,

DB = c - b cos α

Kami menuliskan teorema Pythagoras untuk 2 segitiga siku-siku ADC Dan BDC:

h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)

Kita menyamakan ruas kanan persamaan (1) dan (2):

b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos .

Jika salah satu sudut alasnya tumpul (tingginya berbatasan dengan kelanjutan alas), maka sudut tersebut sama persis dengan sudut yang dibahas di atas.

Tentukan para pihak B Dan C:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.

Tidak semua anak sekolah, terutama orang dewasa, mengetahui bahwa teorema kosinus berhubungan langsung dengan teorema Pythagoras. Lebih tepatnya, yang terakhir ini merupakan kasus khusus dari yang pertama. Poin ini, serta dua cara untuk membuktikan teorema kosinus, akan membantu Anda menjadi orang yang lebih berpengetahuan. Selain itu, latihan menyatakan besaran dari ekspresi awal mengembangkan pemikiran logis dengan baik. Rumus panjang dari teorema yang sedang dipelajari pasti akan memaksa Anda untuk bekerja keras dan berkembang.

Memulai percakapan: memperkenalkan notasi

Teorema ini dirumuskan dan dibuktikan untuk segitiga sembarang. Oleh karena itu, selalu dapat digunakan, dalam situasi apa pun, jika diberikan dua sisi, dan dalam beberapa kasus tiga, dan sebuah sudut, dan tidak harus di antara keduanya. Apa pun jenis segitiganya, teorema ini akan selalu berhasil.

Dan sekarang tentang penunjukan besaran dalam semua ekspresi. Sebaiknya segera setuju, agar tidak perlu menjelaskan berkali-kali di kemudian hari. Tabel berikut telah disusun untuk tujuan ini.

Formulasi dan notasi matematika

Jadi, teorema kosinus dirumuskan sebagai berikut:

Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dan kosinus sudut yang terletak di antara kedua sisi tersebut.

Memang panjang, namun jika dipahami esensinya akan mudah diingat. Anda bahkan bisa membayangkan menggambar segitiga. Selalu lebih mudah untuk mengingatnya secara visual.

Rumus teorema ini akan terlihat seperti ini:

Agak panjang, tapi semuanya logis. Jika diperhatikan lebih dekat, Anda akan melihat bahwa huruf-hurufnya berulang, artinya tidak sulit untuk mengingatnya.

Bukti umum dari teorema tersebut

Karena ini berlaku untuk semua segitiga, Anda dapat memilih salah satu jenisnya untuk penalaran. Biarlah itu menjadi sosok dengan semua sudut lancip. Mari kita perhatikan segitiga siku-siku sembarang yang sudut C lebih besar dari sudut B. Dari titik sudut yang besar ini, Anda perlu menurunkan garis tegak lurus ke sisi yang berlawanan. Ketinggian yang ditarik akan membagi segitiga menjadi dua persegi panjang. Ini diperlukan sebagai bukti.

Sisi tersebut akan dibagi menjadi dua segmen: x, y. Mereka perlu dinyatakan dalam besaran yang diketahui. Bagian yang berakhir pada segitiga dengan sisi miring sama dengan b dinyatakan melalui notasi:

x = b * cos A.

Yang lainnya akan sama dengan perbedaan ini:

y = c - dalam * cos A.

Sekarang Anda perlu menuliskan teorema Pythagoras untuk dua segitiga siku-siku yang dihasilkan, dengan mengambil tinggi sebagai nilai yang tidak diketahui. Rumus ini akan terlihat seperti ini:

n 2 = dalam 2 - (dalam * cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

Persamaan ini mengandung ekspresi yang sama di sebelah kiri. Artinya sisi kanannya juga akan sama. Sangat mudah untuk menuliskannya. Sekarang Anda perlu membuka tanda kurung:

dalam 2 - dalam 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * dalam * cos A - dalam 2 * (cos A) 2 .

Jika Anda melakukan pemindahan dan pengurangan suku-suku sejenis di sini, maka Anda akan mendapatkan rumus awal yang ditulis setelah rumusan, yaitu teorema kosinus. Buktinya sudah lengkap.

Bukti teorema menggunakan vektor

Ini jauh lebih pendek dari yang sebelumnya. Dan jika mengetahui sifat-sifat vektor, maka teorema kosinus segitiga akan dibuktikan secara sederhana.

Jika sisi a, b, c masing-masing dilambangkan dengan vektor BC, AC dan AB, maka persamaannya berlaku:

BC = AC - AB.

Sekarang Anda perlu melakukan beberapa langkah. Yang pertama adalah mengkuadratkan kedua sisi persamaan:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

Maka persamaan tersebut perlu ditulis ulang dalam bentuk skalar, dengan memperhatikan bahwa hasil kali vektor-vektor sama dengan kosinus sudut antara vektor-vektor tersebut dan nilai skalarnya:

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

Yang tersisa hanyalah kembali ke notasi lama, dan sekali lagi kita mendapatkan teorema kosinus:

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

Rumus sisi lain dan semua sudut

Untuk mencari sisinya, Anda perlu mengambil akar kuadrat dari teorema kosinus. Rumus kuadrat salah satu sisi lainnya akan terlihat seperti ini:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

Untuk menulis persamaan kuadrat suatu sisi V, Anda perlu mengganti persamaan sebelumnya Dengan pada V, dan sebaliknya, dan letakkan sudut B di bawah kosinus.

Dari rumus dasar teorema tersebut kita dapat menyatakan nilai cosinus sudut A:

cos A = (dalam 2 + c 2 - a 2) / (2 dalam * c).

Rumus untuk sudut lain diturunkan dengan cara yang sama. Merupakan praktik yang baik untuk mencoba menulisnya sendiri.

Tentu saja, tidak perlu menghafal rumus-rumus ini. Cukup memahami teorema dan kemampuan menyimpulkan ungkapan-ungkapan ini dari notasi utamanya.

Rumus asli teorema ini memungkinkan untuk mencari sisi jika sudutnya tidak terletak di antara dua sudut yang diketahui. Misalnya, Anda perlu menemukannya V, ketika nilai diberikan: a, c, A. Atau tidak diketahui Dengan, tapi ada artinya a, b, a.

Dalam situasi ini, Anda perlu memindahkan semua suku rumus ke kiri. Anda mendapatkan persamaan berikut:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Mari kita tulis ulang dalam bentuk yang sedikit berbeda:

c 2 - (2 * dalam * cos A) * c + (dalam 2 - a 2) = 0.

Anda dapat dengan mudah melihat persamaan kuadrat. Ada jumlah yang tidak diketahui di dalamnya - Dengan, dan sisanya diberikan. Oleh karena itu, penyelesaiannya cukup dengan menggunakan diskriminan. Dengan cara ini sisi yang tidak diketahui akan ditemukan.

Rumus sisi kedua diperoleh dengan cara yang sama:

dalam 2 - (2 * c * cos A) * dalam + (c 2 - a 2) = 0.

Dari ungkapan lain, rumus seperti itu juga mudah diperoleh secara mandiri.

Bagaimana cara mengetahui jenis sudut tanpa menghitung kosinus?

Jika Anda perhatikan lebih dekat rumus sudut kosinus yang diperoleh sebelumnya, Anda akan melihat hal berikut:

penyebut suatu pecahan selalu bilangan positif, karena mengandung hasil kali sisi-sisi yang tidak boleh negatif;
nilai sudut bergantung pada tanda pembilangnya.

Sudut A akan menjadi:

akut dalam situasi dimana pembilangnya lebih besar dari nol;
bodoh jika ungkapan ini negatif;
langsung ketika sama dengan nol.

Omong-omong, situasi terakhir mengubah teorema kosinus menjadi teorema Pythagoras. Karena untuk sudut 90º kosinusnya nol, dan suku terakhirnya hilang.

Tugas pertama

Kondisi

Sudut tumpul suatu segitiga sembarang adalah 120º. Diketahui sisi-sisi yang dibatasi oleh salah satu sisi tersebut, yang salah satunya lebih besar 8 cm dari sisi yang lain, diketahui panjang sisi ketiganya, maka keliling segitiga tersebut adalah 28 cm.

Larutan

Pertama, Anda perlu menandai salah satu sisinya dengan huruf "x". Dalam hal ini, yang lainnya akan sama dengan (x + 8). Karena terdapat ekspresi untuk ketiga sisinya, kita dapat menggunakan rumus yang diberikan oleh teorema kosinus:

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

Dalam tabel cosinus, Anda perlu mencari nilai yang sesuai dengan 120 derajat. Ini akan menjadi angka 0,5 dengan tanda minus. Sekarang Anda perlu membuka tanda kurung, mengikuti semua aturan, dan memberikan istilah serupa:

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

Persamaan kuadrat ini diselesaikan dengan mencari diskriminan yang sama dengan:

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Karena nilainya lebih besar dari nol, persamaan tersebut mempunyai dua akar jawaban.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Akar terakhir tidak bisa menjadi jawaban permasalahan, karena sisinya harus positif.